电路原理邱关源习题答案第八章相量法.docx
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电路原理邱关源习题答案第八章相量法
第八章相量法
求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦稳态响应的数学运算.
所谓相量法,就是电压、电流用相量表示,RLC元件用阻抗或导纳表示,画
出电路的相量模型,利用KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电
流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握：
（1）正弦信号的
相量表示；
（2）KCL,KVL的相量表示；（3）RLC元件伏安关系式的相量形式；（4）复数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.
8-1将以下复数化为极坐标形式：
（1）Fi=-5-j5；⑵F2=-4+j3；⑶F3=20+j40；
（4）F4=j10;（5）F5=-3;（6）F6=2.78+j9.20o
解：
（1）F1=-5-j5=aZ0
a=（-5）2（-5）2=5.2
-5v
1-arctan——=-135-5（因F1在第三象限）
故F1的极坐标形式为F1=5%'2/-135-
（2）F2=—4+j3=C（Y）2+32/arctan⑶—4）=52143.13：
（F2在第二象限）
（3）F3=20+j40=J202+402Narctan（40/20）=44.72/63.43二
（4）F4=10j=10/90二
⑸F5=-3=3/180二
（6）F6=2.78+j9.20=32.782+9.202/arctan（9.20/2.78）=9.61,73.19：
注：
一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即
F=a1+ja2=a/e=aeja它们相互转换的关系为：
221-arctan—
a〞0a2ai
和a1=acosia2=asin?
需要指出的,在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限,它关系到日的取值及实部ai和虚部a2的正负.
8-2将以下复数化为代数形式：
〔1〕Fi=10/—73；〔2〕F2=15/112.6：
；〔3〕F3=1.2/152；
〔4〕F4=10/-90:
〔5〕Fi=5Z-180=;〔6〕Fi=10/-1351
解：
〔1〕Fi=10/—73°=10xcos〔—73二〕十j10xsin〔—73〕=2.92—j9.56
⑵F2=15/112.6〞=15cos112.6、15sin112.6'=-5.76+j13.85
〔3〕F3=1.2/152口=1.2cos152'+1.2sin1520=—1.O6+jO.56
〔4〕F4=10=-90*=-jIO
〔5〕F1=5/-180口=-5
〔6〕Fi=10/-135,0cos〔-135：
〕+10sin〔-135二〕=-7.07-j7.07
8—3假设IO./.“十A260°=175/中.求a和中.
解：
原式=100+Acos600+jasin600=175cos9+j175sin中根据复数相等的
定义,应有实部和实部相等,即
Acos60100=175cos
虚部和虚部相等Asin60=175sin「
把以上两式相加,得等式
A2100A-20625-0
-100主,1002+4乂206251102.07
A=二+
解得2「202.069
.3
102.07——
=0.505
Asin602
所以
sin==—
175175
=30.34
8-4求8—1题中的F,F6和F2/F6.
解：
F2F6=（—4j3）（2.78j9.20）=5143.139.6173.19
=48.05.216.32=48.05.-143.68
4j35.143.13
F2F6===0.5269.94
2.78j9.209.6173.19
8—5求8—2题中的F1+巳和E/F5o
解：
F1F5-10.-735.-180
=10cos（-73）j10sin（-73）-5
=-2.08-j9.56=9.78-102.27
10.-73
F1F5==2-73180=2107
5/-180
8—6假设.i1=-5cos（314t+60）Ai2=10sin（314t+60）A,
i3=4cos（314t60）A
（1）写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图；
（2）1与心和i1与）的相位差；
（3）绘出3的波形图；
（4）假设将3表达式中的负号去掉将意味着什么？
（5）求的周期T和频率f.
解：
（1）i1二一5cos（314t+601=5cos（314t+60=—180=）=5cos（314t—120b
i2=10sin（314t60）=10cos（314t-30）
故i1,i2和i3的相量表达式为
13=1-3--120-60--180
（4）假设将ii（t）中的负号去掉,意味着ii的初相位超前了180二.即ii的
参考方向反向.
（5）ii（t）的周期和频率分别为
2二2二
T=——==0.02s=20ms
314
.1■■1
f=一=——==50Hz
T2二0.02
注：
定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在比拟相位差时,两个正弦量必须满足
（1）同频率；
（2）同函数,即都是正弦或都是余弦；（3）同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比拟.
8-7假设两个同频正弦电压的相量分别为
Ui=50/30V,5=T00/-150V,其频率f=100Hz.求：
（1）写出ui,出的时域形式；
（2）3与弘的相位差.
（1）u1（t）=50..2cos（2ft30）=50..2cos（628t30）V
u2（t）=-100.2cos（2二ft-150）=100..2cos（628t-150=180）V
二100,2cos（628t30）V
（2）由于U1=50.30V,U2=-100/-150V=100.30V
故相位差为中=30<30'=0：
即u1与u2同相位.
8-8：
3（t）=22072cos（314t—1201V
u2（t）=220,2cos（314t30）V
（1）画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率f和周期T;
（2）写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；
（3）如果把电压电的参考方向反向,重新答复
（1）,
（2）.
解：
（1）波形如题解8—8图（a）所示.
有效值为u1=u2=220Vu2
314
f1=f2=——==50Hz
频率2二2二
11
T1=T20.02s
周期f50
（2）5和弘的相量形式为
U1=220-120VU2=22030V
故相位差为=i-：
2=-120-30<-150相量图见题解图（b）所示.
（3）U2的参考方向反向,u2（t）变为一u2（t）,有效值、频率和周期均不变,—U2（t）的相量为U'2=220/30—180口=200/—150V
故U1和U2的相位差为*=91-中2=-120-（-150）=30波形图和向量图见题解图（a）和（b）.
8—9一段电路的电压、电流为：
3,
u=10sin（10t-20）V
i=2cos（103t-50）A
（1）画出它们的波形图和向量图；
（2）求出它们的相量差.
33
解：
（1）u=10slM10t—20）=10cos10t—110）V,故u和i的相量分别为
60o
8-10图示三个电压源的电压分别为:
Ua=22072cos侬t+10）V,Ub=22045cosgt-110=）V,
Uc=2202cos（t130）V
求：
（1）3个电压的和；
（2）Uab,Ubc；（3）画出它们的相量图
0.
u（a）+
1
处+
e;c~+
题解8—10图
解：
“,ub,Uc的相量为
Ua=22010V
Ub=220.-110V
Uc=220.130V
（1）应用相量法有
UaUbUc=22010220/-110220130
ac
=0
即三个电压的和ua⑴ub（t）uc⑴=0
⑵Uab=Ua-Ub=220/10220/-110：
=220340V
Ubc=Ub-Uc=220-110-220130
=220.3-80V
（3）相量图如题解8—10图所示
uc
题解8—10图
8-11图
V2:
80V.V3:
（a）中电压表读数为V1：
30V；V2:
60V；图（b）中的V1:
15V；
100V.（电压表的读数为正弦电压的有效值.）求图中电压Us.
题8—11图
解法一：
（a）图：
设回路中电流「=1/0：
根据元件的电压、电流相量关系,可得
题8-11图
UR=RI=RI0=3.0V
Ul=jXLl=XlI90=6.90V
那么总电压Us=Ur-Ul=30•j60V
所以Us的有效值为Us=痴2+602=67.08V
（b）图：
设回路中电流相量I=1/0二A,由于
Ur=RI=RI0=150V
Ul—XlI=XlI90=8090V
元件
相量关系
后效值关系
相位关系
相量图
电阻R
Ur=RIR
Ur=RIr
仇=%
UC=-jXCI=XCI-90=100-90V
所以总电压Us=UrUlUc=15j80-100j=15-j20V
故Us的有效值为Us=J132+202=25V
解法二：
利用相量图求解.设电流「=1/0'为参考相量,电阻电压UR与
「同相位,电感电压UL超前I'90:
电容电压Uc要滞后「90［总电压Us与各元件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图〔a〕和〔b〕为对应原图〔a〕和〔b〕的相量图.由题解图〔a〕可得
Us=.URUl=302602=67.08V
由题解图〔b〕可得
US=,UR〔Uc-Ul〕2=152〔100-80〕2=258V
题解8—11图
注：
这一题的求解说明,R,L,C元件上电压与电流之间的相量关系、有效值和相位关系〔如下表所示〕是我
们分析正弦稳态电路的根底,必须很好地理解和掌握.
电感L
Ul=jXLIL
Ul=jXL「
仇=仇+90二
电容C
UC=-jXCIC
UC=XCIC
仇=d-90二
1
8—12图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为A：
5A；A2：
2°a；
A3:
25Ao求：
〔1〕图中电流表A的读数；〔2〕如果维持A的读数不变,而把电源的频率提升一倍,再求电流表A的读数.
题8—12图
解法一:
〔1〕R,L,C并联,设元件的电压为
UR二二UL二UC二U二U0
根据元件电压、电流的相量关系,可得
UU
Ir5/0A
RR
UU
IL=——=——-90A--j20AjXLXl
应用KLC的相量形式,总电流相量为
I=IrIlIc=5-j20j25=5j5=5'245A
故总电流表的读数.・'=I=5、.2=7.07A
（2）设Ur==Ul=Uc=U-U—0
UU
,…—『一,、一,Ir=-=—=5,0A.
当电流的频率提图一倍后,由于RR不变,所以ur-U不
U1——=—20.
jXLj2L2
UU
Ic===225.90=50.90A
一jXC_j；2c
所以
I=IRIL1c=5-j10j50=5j40
即,电流表的读数
A--52402-40.31A
题解8—12图
解法二：
利用相量图求解.设U=U/00=UR=UL=Uc为参考向量,根
据元件电压、电流的相位关系知,IR和U同相位,1c超前90：
IL滞后U901■■■
相量图如题解8—12图所示,总电流「与IR,Ic和IL组成一个直角三角形.故
电流表的读数为
...=\IR（Ic-Il）2A
即
（1）@=,52+（25-20）2=7.07A
⑵@=,52+（25-10）2=40.31A
注：
从8—11题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电
压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成相量图中的几何关系.最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决.一般对串联电路,选电流作参考方向较方便,如8-11题.对并联电路,那么选电压作参考相量较方便,如8-12题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.
8-13对RL串联电路作如下两次测量：
（1）端口加90V直流电压=0）时,输入电流为3A;
（2）端口加f=50Hz的正弦电压90V时,输入电流为1.8A.求
R和L的值.
庆
题解8—13图
解：
由题意画电路如题解8—13图所示.
（1）当us为90V直流电压时,电感L看作短路,那么电阻
RU-
（2）当us为90V交流电压时,设电流「=1/0口=1.8/0二A,根据相量法,
US=RIjXLI=301.8jXL1.8
Us=90=1.8,302Xi2
Xl=（90）2-302=40】
1.8
U0.127H
XlXl40
L===
解得•2开100二
8-14某一元件的电压、电流（关联方向）分别为下述4种情况时,它可能是
什么元件?
u=10sin（100t）V
（2）i=2cos（100t）A
u和i的相量为
'u=10cos（10t十451V（Di=2sin（10t+135）A
U=10.45V
2
即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个5建的电阻元
件.
（1）把电压变为余弦形式有u=cos（100t-j90）V
102
U45I=0A
（2）u和i的相量为J2V2
U5
一二545（1j）;RjXL
那么I..2
55
R:
：
.iXL：
:
.i
即这是一个「2的电阻和v2的电感的串联组合.
3,、.,
8—15电路由电压源usn00cos（10t）V及R和L=0.025H串联组成.电感端电压的有效值为25V.求R值和电流的表达式.
解：
由题意画电路的相量模型如题解8—15图（a）所示,相量图如题解图（b）所示.由于
100
U.20
XL=L=1030.025=25」
题解8—15图
由图〔b〕知电阻电压的有效值为
UR66.144
R=—R==66.144'1
所以电阻为I1
「滞后US的角度（由于是感性电路）为
.Ul.25
Z=arcsin——=arcsin-20.70
Us1002
因此电流的瞬时表达式为
i（t）=2cos（103t-20.70）A
100
■
IUS—=2——=1-20.70A
也可根据RjXL66.144j25
得i（t）=2cos（103t-20.70）A
8-16图示电路I1=I2=10A.求I和Us.■■■■■
解：
设US为参考相量.I1与US同相位,I2超前Us901相量图如题解8-
题解8—16图题解8—16图
I=Jl2-12=J102・102=10、,2A
12
Z=arctan=arctanl=45
11
由电路图知
Us=RI1=1010=100V
故Us和「分别为
US-100.0V
I=I.:
z=10,245A
8-17图示电路中1s=2/0A.求电压uo
■■'uu
1s=IR'IL=二'
解：
RjXL
u-IS-20=245V
1.2—45
1
即j
题8—17图
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