椭圆型偏微分方程实验报告课件资料.doc
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实验报告
实验项目名称椭圆型偏微分方程
实 验 室数学实验室
所属课程名称微分方程数值方法
实验类型算法设计
实验日期2014年6月6日
班级
学号
姓名
成绩
实验概述：
【实验目的及要求】
实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题，进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。
实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代码解决Possion问题。
【实验原理】
对于简单的椭圆型偏微分方程Poission方程:
采用正方形网格剖分正方形区域Ω,对x和y方向采用中心差分并记
则对Poission方程离散后差分格式可写成;
改写为
由此得Peaceman-Rachford迭代格式为
其分量形式为
将以上两步写成矩阵形式，第一步迭代为：
第二步迭代为：
这里的gij和gij分别为
迭代参数可取为：
实际上每个迭代步相当于解N−1个系数矩阵为三对角阵的N−1阶线性代数方程组，可用追赶法求解。
【实验环境】（使用的软硬件）
软件：
MATLAB2012a
硬件：
电脑型号：
联想Lenovo昭阳E46A笔记本电脑
操作系统：
Windows8专业版
处理器：
Intel（R）Core（TM）i3CPUM350@2.27GHz2.27GHz
实验内容：
【实验方案设计】
利用Peaceman-Rachford迭代格式求解
求解域Ω:
0≤x,y≤1,其精确解为u=sinπxsinπy。
首先利用上述原理进行分析，从而利用Matlab软件编写出相应程序。
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
我们首先编写一个m文件，包含交替方向迭代法程序如下:
functionu=alter（a0,b0,f,h）
%输入-a0为x,y方向起始端点;
%-b0为x,y方向终点;
%-f为方程右端函数;
%-h为网格步长;
%输出-u为解矩阵。
p=200;
N=fix（（b0-a0）/h）;
u=zeros（N+1）;
v=zeros（N+1）;
g=zeros（N+1）;
x=a0:
h:
b0;
y=x;
tau=h*h/（2*sin（pi*h））;
a=-tau*ones（1,N-2）;
c=a;
d=（h*h+2*tau）*ones（1,N-1）;
fork=1:
p
err=0;
fori=2:
N
forj=2:
N
g（i,j）=（h*h-2*tau）*u（i,j）+tau*（u（i,j+1）+u（i,j-1）+h*h*f（x（i）,y（j）））;
end
v（2:
N,i）=trisys（a,d,c,g（2:
N,i））';
end
fori=2:
N
forj=2:
N
g（i,j）=（h*h-2*tau）*v（i,j）+tau*（v（i+1,j）+v（i-1,j）+h*h*f（x（i）,y（j）））;
t=abs（u（i,j）-v（i,j））;
if（errerr=t;
end
end
u（i,2:
N）=trisys（a,d,c,g（i,2:
N））;
end
if（err<1e-4）
err
k
break;
end
k=k+1;
end
取步长h=0.2,迭代残差为10-4。
然后在CommandWindow里编写如下程序：
f=inline（'2*pi*sin（pi*x）*sin（pi*y）','x','y'）;
a0=0;b0=1;h=0.2;
u=alter（a0,b0,f,h）;
x1=a0:
h:
b0;
y1=a0:
h:
b0;
surf（x1,y1,u）
运行结果如下所示：
err=6.4665e-05
k=9
将步长缩小为h=0.1,迭代残差为10-4。
然后在CommandWindow里编写如下程序：
f=inline（'2*pi*sin（pi*x）*sin（pi*y）','x','y'）;
a0=0;b0=1;h=0.1;
u=alter（a0,b0,f,h）;
x1=a0:
h:
b0;
y1=a0:
h:
b0;
surf（x1,y1,u）
运行结果如下所示：
err=7.3408e-05
k=19
【结论】（结果）
本次实验通过采用了不同的步长对同一迭代方法——PR迭代格式进行比较，发现通过缩小步长,使得计算结果大大改善。
【小结】
交替方向迭代法的出现源于求解抛物型方程的交替方向隐格式，它的最大有点是容易实现，几乎不许要在计算机程序上耗费很多精力，只是它仅仅适用于矩形区域或它们的并集。
该方法计算量较小，速度较快，适合利用计算机编程来解决问题。
指导教师评语及成绩：
成绩：
指导教师签名：
批阅日期：
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