巧用勾股定理解决几何问题试题.docx

1、巧用勾股定理解决几何问题试题巧用勾股定理解决几何问题重点难点易错宜点宜通3一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1.构造直角三角形根据题意，合理构造直角三角形，比如等腰三角形中的求值或面积问题，经常作高构 造直角三角形。女口：在ABC中，AB=AC=5 BC=8求三角形 ABC的面积。.答案：12。2.利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示，列出方程，解出所求值。(1)在翻折问题中，大多数求值都是这种应用女口：如图，矩形纸片 ABCD中，AB=8, AD=6折叠纸片使 AD边与对角线BD重合，折痕 为DG则AG的长为多少？答案：3。(2)求折断物体长度时，使用方程女如:一根竹子高10尺

2、，折断后竹子顶端 落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是 多少？91答案：一尺。203.分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论。 女口 ：已知一个直角三角形的两边长是 3cm和4cm，求第三边的长。答案：5cm或J7 emo4.数形结合思想几何与代数问题的综合。女口 ：在一棵树的5米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 10米的池塘，而另只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？答案：7.5米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1.含有30(1)30 (2)60 2.等边三角形高等于边长的倍。2总结：(1)勾股定理的几何

3、应用是学习的重点内容，要在直角三角形中灵活运用。(2) 要有意识的训练自己辅助线的添加，经常性的 思考不同问题的不同添加法。逊【真题S鬆名校豊蠶题经典】例题 AAB是直角三角形，且 AiA2=AB=a, AA3丄AiB,垂足为 A, AA丄AB,垂足为 A4, AA5丄A3B,垂足为A5,，A+iAn+2丄AnB,垂足为A+2,则线段 A+iAn+2( n为自然数)的长为( )a a a a历 (72) 42 2n解析：先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出 AA3及AA的长，找出规律即可解答.AiA2=A2B=a, AA3丄AiB, AB=yja ca = f2a ,答案：/ A1A2B是直角

4、三角形，且 AAB是等腰直角三角形，.A A 1 逅a a AeA3=A A3= A B= =,2 2 松同理， A2A3B是等腰直角辰三角形，A2A3=A3B= , A3A4丄A2B , A2B=a ,2A3A4=AA4= 1A1B=-a 阜,2 2羽线段A+iA+2 （n为自然数）的长为故选Ao点拨：规律性题目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性质，解答此题的关键是求出 A2A3及A3A4的长，并找出规律.j命【柘展3结谨升S分必读】分类讨论求值近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法， 而且考查了同学们思维的深刻性。 在解决此类

5、问题时,虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的 类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑例题A. 14解析：在 ABC中，AB=13, AC=15 BC边上的高B. 4 C. 14 或 4分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，因考 .学习中，尤其是在中考复习时，对“分 不同情况下的求值。AD=12,则边BC的长是（ ）D. 756根据勾股定理求得 BD CD再由图形求出BC在锐角三角形中， BC=BD+CP在钝角三角形中， BC=CD-BD答案：解：（1）如图，锐角 ABC中，AB=13, AC=15 BC边上高AD=12 在 Rt ABD中 AB=13, AD=12,由勾股定

6、理得： bD=AB-AD2=132-12 2=25，贝U BD=5 在 RtACD中 AC=15, AD=12 由勾股定理得： cD=aC-AD2=152-12 2=81 ,贝U CD=9 故 BC 的长为 BD+DC=9+5=14（2）钝角 ABC中,AB=13, AC=15, BC边上高 AD=12在 Rt ABD中 AB=13, AD=12,由勾股定理得： BD=aB-AD2=132-12 2=25 ,贝U BD=5 在 RtACD中 AC=15, AD=12 由勾股定理得： cD=aC-AD2=152-12 2=81 ,贝U CD=9 故 BC 的长为DC-BD=9-5=4.综上可得

7、BC的长为14或4.故选 C.生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。例题某园艺公司对-一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为 b=8米.现要将其扩建成等腰三角形， 的等腰三角形花圃的周长为（且扩充部分是以）米b为直角边的直角三角形,a=6 米，则扩建后A. 32或 20+4 75C. 32或 80 或 20+4 75D. 3280B. 32或36或巴3或 36 或 80 或 20+4 J53 3解析：由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是应分为AB=ADad=bd两种情况进行讨论.答案：解：如图所示：在 Rt ABC中， AC=8m=10+10+6

8、+6=32 (m ；BD=x( m)， CD=( x-6)m； 25x=；3囲1 图？如图1,当AB=AD寸，DC=BC=6m此时等腰三角形花圃的周长女口图 2: 当 AD=BD寸，设 AD=BD=x（m）; Rt ACD中,由勾股定理，得 aD=dC+cA，即（x-6 ） 2+82=x2，解得此时等腰三角形绿地的周长 =25 X 2+10=80( m .3 3当 AB=BD寸，在 Rt ACD中, AD=/aC2 +CD2 = J82 +(106)2 =45 , 等腰三角形绿地的周长=2X 10+4 (5=20+4 J5 ( m).故选C.【即学即测巩固提升】（答题时间：45分钟）一、选择题

9、1.观察以下几组勾股数，并寻找规律： 4，3，5:6，8，10；8, 15, 17;10,24, 26;，根据以上规律的第组勾股数是（ ）A. 14、48、49 B. 16、12、20 C. 16、63、65 D. 16、30、342.如图，一个长为 梯子的顶端下滑1米，A.等于1米B.Rt ABC的斜边AC为直角边，画AD为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此 ）D.V2n* cmFA出发，经过每个面的中心点后,*4.如图所示，一只小蚂蚁从棱长为 1的正方体的顶点又回到A点，蚂蚁爬行最短程 S满足（ ）A. 5 SW 6 B. 6 S749 ,即冏 7,a j5i-6 1.故选 B.5.

10、D 解析：（1）.公ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , a/ ABC=/ C=45 , v/ADE=Z ABC/ BAD / BAEK DAE+Z BAD v/ DAE=45 ,a/ ADE玄 BAE正确。（2） / ACE 绕点 A 旋转至 ABE 处， AE=AE,/ EAC/ E Ab v/ BAC=90 , a/ E AB + /BAE=90，/ EAB +/ BAE=90 , AEE 是等腰直角三角形；a正确。（ 3）v/ DAE=45 , / BAC=90 , / EAC+Z BAD=45 , v/ EAC/ E AB / DAE =/ EAD=45 , AEE 是等腰直

11、角三角形，a ADI EE , 正确。（4）v/ C=/ E BA=/ DB/=45,/E BD=90 , v EC=E B,a bD+CE=dEa.正确，综上所述.项正确.故选D.6.1300 解析： 解：作A关于CD的对称点E,连接BE,并作BFI AC于点F.贝U EF=BD+AC=700+500=1200m BF=CD=500m 在 Rt BEF 中，根据勾股定理得： BE=JbF2 + EF2 =丿5002 +12002 =1300 米.7.3j2 解析：设 AC=xm, / ABC/ BAC=45 , BC= xm,v 滑梯 AB 的长为 3m, 2x=9，解得 x=3J2 , /

12、 D=30 , AD=2AC a AD=3 m,故答案为： “。28.10 解析：四边形 EFGH是正方形，a EH=FE / FEH=9C , v/ AEF+ZAFE=90 ,9A=N D I IZAFE =NDEH 汀. AEF eF = HE J16, a AB=BC=CD=DA=4 a/ AEF+/ DEH=90 , a/ AFE=Z DEH, 在厶 AEF 和 DHE 中,g DHE ( AAS) , AF=DE, 正方形 ABCD 的面积为AF=DE=AD-AE=4-1=3 在 Rt AEF 中，EF=JaE2 +=X JT0=1O.故答案为：10.9. 2; 11解析：如图2：设

13、直角三角形的三条边分别是 a、b、c 根据勾股定理，得a2+b2=c2,即:正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1;所有正方形的面积之和为 2(1 + 1) X 1 ;图(3)正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形 M的面积+正方形 N的面积= 正方形.B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的 面积=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，所有正方形的面积之和为 3= (2+1 )X 1推而广之，“生长”了 n次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( n+1)X 1，则：“生长”了 10次后形成的图形 中所有的正方形的面积和是

14、(10+1)x 1=11. 故答案为：AF2 =JT0，故正方形 EFGH的面积图10.解：图中正方形 ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面积分别为 S、S、a CG=NGCF=DG=NF a S1= (CG+DG2=CG2+DG2+2CG?DG=GF2+2CG?DGGF2S3= (NG-NF 2=NG2+NF22NG?N=gF-2NG NF,10 S1+S2+S3=10=GF2+2CG?DG+GF2+ GF2NG?NF=3GF2 S 的值是： 311.解：如图，关系为 20D=bD+cD.作OEIOD交AC于E,连接0G DE得到 OBD OCE从而 Rt DCE与 Rt EOD中，ch

15、+DCuDEOD+oEuDE由 BD=CEOD=OE所以 2OD=Bi+cD, (也可过O作BC垂线).12.解：(1)过点D作DEI AB于E,设D点坐标为(m 0),根据题意得：OB=1, OA=1OD=m 在 Rt AOB 中，A占=oA+OB，所以 AB=J2 , / A=45 ;在 DOB和 DEB 中，Ndob*NOBD= NDEBl= NEBD DOBA EDB( AAS, OD=ED=mOB=EB=1 在 AED中, / A=45,BD =BD(2)结论正确；过点 O作OE! OM并使 OE=OM连接 NE AE在 MOBHA EOA中,Ob =OA*NMOB =NAOE MOiA EOA( SAS , - BM=AE/ B=/ OAE 在 MOINH EON中，IOM =OEOM =OE*NMON =NNOE =45 MONA EON SAS； - MN=EN 又NAE= NAO# OAE=90 ,ON =ON NAE为直角三角形， nA+aE=nE. bM+aN=mN,即结论正确.