旋转变换的应用.docx
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旋转变换的应用
第四节旋转变换的应用
一、课标导航
课标内容
课标要求
目标层次
旋转变换的应用
能用旋转的知识解决问题
★★★
二、核心纲要
1.旋转变换的基本性质
①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等.
②对应边所夹的角等于旋转角.
2.常见的几种基本旋转图形
3.常见的添加辅助线的方法
旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上,其功能还是把分散的条件相对集中,以便于条件的综合与推演.常用的方法有:
(1)图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形,通常旋转60°或90°.
(2)图形中有线段的中点,通常旋转180°.
(3)图形中出现有公共端点且相等的线段,通常旋转夹角的度数.
(4)共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形,通常考虑旋转.
本节重点讲解:
一个性质、常用基本图形,常用的辅助线.
三、全能突破
基础演练
1.若点A的坐标为(6,3),O为帮战,将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA',则点A'的坐标是().
A.(3,-6)B.(-3,6)C.(-3,-6)D.(3,6)
2.如图23-2-1所示,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=a,O为AC中点,EO⊥OF,则BE+BF=,四边形BEOF的面积为.
图23-2-1
3.
(1)如图23-2-2所示,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2,则AC的长是cm.
图23-2-2
(2)如图23-2-3所示,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积为49,则DP的长为.
图23-2-3
4.
(1)如图23-3-4(a)所示,△ABC和△CDE都是等边三角形,且B、C、D三点共线,连接AD、BE相交于点P,求证:
BE=AD.
(2)如图23-3-4(b)所示,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF,连接AD、BE和CF交于点P,下列结论中正确的是(只填序号即可).
①AD=BE=CF②∠BEC=∠ADC③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°
(3)如图23-2-4(b)所示,在
(2)的条件下,求证:
PB+PC+PD=BE
图23-2-4
5.阅读下列材料:
问题:
如图23-2-5(a)所示,已知P为等边△ABC内一点,且∠APB=150°,度探究线段PA、PB、PC之间的数量关系.
明明同学的想法是:
问题中的线段比例分散,可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起,从而解决问题,于是他将△ABP绕点B顺时针旋转60°,得到了△CBP',然后连接PP'.请你参考明明同学的思路,解决下列问题:
(1)图23-2-5(b)中的PA、PB、PC之间的数量关系为.
(2)如图23-2-5(c)所示,点P在等边△ABC的外部(在直线AB左侧),满足∠APB=30°,
(1)中的结论仍成立吗?
说明你的理由.
(3)如图23-2-5(d),点P在等边△ABC的外部(在直线BC下方),满足∠BPC=120°,请探究线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明你的结论.
(4)如图23-2-5(e)所示,点P在等边△ABC的外部(在直线BC下方),满足∠BPC≠120°,(3)中的结论仍成立吗?
请直接写出PA、PB、PC之间的数量关系,不用证明.
图23-2-5
能力提升
6.如图23-2-6所示,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段OB以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',下列结论:
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O'的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO'=
;⑤
,其中正确的结论是().
A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③
图23-2-6
7.在等边△ABC中,P为BC边上一点,则以AP、BP、CP为边能成的新三角形的最大内角为θ,则().
A.θ≥90°B.θ≤120°C.θ=120°D.θ=135°
8.如图23-2-7所示,等腰直角三角形ABCA中,∠B=90°,AB=α,O为AC的中点,∠EOF=45°,则△BEF的周长为.
图23-2-7
9.如图23-2-8所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=
,点D是直线BC上一点,BD=1,将射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE,交直线BC于点E,则DE=.
图23-2-8
10.如图23-2-9所示,正方形ABCD的边长为1,点F在线段CD上运动,AE平分∠BAF交BC边于点E.
(1)求证:
AF=DF+BE.
(2)设DF=x(0≤x≤1),△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值?
若存在,求出此时x的值及S;若不存在,请说明理由.
图23-2-9
11.
(1)如图23-3-10(a)所示,点P为正三角形ABC内一点,且满足PA=4,PB=3,PC=5,则∠APB=.
(2)如图23-2-10(b)所示,点P为正方形ABCD内一点,且满足
,求∠BPC的度数和正方形的边长.
(3)如图23-2-10(c)所示,点P为正六边形ABCDEF内一点,且满足
,请直接写出∠BPC的度数和正六边形的边长.
图23-2-10
12.已知:
AD=2,BD=4,以AB为一边作等边三角形ABC,使C、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图23-2-11所示,当∠ADB=60°时,求AB及CD的长.
(2)当∠ADB变化,且其它条件不变时,求CD的最大值及相应∠ADB的大小.
图23-2-11
13.在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.
(1)如图23-2-12(a)所示,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:
EG=AG+BG.
(2)如图23-2-12(b)所示,当EF与AB相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.
(3)当EF与AB相交时,若∠EAB=120°,请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系.
图23-2-12
14.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图23-2-13(a)中,证明:
CE=CF.
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图23-2-13(b)所示),直接写出∠BDG的度数.
图23-2-13
15.如图23-2-14(a)所示,在正方形ABCD中,点M,N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证:
MN=AM+CN.
(1)如图23-2-14(b)所示,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,点M,N分别在AD、CD上,若∠MBN=
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?
请写出猜想,并给予证明.
(2)如图23-2-14(c)所示,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?
请直接写出猜想,不需证明.
图23-2-14
16.若点为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.如图23-2-15所示,在锐角△ABC的外侧作等边△ACB',连接BB',求证:
BB'过△ABC的费马点P,且BB=PA+PB+PC.
图23-2-15
17.阅读下面材料:
阅读下面材料:
小雨遇到这样一个问题:
如图1,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间的距离是1,l2与l3之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并求出所画等腰直角三角形ABC的面积.
小雨是这样思考的:
要想解决这个问题,首先应想办法利用平行线之间的距离,根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示:
在直线l1任取一点A,作AD⊥l2于点D,作∠DAH=90°,在AH上截取AE=AD,过点E作EB⊥AE交l3于点B,连接AB,作∠BAC=90°,交直线l2于点C,连接BC,即可得到等腰直角三角形ABC.
请你回答:
图23-2-16(b)中等腰直角三角形ABC的面积等于______.
参考小雨同学的方法,解决下列问题:
如图23-2-16(c),直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间的距离是2,l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC,使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上,并直接写出所画等边三角形ABC的面积(保留画图痕迹).
图23-2-16
18.请阅读下列材料:
问题:
如图23-2-17(a),在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°.探究PG与PC的位置关系及
的值.
小聪同学的思路是:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
的值.
(2)将图23-2-17(a)中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图23-2-17(b)所示).你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
图23-2-17
中考链接
19.(2012·四川绵羊)如图23-2-18所示,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP',已知∠AP'B=135°,P'A:
P'C=1:
3,则P'A:
PB=().
A.
B.1:
2C.
D.1:
图23-2-18
20.(2013北京)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求α的值.
图23-2-19
巅峰突破
21.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为
,求此正方形的边长.