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旋转变换的应用

第四节旋转变换的应用

一、课标导航

课标内容

课标要求

目标层次

旋转变换的应用

能用旋转的知识解决问题

★★★

二、核心纲要

1.旋转变换的基本性质

①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等.

②对应边所夹的角等于旋转角.

2.常见的几种基本旋转图形

3.常见的添加辅助线的方法

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上，其功能还是把分散的条件相对集中，以便于条件的综合与推演.常用的方法有：

（1）图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋转60°或90°.

（2）图形中有线段的中点，通常旋转180°.

（3）图形中出现有公共端点且相等的线段，通常旋转夹角的度数.

（4）共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形，通常考虑旋转.

本节重点讲解：

一个性质、常用基本图形，常用的辅助线.

三、全能突破

基础演练

1．若点A的坐标为（6，3），O为帮战，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA＇，则点A＇的坐标是（）．

A．（3，-6）B．（-3，6）C．（-3，-6）D．（3，6）

2.如图23-2-1所示，等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=a，O为AC中点，EO⊥OF，则BE+BF=，四边形BEOF的面积为.

图23-2-1

3.

（1）如图23-2-2所示，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC的长是cm.

图23-2-2

（2）如图23-2-3所示，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积为49，则DP的长为.

图23-2-3

4.

（1）如图23-3-4（a）所示，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于点P，求证：

BE=AD.

（2）如图23-3-4（b）所示，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是（只填序号即可）.

①AD=BE=CF②∠BEC=∠ADC③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°

（3）如图23-2-4（b）所示，在

（2）的条件下，求证：

PB+PC+PD=BE

图23-2-4

5.阅读下列材料：

问题：

如图23-2-5（a）所示，已知P为等边△ABC内一点，且∠APB=150°，度探究线段PA、PB、PC之间的数量关系.

明明同学的想法是：

问题中的线段比例分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题，于是他将△ABP绕点B顺时针旋转60°，得到了△CBP＇，然后连接PP＇.请你参考明明同学的思路，解决下列问题：

（1）图23-2-5（b）中的PA、PB、PC之间的数量关系为.

（2）如图23-2-5（c）所示，点P在等边△ABC的外部（在直线AB左侧），满足∠APB=30°，

（1）中的结论仍成立吗？

说明你的理由.

（3）如图23-2-5（d），点P在等边△ABC的外部（在直线BC下方），满足∠BPC=120°，请探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论.

（4）如图23-2-5（e）所示，点P在等边△ABC的外部（在直线BC下方），满足∠BPC≠120°，（3）中的结论仍成立吗？

请直接写出PA、PB、PC之间的数量关系，不用证明.

图23-2-5

能力提升

6．如图23-2-6所示，O是正△ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5，将线段OB以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO＇，下列结论：

①△BO＇A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O＇的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO＇=

；⑤

，其中正确的结论是（）.

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

图23-2-6

7.在等边△ABC中，P为BC边上一点，则以AP、BP、CP为边能成的新三角形的最大内角为θ，则（）.

A.θ≥90°B.θ≤120°C.θ＝120°D.θ＝135°

8.如图23-2-7所示，等腰直角三角形ABCA中，∠B=90°，AB=α，O为AC的中点，∠EOF=45°，则△BEF的周长为.

图23-2-7

9.如图23-2-8所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=

，点D是直线BC上一点，BD=1，将射线AD绕点A逆时针旋转45°得到射线AE，交直线BC于点E，则DE=.

图23-2-8

10.如图23-2-9所示，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分∠BAF交BC边于点E.

（1）求证：

AF=DF+BE.

（2）设DF=x（0≤x≤1），△ADF与△ABE的面积和S是否存在最大值？

若存在，求出此时x的值及S；若不存在，请说明理由.

图23-2-9

11.

（1）如图23-3-10（a）所示，点P为正三角形ABC内一点，且满足PA=4，PB=3,PC=5，则∠APB=.

（2）如图23-2-10（b）所示，点P为正方形ABCD内一点，且满足

，求∠BPC的度数和正方形的边长.

（3）如图23-2-10（c）所示，点P为正六边形ABCDEF内一点，且满足

，请直接写出∠BPC的度数和正六边形的边长.

图23-2-10

12.已知：

AD=2，BD=4，以AB为一边作等边三角形ABC，使C、D两点落在直线AB的两侧.

（1）如图23-2-11所示，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长.

（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值及相应∠ADB的大小.

图23-2-11

13.在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.

（1）如图23-2-12（a）所示，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：

EG=AG+BG.

（2）如图23-2-12（b）所示，当EF与AB相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.

（3）当EF与AB相交时，若∠EAB=120°，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系.

图23-2-12

14.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.

（1）在图23-2-13（a）中，证明：

CE=CF.

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图23-2-13（b）所示），直接写出∠BDG的度数.

图23-2-13

15.如图23-2-14（a）所示，在正方形ABCD中，点M，N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证：

MN=AM+CN.

（1）如图23-2-14（b）所示，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M，N分别在AD、CD上，若∠MBN=

∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？

请写出猜想，并给予证明.

（2）如图23-2-14（c）所示，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=

∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？

请直接写出猜想，不需证明.

图23-2-14

16.若点为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点.如图23-2-15所示，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB＇，连接BB＇，求证：

BB＇过△ABC的费马点P，且BB=PA+PB+PC.

图23-2-15

17.阅读下面材料：

阅读下面材料：

小雨遇到这样一个问题：

如图1，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．

小雨是这样思考的：

要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：

在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．

请你回答：

图23-2-16（b）中等腰直角三角形ABC的面积等于______．

参考小雨同学的方法，解决下列问题：

如图23-2-16（c），直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1，试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．

图23-2-16

18.请阅读下列材料：

问题：

如图23-2-17（a），在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°．探究PG与PC的位置关系及

的值.

小聪同学的思路是：

延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

的值.

（2）将图23-2-17（a）中的菱形BEFG饶点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图23-2-17（b）所示）．你在

（1）中得到的结论是否发生变化？

写出你的猜想并加以证明．

图23-2-17

中考链接

19.（2012·四川绵羊）如图23-2-18所示，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP＇，已知∠AP＇B=135°，P＇A：

P＇C=1:

3，则P＇A：

PB=（）.

A.

B.1:

2C.

D.1:

图23-2-18

20.（2013北京）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在

（2）的条件下，连结DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

图23-2-19

巅峰突破

21.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为

，求此正方形的边长.