高考数学复习点拨 解析几何中减少计算量的常用方法.docx

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高考数学复习点拨解析几何中减少计算量的常用方法

解析几何中减少计算量的常用方法

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。

事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。

下面举例说明。

一.充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

例1.已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。

解：

由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。

由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。

所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为

评注：

此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。

例2.已知点P（5，0）和圆O：

，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。

解：

点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。

同时，点M又在圆的内部，，即，所以所求的轨迹方程为

评注：

此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

例3.求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。

解：

因圆心在直线上，故可设圆心

又圆与轴相切，，

此时可设圆方程为

（运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。

）

又圆被直线截得的弦长为。

考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。

弦心距

，解得

当时，，圆方程为

当时，，圆方程为

评注：

此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。

例4.设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

解：

圆过原点，并且，

是圆的直径，圆心的坐标为

又在直线上，

即为所求。

评注：

此题若不充分利用一系列几何条件：

该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

例5.已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

解：

设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。

由方程组消去后得

由，得

（1）

又P、Q在直线上，

把

（1）代入，得，

即

化简后，得

（4）

由，得

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把

（2）代入，得，解得或

代入（4）后，解得或

由，得。

所求椭圆方程为

评注：

此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

例6.若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则

解：

设A（），B（）则M（）

又A、B分别在上，则有

由得，

即，

评注：

此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。

三.充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

例7.求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：

上的圆的方程。

解：

设所求圆的方程为：

即，

其圆心为C（）

又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。

四．与中点弦有关的问题用“坐标代入法”即“坐标解析法”减少运算量。

具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

例7.（中点弦问题）

已知双曲线x2－2y2＝4。

求以P（4，1）为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程。

解法一：

（设斜率k，求交点）

设过点P的弦AB的方程为：

y－1＝k（x－4）代入

－

＝1得（1－2k2）x2＋4k（4k－1）x－32k2＋16k－6＝0①

又P为AB之中点

＝4解得k＝2

故AB所在的直线方程为：

2x－y－7＝0

解法二：

（设而不求）

设A（x1，y1），B（x２，y２）则由A、B两点都在双曲线上，

有

－

＝①

－

＝1②

②－①得

＝0

由于P是AB之中点∴

＝4　　

＝1

代入上式得kAB＝

＝2

∴AB所在直线的方程为2x－y－7＝0

解法三：

（设而不求）

设A（x1，y1）∵AB的中点是（4，1）

∴B（8－x1，2－y1）∵AB都在双曲线上

（1）－

（2）得：

16x1－8y1－56＝0→2x－y－7＝0

解法四：

（参数方程法）设AB所在的直线方程为：

代入椭圆方程并整理得

∵　P（4,1）为弦的中点，∴　

即　

即　k=2

故AB所在的直线方程为：

2x-y-7=0

例8、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标（1987年全国理科试题）

解：

求出轨迹方程　（应用基本不等式法）　

设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x２，y２），AB中点为M（x，y）

则y12＝x1y22＝x2y12－y22＝x1－x2

∴　

∴32＝[1＋（2y）2]（y1－y2）29＝（1＋4y2）（y1－y2）2

∵2x＝x1＋x2＝y12＋y22①2y＝y1＋y2②

1－②2得2x－4y2＝－2y1y2③

①＋③得4x－4y2＝（y1－y2）2④

④代入①得4x＝

＋4y2≥

－1≥5

x≥

当且仅当

＝4y2＋1

y2＝

　　y＝±

时，等号成立

∴xmin＝

∴M（

，±

）