四种命题间的相互关系.docx

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四种命题间的相互关系

1.1.2　四种命题

1．1.3　四种命题间的相互关系

学习目标

　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一　四种命题的概念

思考1　初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？

答案　在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题．

思考2　除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？

答案　有．

梳理　

名称

阐释

互逆命题

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．

互否命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．

互为逆

否命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题.

知识点二　四种命题的相互关系

思考1　命题与其逆命题之间是什么关系？

答案　互逆．

思考2　原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？

答案　原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理　

（1）四种命题间的关系

（2）四种命题间的真假关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

知识点三　逆否证法

思考　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题，这种证明方法叫做逆否证法．

譬如，求证：

“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题．

证明　把要证的命题视为原命题，则它的逆否命题为：

“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0.”

若方程x2＋x－m＝0无实根，则Δ＝4m＋1<0，所以m<－

<0.

所以命题“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”为真．

所以“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”为真命题．

类型一　四种命题的写法

例1　把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）正数的平方根不等于0；

（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0；

（3）对顶角相等．

解　

（1）原命题：

若a是正数，则a的平方根不等于0.

逆命题：

若a的平方根不等于0，则a是正数．

否命题：

若a不是正数，则a的平方根等于0.

逆否命题：

若a的平方根等于0，则a不是正数．

（2）原命题：

若x＝2，则x2＋x－6＝0.

逆命题：

若x2＋x－6＝0，则x＝2.

否命题：

若x≠2，则x2＋x－6≠0.

逆否命题：

若x2＋x－6≠0，则x≠2.

（3）原命题：

若两个角是对顶角，则它们相等．

逆命题：

若两个角相等，则它们是对顶角．

否命题：

若两个角不是对顶角，则它们不相等．

逆否命题：

若两个角不相等，则它们不是对顶角．

反思与感悟　由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．

跟踪训练1　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．

（1）实数的平方是非负数；

（2）等底等高的两个三角形是全等三角形．

解　

（1）逆命题：

若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：

若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：

若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

（2）逆命题：

若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：

若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：

若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．

类型二　等价命题的应用

例2　证明：

已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0.

证明　方法一　原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f（a）＋f（b）

若a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

方法二　假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

∴f（a）

∴f（a）＋f（b）

这与已知条件f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

反思与感悟　因原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别．

跟踪训练2　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

类型三　反证法的应用

例3　若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋

，b＝y2－2z＋

，c＝z2－2x＋

.求证：

a、b、c中至少有一个大于0.

证明　（反证法）假设a、b、c都不大于0，

即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0.

而a＋b＋c

＝x2－2y＋

＋y2－2z＋

＋z2－2x＋

＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3.

∵π－3>0，且（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2≥0

∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，

因此a、b、c中至少有一个大于0.

反思与感悟　

（1）求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明．用反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

（2）常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：

原词

等于

（＝）

大于

（>）

小于

（<）

是

都是

至多有一个

至多有

n个

至少有一个

否定词语

不等于（≠）

不大于（≤）

不小于（≥）

不是

不都是

至少有两个

至少有

（n＋1）个

一个也没有

跟踪训练3　已知：

在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边的中点，如图所示．求证：

AD<

BC.

证明　假设AD≥

BC.

（1）若AD＝

BC，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对的角为直角”，知

∠BAC＝90°，与题设矛盾．∴AD≠

BC.

（2）若AD>

BC，由题意知BD＝DC＝

BC，

∴在△ABD中，AD>BD，从而∠B>∠BAD；

同理∠C>∠CAD.

∴∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，

即∠B＋∠C>∠BAC.

∵∠B＋∠C＝180°－∠BAC，

∴180°－∠BAC>∠BAC，则∠BAC<90°，

与题设矛盾．

由

（1）

（2）知AD<

BC.

1．命题若“a∉A，则b∈B”的否命题是（　　）

A．若a∉A，则b∉B

B．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A

D．若b∉B，则a∉A

答案　B

解析　命题“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，“∈”与“∉”互为否定形式．

2．下列命题为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

答案　A

解析　对A，即判断：

若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

答案　若x>0，则x>1　若x≤0，则x≤1

4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

答案　4

解析　逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；

否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；

逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，

全为真命题．

5．已知命题p：

“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

（1）写出命题p的否命题；

（2）判断命题p的否命题的真假．

解　

（1）命题p的否命题为：

“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

（2）命题p的否命题是真命题．

判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．

1．由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．

2．如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

3．反证法与逆否证法的区别

（1）反证法与逆否证法的目的不同，反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出否定条件．

（2）反证法与逆否证法的本质不同，逆否证法本质是证明一个新命题（逆否命题）成立，而反证法把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论．

一、选择题

1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（　　）

A．能被3整除的整数，一定能被6整除

B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D．不能被6整除的整数，能被3整除

答案　B

解析　即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．

2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（　　）

A．互逆命题B．互否命题

C．互为逆否命题D．以上都不正确

答案　A

解析　设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A，则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．故q与r为互逆命题．

3．用反证法证明某命题时，对结论：

“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（　　）

A．a，b，c都是奇数

B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

答案　D

解析　用反证法证明某命题时，对结论：

“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：

a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选D.

4．如果方程x2＋（m－1）x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（　　）

A．（－

，

）B．（－2,0）

C．（－2,1）D．（0,1）

答案　D

解析　由题意，构建函数f（x）＝x2＋（m－1）x＋m2－2，

∵两个实根一个小于－1，另一个大于1，

∴f（－1）<0，f

（1）<0，

∴0

5．已知a，b，c均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：

①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线；

②a∥β，β内必存在与a相交的直线；

③α∥β，a⊂α，b⊂β，必存在与a，b都垂直的直线；

④α⊥β，α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，若a不垂直c，则a不垂直b.

其中真命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　①，③正确；对于②：

当a∥b，且a，b⊂α，c∥α时，可得②错误；对于④：

若b⊥c⇒b⊥α⇒b⊥a，故④错误．故正确命题的个数为2个．故选B.

6．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；

②“若x≥y，则x2≥y2”的逆否命题；

③“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

④“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　①否命题是“若x＋y≠0，则x、y不互为相反数”．真命题．

②原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．

③否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”．假命题．

④逆命题为“若两角相等，则这两角为对顶角”．假命题．

二、填空题

7．命题：

“若|x|＝1，则x＝1”的否命题为_________________________________________．

答案　若|x|≠1，则x≠1

8．已知命题“若m－1

答案　[1,2]

解析　由已知得，若1

∴

∴1≤m≤2.

9．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________．

答案　②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤

解析　命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

10．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，在下列几个条件中，能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的有________．

①x为直线，y，z为平面；②x，y，z均为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z均为直线．

答案　①③④

解析　①x为直线，y，z是平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；②x，y，z均为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能相交，为假命题；③x，y为直线，z为平面，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；④x，y为平面，z为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x∥y，为真命题；⑤x，y，z均为直线，若x⊥z，且y⊥z，则x与y可能平行、相交或异面，为假命题．

三、解答题

11．同住一房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：

（1）A不在修剪指甲，也不在看书；

（2）B不在听音乐，也不在修剪指甲；

（3）若C在修剪指甲，则A在听音乐；

（4）D既不在看书，也不在修剪指甲；

（5）C不在看书，也不在听音乐．

若上面的都是真命题，则她们各自在干什么？

解　由于以上五个命题都是真命题，所以我们可以列表如下：

修剪指甲

A不在做

B不在做

D不在做

看书

A不在做

D不在做

C不在做

梳头发

听音乐

B不在做

C不在做

由表格看出：

C在修剪指甲，B在看书．又由命题（3）：

若C在修剪指甲，则A在听音乐，可知A在听音乐，最后我们确定出D在梳头发．

12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）当m>

时，mx2－x＋1＝0无实根；

（2）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.

解　

（1）逆命题：

当mx2－x＋1＝0无实根时，m>

；真命题；

否命题：

当m≤

时，mx2－x＋1＝0有实根；真命题；

逆否命题：

当mx2－x＋1＝0有实根时，m≤

；真命题．

（2）逆命题：

当a＝0或b＝0或c＝0时，abc＝0；真命题；

否命题：

当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0；真命题；

逆否命题：

当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0；真命题．

13．证明：

已知x>0，y>0，若x＋y>2，则

与

至少有一个小于2.

证明　证明原命题的逆否命题．

将要证的命题“已知x>0，y>0，若x＋y>2，则

与

至少有一个小于2”视为原命题，只需证明其逆否命题，即证明：

已知x>0，y>0，若

与

都不小于2，则x＋y≤2.若

≥2，

≥2，则1＋x≥2y，

1＋y≥2x，所以1＋x＋1＋y≥2y＋2x，

所以x＋y≤2，这就证明了逆否命题的正确性，所以原命题得证．

学习目标

　1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念.2.掌握判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的方法．

知识点一　充分条件与必要条件

思考　用恰当的语言表述下列语句的意义

①一个人如果骄傲自满，那么就必然落后；

②只有同心协力，才能把事情办好．

答案　①如果不骄傲自满，那就可能不落后，也可能落后，骄傲自满是落后的充分条件．

②同心协力是办好事情的必要条件．

梳理　

（1）一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）若p⇒q，但q

p，称p是q的充分而不必要条件，若q⇒p，但p

q，称p是q的必要而不充分条件．

知识点二　充要条件

思考　在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？

答案　因为A、B、C成等差数列，故2B＝A＋C，又因A＋B＋C＝π，故B＝60°，反之，亦成立，故“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的充分必要条件．

梳理　

（1）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

（2）充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

知识点三　充分条件、必要条件和充要条件的联系与区别

充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．

（1）从逻辑关系上看．

①若p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；

②若q⇒p，但p

q，则p是q的必要不充分条件；

③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件；

④若p

q，且q

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

（2）从集合与集合之间的关系上看．

如果p，q分别以集合A、集合B的形式出现，那么p，q之间的关系可以借助集合知识来判断．

①若A⊆B，则p是q的充分条件；

②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若A＝B，则p是q的充要条件；

④若A

B，且B

A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件，即p是q的既不充分也不必要条件．

（3）从传递性角度看．

由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件之间的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件之间的关系．

（4）从等价命题角度看．

当某一命题不易直接判断条件与结论的充要关系时，可利用原命题与其逆否命题的等价性来判断，即等价转化为判断其逆否命题是否成立．

类型一　充分条件、必要条件和充要条件的判断

例1　下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：

a＋b＝0，q：

a2＋b2＝0；

（2）p：

四边形的对角线相等，q：

四边形是矩形；

（3）p：

x＝1或x＝2，q：

x－1＝

；

（4）p：

m<－1，q：

x2－x－m＝0无实根；

（5）p：

ab≠0，q：

直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交．

解　

（1）∵a＋b＝0D⇒/a2＋b2＝0；

a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，

∴p是q的必要不充分条件．

（2）∵四边形的对角线相等

四边形是矩形；

四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，

∴p是q的必要不充分条件．

（3）∵x＝1或x＝2⇒x－1＝

；

x－1＝

⇒x＝1或x＝2，∴p是q的充要条件．

（4）若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，

即m<－

.∵m<－1⇒m<－

；m<－

m<－1，

∴p是q的充分不必要条件．

（5）由ab≠0，即a≠0且b≠0，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0，即ab≠0，故p是q的充要条件．

反思与感悟　对于两个命题：

p与q.

（1）若有“p⇒q，但q

p”，则称p是q成立的充分不必要条件．

（2）若有“q⇒p，但p

q”，则称p是q成立的必要不充分条件．

（3）若有“p⇒q，且q⇒p”，则称p是q成立的充要条件．

（4）若有“p

q，且q

p”，则称p是q成立的既不充分也不必要条件．

跟踪训练1　设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　可采用特殊值法进行判断，令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即条件“a>b”不能推出结论“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即结论“a2>b2”不能推出条件“a>b”．故选D.

类型二　递推法判断命题间的关系

例2　已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

（1）s是q的什么条件？

（2）r是q的什么条件？

（3）p是q的什么条件？

解　方法一　

（1）∵q是s的充分条件，∴q⇒s.

∵q是r的必要条件，∴r⇒q.

∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q.

即s是q的充要条件．

（2）由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．

（3）∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.

∴p是q的必要不充分条件．

方法二　如图所示．

（1）由图可知q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充要条件．

（2）因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充要条件．

（3）因为q⇒s⇒r⇒p，而p

q，

所以p是q的必要不充分条件．

反思与感悟　解决传递性问题的关键是画出结构图，也可以考虑命题之间的关系．

跟踪训练2　如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（　　）

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙是甲的充要条件

D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

答案　A

解析