一元一次不等式与一次函数7doc.docx
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一元一次不等式与一次函数7doc
第五节一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数—目标导引
1.通过一次函数的图象进一步体会函数概念，并从中体会到一元一次不等式与一次函数的内在联系.
2.通过具体问题初步体会一次函数变化规律与一元一次不等式解集的联系.
3.培养学生，分析问题、解决问题及看图、识图的能力
一元一次不等式与一次函数—内容全解
1.利用一次函数图象可以直接求解一元一次不等式，从而得到一元一次不等式的另一种解法.
2.还可以运用一元一次不等式来帮助研究一次函数问题.
第六课时
●课题
§1.5.1一元一次不等式与一次函数
（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.
（二）能力训练要求
1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.
2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.
（三）情感与价值观要求
体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
●教学重点
了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
●教学难点
自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.
●教学方法
研讨法
即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用.
●教具准备
投影片两张
第一张：
（记作§1.5.1A）
第二张：
（记作§1.5.1B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？
本节课我们来研究不等式的有关应用.
Ⅱ.新课讲授
1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.
［师］大家还记得一次函数吗？
请举例给出它的一般形式.
［生］如y=2x－5为一次函数.
［师］在一次函数y=2x－5中，
当y=0时，有方程2x－5=0;
当y＞0时，有不等式2x－5＞0;
当y＜0时，有不等式2x－5＜0.
由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.
下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.
2.做一做
投影片（§1.5.1A）
作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.
（1）x取哪些值时，2x－5=0?
（2）x取哪些值时，2x－5＞0?
（3）x取哪些值时，2x－5＜0?
（4）x取哪些值时，2x－5＞3?
图1－21
请大家讨论后回答：
［生］
（1）当y=0时，2x－5=0,
∴x=
∴当x=
时，2x－5=0.
（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=
.当x＞
时，由y=2x－5可知y＞0.因此当x＞
时，2x－5＞0;
（3）同理可知，当x＜
时，有2x－5＜0;
（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.
3.试一试
如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?
［师］由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试.
［生］首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图1－22：
图1－22
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0.
4.议一议
投影片（§1.5.1B）
兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时弟弟跑在哥哥前面？
（2）何时哥哥跑在弟弟前面？
（3）谁先跑过20m？
谁先跑过100m？
（4）你是怎样求解的？
与同伴交流.
［师］大家应先画出图象，然后讨论回答：
［生］［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得
y1=4x
y2=3x+9
函数图象如图1－23：
图1－23
从图象上来看：
（1）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
（2）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
（3）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m;
（4）从图象上直接可以观察出
（1）、
（2）小题，在回答第（3）题时，过y轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100m.
Ⅲ.课堂练习
1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？
你是怎样做的？
与同伴交流.
解：
如图1－24所示：
图1－24
当x取小于
的值时，有y1＞y2.
Ⅳ.课时小结
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式.
Ⅴ.课后作业
习题1.6
Ⅵ.活动与探究
作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：
（1）x取何值时，2x－4＞0？
（2）x取何值时，－2x+8＞0?
（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？
（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？
并写出过程.
解：
图象如下：
图1－25
分析：
要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.
［解］
（1）当x＞2时，2x－4＞0;
（2）当x＜4时，－2x+8＞0;
（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.
（4）由2x－4=0,得x=2;
由－2x+8=0,得x=4
所以AB=4－2=2
由
得交点C（3，2）
所以三角形ABC中AB边上的高为2.
所以S=
×2×2=2.
●板书设计
§1.5.1一元一次不等式与一次函数
（一）
一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系；
2.做一做（根据函数图象求不等式）；
3.试一试（当x取何值时，y＞0）;
4.议一议
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：
如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：
设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元，
根据题意，得
y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x,
y2=30%x－700=0.3x－700.
（1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000;
（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000;
（3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000.
所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.
2.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.
（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？
图1－26
解：
（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x,
把（2，6）代入得，k1=3
∴y1=3x.
当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.
设y2=k2x+b,则有
得k2=－
b=
∴y2=－
x+
（2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的
和
，即在
－
=6小时间是有效的.
第七课时
●课题
§1.5.2一元一次不等式与一次函数
（二）
●教学目标
（一）教学知识点
进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用.
（二）能力训练要求
通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力.（三）情感与价值观要求
把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会.
●教学重点
利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题.
●教学难点
认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题是本节的难点.
●教学方法
启发式
●教具准备
投影片两张
第一张：
（记作§1.5.2A）
第二张：
（记作§1.5.2B）
●教学过程
Ⅰ.提出问题，导入新课
［师］同学们，我们已经学习了不等式的解法及应用，但是它的应用远不止于我们前面学过的这些，它的应用很广泛.比如，随着国家的富裕，人民生活水平的提高，人们的消费观念也在逐渐转变，在放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠政策来诱惑你，那么究竟应该选哪一家呢？
人们犹豫了，有时感觉到上当了.如果你学了今天的课程，那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙.
Ⅱ.新课讲授
［例1］某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？
其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？
［师］请大家先计划一下，你计划选哪家旅行社？
［生］我选甲旅行社，因为打七五折，比打八折要便宜.
［生］我选乙旅行社，因为乙旅行社既打八折，还免交一个人的费用200元.
［生］我不能肯定，一定要计算一下才能决定.
［师］大家同意这三位同学中的哪一位呢？
［生］同意第三位同学的意见.
［师］分析：
首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较.而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于.
解：
设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则
y1=200×0.75x=150x
y2=200×0.8（x－1）=160x－160
当y1=y2时，150x=160x－160,解得x=16;
当y1＞y2时，150x＞160x－160,解得x＜16;
当y1＜y2时，150x＜160x－160,解得x＞16.
因为参加旅游的人数为10~25人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当
17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少，当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少.
［师］由此看来，你选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会了吗？
下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，我们又应该想何对策呢？
［例2］某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：
第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：
每台优惠20%.
（1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.
（2）什么情况下到甲商场购买更优惠？
（3）什么情况下到乙商场购买更优惠？
（4）什么情况下两家商场的收费相同？
［师］有了刚才的经验，大家应该很轻松地完成任务了吧.
［生］解：
设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有
（1）y1=6000+（1－25%）（x－1）×6000=4500x+1500
y2=80%×6000x=4800x
（2）当y1＜y2时，有4500x+1500＜4800x
解得，x＞5
即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠；
（3）当y1＞y2时，有4500x+1500＞4800x.
解得x＜5.
即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠；
（4）当y1=y2时，即4500x+1500=4800x
解得x=5.
即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同.
Ⅲ.课堂练习
投影片（§1.5.2A）
某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？
请说明理由.
解：
设需刻录x张光盘，则
到电脑公司刻录需y1=8x（元）
自刻录需y2=120+4x
当y1=y2时，8x=120+4x，
解得x=30;
当y1＞y2时，8x＞120+4x,
解得x＞30;
当y1＜y2时，8x＜120+4x,
解得x＜30.
所以，当需刻录30张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等；
当需刻录超过30张光盘时，自刻费用省；
当需刻录不超过30张光盘时，到电脑公司刻录费用省.
投影片（§1.5.2B）
某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：
每份材料收费30元，不收设计费.
（1）什么情况下选择甲公司比较合算？
（2）什么情况下选择乙公司比较合算？
（3）什么情况下两公司的收费相同？
解：
设宣传材料有x份，则选择甲公司所需费用为y1元，选择乙公司所需费用为y2元，
y1=20x+3000
y2=30x
当y1＜y2时，20x+3000＜30x,
解得x＞300;
当y1＞y2时，20x+300x＞30x,
解得x＜300;
当y1=y2时，20x+3000=30x,
解得x=300.
所以，当材料超过300份时，选择甲公司比较合算；
当材料少于300份时，选择乙公司比较合算；
当材料等于300份时，两公司的收费相同.
Ⅳ.课时小结
本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用，通过这节课的学习，我们学到了不少知识，真正体会到了学有所用.
Ⅴ.课后作业
习题1.7第2题.
Ⅵ.活动与探究
某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时，100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：
运输工具
运输费单价
（元/吨·千米）
冷藏费单价
（元/吨·小时）
过桥费
（元）
装卸及管理费（元）
汽车
2
5
200
0
火车
1.8
5
0
1600
注：
“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.
（1）设该批发商待运的海产品有x吨,汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1元和y2元，试求y1和y2与x的函数关系式；
（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？
［分析］
（1）仔细观察，根据题目中二维表格给出的收费项目和收费标准，以及已知的路程和速度，不难求得函数关系，但应注意从表格中准确提取信息，并细心计算；
（2）究竟选择哪家货运公司承担运输业务，可使运费最省，由题目条件看，应由批发商海产品的数量来确定，我们可以把问题转化为不等式，当y1＞y2时，有250x+200＞222x+1600;当y1＜y2时，有250x+200＜222x+1600,然后通过解不等式，使得问题迎刃而解.当然，也可以讨论y1=y2的情况，求得x=50后，再分析求解.
［解］
（1）根据题意，得
y1=200+2×120x+5×
x=250x+200;
y2=1600+1.8×120x+5×
x=222x+1600
（2）分三种情况
①若y1＞y2,250x+200＞222x+1600,
解得x＞50;
②若y1=y2,250x+200=222x+1600，
解得x=50;
③若y1＜y2,250x+200＜222x+1600,
解得x＜50.
综上所述，当所运海产品不少于30吨且不足50吨时，应选择汽车货运公司承担运输业务；
当所运海产品刚好50吨时，可选择汽车货运公司，铁路货运公司中的任意一家承担运输业务；
当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司承担运输业务.
［评注］此题是一道方案决策最优化问题，虽然题目中信息很多，但由于批发商的待运海产品的数量不确定，使得方案决策不确定，这就需要准确提取信息，通过列出数式，找函数关系，解不等式等数学手段，解决实际问题.应用不等式的知识解决日常生产问题是我们常见的题型.
●板书设计
§1.5.2一元一次不等式与一次函数
（二）
例1（有关旅游费用问题）
例2（有关商场优惠问题）
课堂练习
课时小结
课后作业
●备课资料
参考练习
1.x取什么值时，代数式3x+7的值：
（1）小于1？
（2）不小于1？
解：
（1）根据题意，要求不等式3x+7＜1的解集，解这个不等式，得x＜－2，
所以当x小于－2时，3x+7的值小于1.
（2）根据题意，要求不等式3x+7≥1的解集，解这个不等式，得x≥－2，
所以当x不小于－2时，3x+7的值不小于1.
2.求不等式3（x+1）≥5x－9的正整数解.
解：
去括号，得3x+3≥5x－9，
移项、合并同类项，得2x≤12,
两边都除以2，得x≤6,
因为不大于6的正整数有1，2，3，4，5，6六个数，所以不等式3（x+1）≥5x－9的正整数解是1、2、3、4、5、6.
3.分别解不等式
5x－1＞3（x+1）,
x－1＜7－
x
所得的两个解集的公共部分是什么？
解：
解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2
解不等式
x－1＜7－
x，得x＜4,
所以两个解集的公共部分是2＜x＜4.
●迁移发散
迁移
1.如图1－40，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数的图象.图中s和t分别表示运动路程和时间，请根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快几米.
图1－40
点拨：
由图象可知：
甲速度比乙速度快.
先求出甲速度为
（米/秒）.
再求出乙速度为
（米/秒）.
甲速－乙速即为超出的.
解：
由图象可知，甲速度为：
=8（米/秒）
乙速度为：
=6.5（米/秒）
甲速度－乙速度=8－6.5=1.5（米/秒）.
答：
甲的速度快，比乙的速度每秒快1.5米.
2.某图书馆开展两种方式的租书业务，一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图1－41所示：
图1－41
（1）通过图象观察，使用会员卡、租书卡，这两种卡在什么情况下合算.
（2）分别求出两种卡每天的租金.
解：
由图象观察知：
（1）当租书时间为100天时，两种卡的费用相同.
当租书时间超过100天时，用会员卡便宜.
当租书时间在100天之内时，用租书卡便宜.
（2）租书卡每天的费用为：
=0.5（元）
会员卡每天的费用为：
=0.3（元）
答：
租书卡每天的费用为0.5元，会员卡每天的费用为0.3元.
3.某公司由于业务需要汽车，但因资金问题暂时无法购买，想租一辆车，个体出租车司机小王提出的条件是：
每月付给1000元工资，另外每千米付给0.1元里程费；司机小赵提出的条件是：
不需要工资，只按每千米1.35元付里程费.请问：
公司租用谁的汽车更合算.
解：
设公司用车一月行程x千米，
付给个体出租费用用y1元表示.
付给司机小赵的费用用y2元表示.
由题意得:
y1=1000+0.1x，y2=1.35x.
当y1＞y2时，1000+0.1x＞1.35x
x＜800（千米）；
当y1=y2时，1000+0.1x=1.35x
x=800（千米）；
当y1＜y2时，1000+0.1x＜1.35x
x＞800（千米）.
答：
月行程超800千米时，租用个体出租小王的费用较低，合算；
当月行程为800千米时，两人都一样；
当月行程在800千米以内时，租用司机小赵的车更便宜.
4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现：
如果月初出售可获利15%，并把本利再投资其他商品，到月末又可获利10%，如果月末出售可获利30%.但要付出仓储费用700元.请问：
根据商场的资金状况，如何购销获利较多？
解：
设商场投入资金x元，第一种投资情况下，获总利用y1元表示.第2种投资情况下获总利用y2元表示.
由题意得：
y1=x（1+15%）（1+10%）－x
y1=0.265x.
y2=x（1+30%）－x－700
y2=0.3x－700
（1）当y1＞y2时，0.265x＞0.3x－700，x＜2000；
（2）当y1=y2时，0.265x=0.3x－700，x=2000；
（3）当y1＜y2时，0.265x＜0.3x－700，x＞2000.
答：
（1）当投资超过2000元时，选择第二种投资方式；
（2）当投资为2000元时，两种选择都行；
（3）当投资在2000元内时，选择第一种投资方式.
发散
本节我们用到了以前我们学过的知识如下：
1.一次函数的定义，例如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式.
2.一元一次不等式的解法.
3.一次函数的图象是一条直线：
要确定这条直线只需两点即可.
●方法点拨
［例1］作出函数y=2x－5的图象.
图1－38
通过图象回答如下问题.
（1）x取哪些值时2x－5＞0；
（2）x取哪些值时2x－5=0；
（3）x取哪些值时，2x－5＜0.
点拨：
∵y=2x－5.要使2x－5＞0，2x－5=0，2x－5＜0
即y＞0，y=0，y＜0.
由图象可知，
y＞0即图象位于x轴的上方部分，此时x＞2.5；
y=0即图象与x轴的交点，此时x=2.5；
y＜0即图象位于x轴的下方部分，此时x＜2.5.
解：
当x＞2.5时，2x－5＞0；
当x=2.5时，2x－5=0；
当x＜2.5时，2x－5＜0.
［例2］已知y1=3x－3，y2=－x+2，试确定x取何值时，y1＞y2.
点拨：
要使y1＞y2，即3x－3＞－x+2.转化为解不等式即可.
解：
由题意得3x－3＞－x+2，
解得x＞
.
∴当x＞
时，y1＞y2.
［例3］王欢和赵庆原有存款分别为500元和1800元，从本月开始，王欢每月存400元，赵庆每月存200
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