电路原理邱关源习题答案第八章相量法.docx

1、电路原理邱关源习题答案第八章相量法第八章相量法求解电路的正弦稳态响应,在数学上是求非齐次微分方程的特解.引用相 量法使求解微分方程特解的运算变为复数的代数运运算,从儿大大简化了正弦 稳态响应的数学运算.所谓相量法,就是电压、电流用相量表示, RLC元件用阻抗或导纳表示,画出电路的相量模型,利用 KCL,KVL和欧姆定律的相量形式列写出未知电压、电流相量的代数方程加以求解,因此,应用相量法应熟练掌握： (1)正弦信号的相量表示；(2) KCL,KVL的相量表示；(3) RLC元件伏安关系式的相量形式；(4) 复数的运算.这就是用相量分析电路的理论根据.8-1将以下复数化为极坐标形式：(1) Fi

2、=-5-j5； F2 =-4 + j3； F3 =20+j40；(4) F4=j10; (5) F5=-3; (6) F6=2.78 + j9.20o解：(1) F1 =-5-j5 = aZ0a = (-5)2 (-5)2 =5.2-5 v1-arctan =-135 -5 (因F1在第三象限)故F1的极坐标形式为F1=5%2/ -135 -(2) F2 =4 + j3=C(Y)2+32/arctan4)=52143.13：( F2 在第二 象限)(3)F3 =20+ j40 = J202 +402Narctan(40/20) =44.72/63.43二(4)F4 =10j =10/90 二

3、F5=-3 = 3/180 二(6)F6 =2.78 + j 9.20 = 32.782 +9.202/arctan(9.20/2.78) = 9.61,73.19 ： 注：一个复数可以用代数型表示,也可以用极坐标型或指数型表示,即F=a1 + ja2 =a/e =aeja它们相互转换的关系为：2 2 1-arctana0 a2 ai和 a1 = acosi a2 = asin?需要指出的,在转换过程中要注意 F在复平面上所在的象限,它关系到 日的取值 及实部ai和虚部a2的正负.8-2将以下复数化为代数形式：1Fi=10/73；2 F2 =15/112.6：；3F3 =1.2/152；4F4

4、=10/-90 :5Fi =5Z-180=;6 Fi =10/ -1351解：1 Fi =10/ 73=10xcos73二十 j10xsin73= 2.92 j9.56 F2 =15/112.6 = 15cos112.6、15sin112.6 = -5.76+j13.853 F3 =1.2/152 口=1.2cos152 + 1.2sin152 0 = 1.O6 + jO.564F4 =10=-90*=-jIO5F1 =5/-180口= -56 Fi =10/-135,0cos-135：+10sin-135二=-7.07-j7.078 3假设IO./.“十A260 = 175/中.求a和中.解

5、：原式=100 + Acos60 0+ ja sin600=175cos9 + j175sin中根据复数相等的定义,应有实部和实部相等,即Acos60 100 =175cos虚部和虚部相等 Asin60 =175sin把以上两式相加,得等式A2 100 A -20625 -0-100主,1002 +4乂20625 1 102.07A = 二 +解得 2 202.069.3102.07 =0.505Asin60 2所以sin = = 175 175=30.348-4求81题中的F,F6和F2/F6.解：F2 F6=(4 j3) (2.78 j9.20) =5 143.13 9.61 73.19=

6、 48.05. 216.32 =48.05. -143.684 j3 5. 143.13F2 F6 = = = 0.52 69.942.78 j9.20 9.61 73.198 5求8 2题中的F1 +巳和E/F5 o解：F1 F5 - 10. - 73 5. - 180= 10cos(-73 ) j10sin(-73 ) -5=-2.08 - j9.56 =9.78 -102.2710. -73F1 F5 = = 2 -73 180 =2 1075/-1808 6 假设.i1 = -5cos(314t +60)Ai2 = 10sin(314t + 60)A,i3 =4cos(314t 60

7、)A(1)写出上述电流的相量,并绘出它们的相量图；(2) 1与心和i1与)的相位差；(3)绘出3的波形图；(4)假设将3表达式中的负号去掉将意味着什么？(5)求的周期T和频率f.解：(1) i1 二 一5cos(314t+601 =5cos(314t+60 = 180=) =5cos(314t 120bi2 =10sin(314t 60 ) = 10cos(314t - 30 )故i1 , i 2和i3的相量表达式为13 =1 - 3 - -120 -60 - -180(4)假设将ii (t)中的负号去掉,意味着ii的初相位超前了 180二.即ii的参考方向反向.(5) ii (t)的周期和频

8、率分别为2 二 2 二T = =0.02s = 20ms314.1 1f =一 = =50 HzT 2 二 0.02注：定义两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差,因此在 比拟相位差时,两个正弦量必须满足(1)同频率；(2)同函数,即都是正 弦或都是余弦；(3)同符合,即都为正号或都为负号,才能进行比拟.8-7 假设两个同频正弦电压的相量分别为Ui =50/30 V ,5 =T00/-150 V ,其频率 f=100Hz .求：(1)写出ui,出的时域形式；(2) 3与弘的相位差.(1)u1(t) = 50. 2 cos(2 ft 30 ) = 50 . 2 cos(628t 30 )

9、Vu2(t) =-100.2cos(2二ft-150 ) =100.2cos(628t-150 =180 )V二100,2cos(628t 30 )V(2)由于 U1=50. 30 V ,U2 =-100/-150 V =100. 30 V故相位差为中=3030 = 0：即u1与u2同相位.8-8 ：3(t) =22072cos(314t120 1Vu2(t) =220,2 cos(314t 30 )V(1)画出它们的波形图,求出它们的有效值、频率 f和周期T;(2)写出它们的相量和画出其相量图,求出它们的相位差；(3)如果把电压电的参考方向反向,重新答复(1), (2).解：(1)波形如题解

10、88图(a)所示.有效值为u1 =u2 = 220V u2314f1 = f2 = =50Hz频率 2二 2二1 1T1 = T2 0.02 s周期 f 50(2)5和弘的相量形式为U1 =220 -120 V U2 =220 30 V故相位差为 =i - ：2 =-120 -30 -150 相量图见题解图(b)所示.(3)U2的参考方向反向,u2 (t)变为一u2 (t),有效值、频率和周期均 不变,U2 (t)的相量为 U2 =220/30180口=200/150V故U1和U2的相位差为*=91-中2=-120 -(-150)=30 波形图和向量图见题解图(a)和(b).8 9一段电路的电

11、压、电流为：3 ,u =10sin(10 t - 20 )Vi =2cos(103t -50 )A(1)画出它们的波形图和向量图；(2)求出它们的相量差.3 3解：(1) u =10slM10 t20 ) =10cos10 t110 )V,故 u 和 i 的相量分别为60 o8-10图示三个电压源的电压分别为:Ua =22072cos侬t +10)V , Ub =22045cosgt -110 =)V ,Uc = 220 2 cos( t 130 )V求：(1) 3个电压的和；(2) Uab,Ubc； (3)画出它们的相量图 0 .u(a) +1 处 + e ; c +题解810图解：“,ub

12、, Uc的相量为U a = 220 10 VUb =220. -110VUc =220. 130 V(1)应用相量法有Ua Ub Uc =220 10 220/ -110 220 130a c=0即三个电压的和uaub(t) uc=0 Uab =Ua -Ub =220/10 220/-110 ：= 220 3 40 VUbc =Ub -Uc =220 -110 -220 130= 220.3 -80 V(3)相量图如题解810图所示uc题解810图8-11 图V2 :80V . V3 :(a)中电压表读数为V1：30V ； V2:60V；图(b)中的V1 :15V；100V.(电压表的读数为正

13、弦电压的有效值.)求图中电压Us.题811图解法一：(a)图：设回路中电流=1/0：根据元件的电压、电流相量关系,可得题8-11图UR = RI = RI 0 =3.0 VUl = jXLl = XlI 90 =6.90 V那么总电压 Us =Ur-Ul =30 j60V所以Us的有效值为 U s =痴2 +602 = 67.08V(b)图：设回路中电流相量I =1/0二A,由于Ur = RI = RI 0 =15 0 VUl XlI =XlI 90 =80 90 V元件相量关系后效值关系相位关系相量图电阻RUr = RI RUr =RIr仇=%UC =-jXCI =XCI -90 =100

14、-90 V所以总电压 Us = Ur Ul Uc =15 j80 -100j =15-j 20V故Us的有效值为 Us=J132+202=25V解法二： 利用相量图求解.设电流=1/0 为参考相量,电阻电压UR与同相位,电感电压UL超前I90 :电容电压Uc要滞后90总电压Us与各元 件电压向量构成一直角三角形.题解8-11图a和b为对应原图a和b 的相量图.由题解图a可得U s = . U R U l = 302 602 = 67.08V由题解图b可得US = ,UR Uc -Ul2 = 152 100 -802 = 258V题解811图注：这一题的求解说明,R, L, C元件上电压与电流之

15、间的相量关系、有效 值和相位关系如下表所示是我们分析正弦稳态电路的根底,必须很好地理解和掌握.电感LUl = jXLILUl = jXL仇=仇+90二电容CU C = - jX C I CU C = X C I C仇=d-90二1 812图示正弦电流电路中,电流表的读数分别为 A：5A； A2：2a；A3 :25Ao求：1图中电流表A的读数；2如果维持A的读数不变,而把电 源的频率提升一倍,再求电流表 A的读数.题812图解法一:1 R, L, C并联,设元件的电压为UR 二二UL 二UC 二U 二U 0根据元件电压、电流的相量关系,可得U UIr 5/0 AR RU UIL =-90 A -

16、 - j20A jXL Xl应用KLC的相量形式,总电流相量为I = Ir Il Ic =5-j20 j25 = 5 j5 =5 2 45 A故总电流表的读数. =I =5、.2 =7.07A(2)设Ur =Ul =Uc =U -U 0U U,一 ,、一 , I r =- = =5,0 A.当电流的频率提图一倍后,由于 R R 不变,所以ur-U不U 1 =20.jXL j2 L 2U UIc = = = 2 25. 90 =50. 90 A一jXC _j； 2 c所以I =IR IL 1c =5-j10 j50 =5 j40即,电流表的读数A - -52 402 -40.31A题解812图解

17、法二： 利用相量图求解.设U =U/00=UR =UL =Uc为参考向量,根据元件电压、电流的相位关系知,IR和U同相位,1c超前90： IL滞后U 901 相量图如题解812图所示,总电流与IR, Ic和IL组成一个直角三角形.故电流表的读数为. =IR (Ic -Il)2A即 (1) =,52 +(25 -20)2 =7.07A =,52 +(25 -10)2 =40.31A注：从811题的解法二,可以体会到应用向量图分析电路的要点,那就是 首先要选好一个参考相量,这个参考相量的选择,必须能方便地将电路中其它电压、电流相量,根据电路的具体结构及参数特点逐一画出,把所给的条件转化成 相量图中

18、的几何关系.最后根据相量图中的相量关系,使问题得到解决.一般对 串联电路,选电流作参考方向较方便,如 8-11题.对并联电路,那么选电压作参 考相量较方便,如8-12题.有些问题通过相量图分析将很直观和简便.8-13 对RL串联电路作如下两次测量：(1)端口加90V直流电压=0)时, 输入电流为3A; (2)端口加f =50Hz的正弦电压90V时,输入电流为1.8A.求R和L的值.庆题解813图解：由题意画电路如题解813图所示.(1)当us为90V直流电压时,电感L看作短路,那么电阻RU-(2)当us为90V交流电压时,设电流=1/0口=1.8/0二A,根据相量法,US = RI jXLI

19、=30 1.8 jX L 1.8Us =90 = 1.8 , 302 Xi2Xl = (90)2 -302 =40 】1.8U0.127H, Xl Xl 40L = = = 解得 2开 100二8-14某一元件的电压、电流(关联方向)分别为下述 4种情况时,它可能是什么元件?u =10sin(100t)V(2) i =2cos(100t)Au和i的相量为u =10cos(10t 十 45 1V (D i =2sin(10t +135)AU = 10 . 45 V2即电压、电流同相位,根据元件电压、电流相位关系可知这是一个 5建的电阻元件.(1)把电压变为余弦形式有 u =cos(100t -

20、j90 )V10 2U 45 I = 0 A(2) u和i的相量为 J2 V2U 5一二5 45 (1 j); R jX L那么 I . 25 5R : ：. i X L ： :. i即这是一个 2 的电阻和 v2 的电感的串联组合.3,、.,815电路由电压源us n00 cos(10 t)V及R和L= 0.025H串联组成.电感端电 压的有效值为25V.求R值和电流的表达式.解：由题意画电路的相量模型如题解 815图(a)所示,相量图如题解图 (b)所示.由于100U.2 0XL= L=103 0.025= 25题解815图由图b知电阻电压的有效值为UR 66.144R = R = =66

21、.144 1所以电阻为 I 1滞后US的角度(由于是感性电路)为.Ul . 25Z = arcsin=arcsin - 20.70Us 100 2因此电流的瞬时表达式为i(t) = 2cos(103t -20.70 )A100 I US = 2 =1 -20.70 A也可根据 R jXL 66.144 j25得 i(t) = 2cos(103t -20.70 )A8-16图示电路I1 =I2 =10A.求I和Us. 解：设US为参考相量.I1与US同相位,I2超前Us901相量图如题解8-题解816图 题解816图I = Jl2-12 = J102 102 =10、,2 A1 2Z = arctan = arctanl = 4511由电路图知Us = RI1 =10 10 = 100V故Us和分别为US -100. 0 VI = I. :z =10,2 45 A8-17图示电路中1s =2/0 A.求电压u o u u1s = I R IL =二 解： R jXLu - IS -2 0 = 2 45V1 .2 451即 j题817图