高考数学复习点拨 解析几何中减少计算量的常用方法.docx

1、高考数学复习点拨 解析几何中减少计算量的常用方法解析几何中减少计算量的常用方法 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一. 充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。 解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为

2、。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。 例2. 已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，即，所以所求的轨迹方程为 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。例3. 求与轴相切，圆心在直线上，

3、且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 解：因圆心在直线上，故可设圆心 又圆与轴相切， 此时可设圆方程为 （运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。） 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。 弦心距 ，解得 当时，圆方程为 当时，圆方程为 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题若不充分利

4、用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 例5. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得神书网http:/www.shenshu.cc/ 奀莒哋 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。

5、所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 例6. 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则 解：设A（），B（）则M（） 又A、B分别在上，则有 由得， 即， 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 例7. 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为： 即， 其圆心为C（）又C在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。四与中点弦有关的问题用“坐标代入法”

6、即“坐标解析法”减少运算量。具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例7.(中点弦问题)已知双曲线x22y24。求以P(4，1)为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程。解法一：(设斜率k，求交点)设过点P的弦AB的方程为：y1k(x4)代入1得(12k2)x24k(4k1)x32k216k60又P为AB之中点 4解得k2故AB所在的直线方程为：2xy70解法二：(设而不求)设A(x1，y1)，B(x，y)则由A、B两点都在双曲线上，有 1得0由于P是AB之中点 4 1代入上式得kAB2AB所在直线的方程为2xy70解法三：(设

7、而不求)设A(x1，y1) AB的中点是(4，1)B(8x1，2y1) AB都在双曲线上(1)(2)得：16x18y15602xy70解法四：（参数方程法）设AB所在的直线方程为：代入椭圆方程并整理得P(4,1)为弦的中点， 即即k=2故AB所在的直线方程为：2x-y-7=0例8、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标(1987年全国理科试题)解：求出轨迹方程（应用基本不等式法）设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，AB中点为M(x，y)则y12x1 y22x2 y12y22x1x2321(2y) 2(y1y2)2 9(14y2)(y1y2) 22xx1x2y12y22 2yy1y21 2得2x4y22y1y2 得4x4y2(y1y2) 2代入得4x4y215x当且仅当4y21y2 y时，等号成立xminM(，)