离散数学结构 第3章 命题逻辑的推理理论复习.docx
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离散数学结构第3章命题逻辑的推理理论复习
第3章命题逻辑的推理理论
主要内容
1.
推理的形式结构:
①推理的前提
②推理的结论
③推理正确
④有效结论
2.
判断推理是否正确的方法:
①真值表法
②等值演算法
③主析取范式法
3.
对于正确的推理,在自然推理系统P中构造证明
4.
①自然推理系统P的定义
②自然推理系统P的推理规则:
前提引入规则、结论引入规则、置换规则、假言推理规则、附加规则、化简规则、拒取式规则、假言三段式规则、构造性二难规则、合取引入规则。
③附加前提证明法
④归谬法
学习要求
1.
理解并记住推理的形式结构的三种等价形式,即
①{A1,A2,…,Ak}├B
②A1∧A2∧…∧Ak→B
③前提与结论分开写:
前提:
A1,A2,…,Ak
结论:
B
在判断推理是否正确时,用②;在P系统中构造证明时用③。
2.
熟练掌握判断推理是否正确的三种方法(真值表法,等值演算法,主析取范式法)。
3.
牢记P系统中的各条推理规则。
4.
对于给定的正确推理,要求在P系统中给出严谨的证明序列。
5.
会用附加前提证明法和归谬法。
3.1推理的形式结构
定义3.1设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式,若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项的任意一组赋值,或者A1∧A2∧…∧Ak为假,或者当A1∧A2∧…∧Ak为真时,B也为真,则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的,并称B是有效结论。
二、有效推理的等价定理
定理3.1命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当
(A1∧A2∧…∧Ak)→B
为重言式。
Ak为假,或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真,这正符合定义3.1中推理正确的定义。
由此定理知,推理形式:
前提:
A1,A2,…,Ak
结论:
B
是有效的当且仅当(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式。
(A1∧A2∧…∧Ak)→B称为上述推理的形式结构。
从而推理的有效性等价于它的形式结构为永真式。
于是,推理正确
{A1,A2,…,Ak}
B
可记为
A1∧A2∧…∧Ak
B
其中
同
一样是一种元语言符号,用来表示蕴涵式为重言式。
而判断命题公式永真性有三个方法:
1.真值表法
2.等值演算法
3.主析取范式法
三、重言蕴涵式
由上一个小节可以看出:
形如A→B的重言式在推理中十分重要。
若A→B为重言式,则称B为A的推论,记为A
B,下面是几个重要的重言蕴涵式及其名称
1.A
(A∨B) 附加律
2.(A∧B)
A 化简律
3.(A→B)∧A
B 假言推理
4.(A→B)∧┐B
┐A 拒取式
5.(A∨B)∧┐B
A 析取三段论
6.(A→B)∧(B→C)
(A→C) 假言三段论
7.(A
B)∧(B
C)
(A
C) 等价三段论
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)
(B∨D) 构造性二难
(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)
B 构造性二难(特殊形式)
9.(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)
(┐A∨┐C) 破坏性二难
这几个蕴涵式在下节中将起重要的作用。
3.2自然推理系统P
一、形式推理系统
我们将前述推理用更严谨的形式推理系统描述出来。
定义3.2一个形式系统I由下面四个部分组成:
(1)非空的字符表集,记作A(I)。
(2)A(I)中符号构造的合式公式集,记作E(I)。
(3)E(I)中一些特殊的公式组成的公理集,记作AX(I)。
(4)推理规则集,记作R(I)。
可以将I记为.其中是I的形式语言系统,为I的形式演算系统。
形式系统一般分为两类。
一类是自然推理系统,它的特点是从任意给定的前提出发,应用系统中的推理规则进行推理演算,得到的最后命题公式是推理的结论(有时称为有效的结论,它可能是重言式,也可能不是)。
另一类是公理推理系统,它只能从若干给定的公理出发,应用系统中推理规则进行推理演算,得到的结论是系统中的重言式,称为系统中的定理。
二、自然推理系统P
P是一个自然推理系统,因而没有公理。
故P只有三个部分。
定义3.3自然推理系统P定义如下:
1.字母表
(1)命题变项符号:
p,q,r,…,pi,qi,ri,…
(2)联结词符号:
┐,∧,∨,→,
(3)括号和逗号:
(,),,
2.合式公式同定义1.6
3.推理规则
(1)前提引入规则:
在证明的任何步骤上都可以引入前提。
(2)结论引入规则:
在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
(3)置换规则:
在证明的任何步骤上,命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换,得到公式序列中的又一个公式。
由九条推理定律和结论引入规则还可以导出以下各条推理定律。
(4)假言推理规则(或称分离规则):
若证明的公式序列中已出现过A→B和A,则由假言推理定律(A→B)∧A
B可知,B是A→B和A的有效结论。
由结论引入规则可知,可将B引入到命题序列中来。
用图式表示为如下形式:
以下各条推理定律直接以图式给出,不再加以说明。
(5)附加规则:
(6)化简规则:
(7)拒取式规则:
(8)假言三段论规则:
(9)析取三段论规则:
(10)构造性二难推理:
(11)破坏性二难推理规则:
(12)合取引入规则:
本条规则说明,若证明的公式序列中已出现A和B,则可将A∧B引入序列中。
这就完成了P的定义。
三、P中的证明
P中的证明就是由一组P中公式作为前提,利用P中的规则,推出结论。
当然此结论也为P中公式。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
(1)前提:
p∨q,q→r,p→s,┐s
结论:
r∧(p∨q)
(2)前提:
┐p∨q,r∨┐q,r→s
结论:
p→s
解
(1)证明:
①p→s 前提引入
②┐s 前提引入
③┐p ①②拒取式
④p∨q 前提引入
⑤q ③④析取三段论
⑥q→r 前提引入
⑦r ⑤⑥假言推理
⑧r∧(p∨q)⑦④合取
此证明的序列长为8,最后一步为推理的结论,所以推理正确,r∧(p∨q)是有效结论。
(2)证明:
①┐p∨q 前提引入
②p→q ①置换
③r∨┐q 前提引入
④q→r ③置换
⑤p→r ②④假言三段论
⑥r→s 前提引入
⑦p→s ⑤⑥假言三段论
从最后一步可知推理正确,p→s是有效结论。
可以在自然推理系统P中构造数学和日常生活中的一些推理,所得结论都是有效的,即当各前提的合取式为真时,结论必为真。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
若数a是实数,则它不是有理数就是无理数;若a不能表示成分数,则它不是有理数;a是实数且它不能表示成分数。
所以a是无理数。
解首先将简单命题符号化:
设p:
a是实数。
q:
a是有理数。
r:
a是无理数。
s:
a能表示成分数。
前提:
p→(q∨r),┐s→┐q,p∧┐s
结论:
r
证明:
①p∧┐s 前提引入
②p ①化简
③┐s ①化简
④p→(q∨r)前提引入
⑤q∨r ②④假言推理
⑥┐s→┐q 前提引入
⑦┐q ③⑥假言推理
⑧r ⑤⑦析取三段论
P中证明的两个常用技巧:
1.附加前提证明法
2.归谬法
四、附加前提法
有时推理的形式结构具有如下形式
(A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) (3.5)
(3.5)式中结论也为蕴涵式。
此时可将结论中的前件也作为推理的前提,使结论只为B。
即,将(3.5)化为下述形式
(A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B (3.6)
其正确性证明如下:
(A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B))
┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨(┐A∨B)
┐(A1∧A2∧…∧Ak∨┐A)∨B
┐(A1∧A2∧…∧Ak∧A)∨B
(A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B
因为(3.5)式与(3.6)式是等值的,因而若能证明(3.6)式是正确的,则(3.5)式也是正确的。
用形式结构(3.6)式证明,将A称为附加前提,并称此证明法为附加前提证明法。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张和小王去看电影,则小李也去看电影;小赵不去看电影或小张去看电影;小王去看电影。
所以,当小赵去看电影时,小李也去看电影。
解将简单命题符号化:
设p:
小张去看电影。
q:
小王去看电影。
r:
小李去看电影。
s:
小赵去看电影。
前提:
(p∧q)→r,┐s∨p,q
结论:
s→r
证明:
用附加前提证明法。
①s 附加前提引入
②┐s∨p 前提引入
③p ①②析取三段论
④(p∧q)→r前提引入
⑤q 前提引入
⑥p∧q ③⑤合取
⑦r ④⑥假言推理
思考:
不用附加前提证明法构造例3.5的证明。
五、归谬法
在构造形式结构为
(A1∧A2∧…∧Ak)→B
的推理证明中,如果将┐B作为前提能推出矛盾来,比如说得出(A∧┐A),则说明推理正确。
其原因如下:
(A1∧A2∧…∧Ak)→B
┐(A1∧A2∧…∧Ak)∨B
┐(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B)
若(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B)为矛盾式,正说明(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式,即(A1∧A2∧…∧Ak)
B,
故推理正确。
例在自然推理系统P中构造下面推理的证明。
如果小张守第一垒并且小李向B队投球,则A队将取胜;或者A队未取胜,或者A队获得联赛第一名;A队没有获得联赛的第一名;小张守第一垒。
因此,小李没有向B队投球。
解先将简单命题符号化。
设p:
小张守第一垒。
q:
小李向B队投球。
r:
A队取胜。
s:
A队获得联赛第一名。
前提:
(p∧q)→r,┐r∨s,┐s,p
结论:
┐q
证明:
用归谬法
①q 结论的否定引入
②┐r∨s 前提引入
③┐s 前提引入
④┐r ②③析取三段论
⑤(p∧q)→r前提引人
⑥┐(p∧q) ④⑤拒取式
⑦┐p∨┐q ⑥置换
⑧p 前提引入
⑨┐q ⑦⑧析取三段论
⑩q∧┐q ①⑨合取
由于最后一步q∧┐q
0,即(((p∧q)→r)∧(┐r∨s)∧┐s∧p)∧q
0,所以推理正确。