初高中数学衔接数与式的运算4课时.docx

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初高中数学衔接数与式的运算4课时

数与式的运算

课时一：

乘法公式

一、初中相关知识

1． 实数运算满足如下运算律：

加法交换律，乘法交换律，加法结合律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2． 乘法公式

平方差公式：

 （a + b）（a - b） = a 2 - b 2

完全平方公式：

 （a ± b） 2 = a 2 ± 2ab + b 2

二、衔接目标要求

1． 理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2． 掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立

方公式以及三数和的完全平方公式。

3． 三、入门衔接知识

根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式

（1） （ x + a）（ x + b） = x 2 + （a + b） x + ab

（2）立方和公式：

 （a + b）（a 2 - ab + b 2 ） = a 3 + b 3

（3）立方差公式：

 （a - b）（a 2 + ab + b 2 ） = a 3 - b 3

（4）两数和的立方公式：

 （a + b）3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3

（5）两数差的立方公式：

 （a - b） 3 = a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3

（6）三数和的平方公式：

 （a + b + c） 2 = a 2 + b 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ac

四、典型例题引路

例 1、计算：

（1） （ x + 2）（ x - 5）

（2） （2a + b - c） 2

（3） （ x - 1） 3

（4） （ x 2 + 2 xy + y 2 ）（ x 2 - xy + y 2 ） 2

1

例 2：

已知 a + b + c = 4ab + bc + ac = 4 求 a 2 + b 2 + c 2 的值

例 3：

求 （m - 1）（m - 2）（m - 4）（m + 1）

例 4：

已知：

 x 3 - 3x + 1 = 0 ，求 x 3 + 1 的值。

x 3

例 5：

已知：

 x = 3 3, y =2, 求（ x - y）（ x + y）（ x 2 - xy + y 2 ）（ x 2 + xy + y 2 ）的值。

例 6．已知：

 a - b = 2, a - c = 3 5 ，求：

 （c - b）[（a - b） 2 + （a - b）（a - c） + （a - c） 2 ] 的值。

五、自主探索训练

1．计算

（1） （ x - 3 y - 4 z） 2

（2） （2a + 1 - b） 2 - （a - b）（a + 2b）

1

4

（5） （ x + y + z）（- x + y + z）（ x - y + z）（ x + y - z）

2．化简

（1） （3x - 2 y + z）（3x - 2 y - z）

（2） （2a + b - c + 3d ）（2a - b + c + 3d ）

3．计算：

 （1 + 1 ）（1 + 1 ）（1 + 1 ）（1 + 1 ） + 1

22 22 428215

4．先化简，再求值：

 （ x - y） 2 （ x 2 + xy + y 2 - （ x 3 + y 3 ）（- x 3 + y 3 ）. 其中 x = 1, y = -1 。

5．已知：

 x + y = 1 ，求 x 3 + y 3 + 3xy 的值。

2

课时二：

因式分解

一、初中相关知识

因式分解：

提取公因式：

 ma + mb + mc = m（a + b + c）

公式法：

 a 2 - b 2 = （a + b）（a - b）a 2 ± ab + b 2 = （a ± b） 2

二、衔接目标要求

掌握提取公因法和公式法的因式分解，理解分组分解法和十字相乘法的因式分解。

三、入门衔接知识

假设：

 a 2b 2 + bx + c = （a x + c ）（a x + c ） = a a x 2 + （a c + a c ） x + c C

11221 21 22 11

则：

 a a = a， c c = c ， a c + a c = b

c

1

2

1 2

1 2

2 1

反过来：

如果将 a, c 分解成：

 a = a a , c = c c 使得：

 a = a a , c = c c 的情况常常

121 2121 2

不是唯一的，并且要求a c + a c = b “恰好”成立，因此分解a, c 的过程和排列

1 2

2 1

a , a 与c c 的过程都是一个尝试的过程，这个过程可以等成如下形式：

121 2

（a a = a）

12

a        c   （c1c2 = c） 简易为     a

1                                                        1

c

1

a

2

c

1 2 2 1

a

2            c

2

我们称这种将二次三项式 ax 2 + bx + c 的因式分解的方法为“十字相乘法”举旬说明：

十字相乘法较适合于解决简单的二次三项式因式分解问题。

3．“求根法”因式分解

若关于 x 的方程 ax 2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 的两个实数根是 x , x ，则二次三项式

12

ax 2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 就可以分解为 a（ x - x ）（ x - x ） ，这种因式分解的方法叫做求根

12

法。

四、典型例题引路

1、公式法

3

例 1 分解下列因式

（1） 3a 3b + 81b 4

（3） x 3 - 9 x 2 y + 27 xy - 27 y 3

（5） 0.125 - 27b 3

2、分组分解法

例题：

将下列各式因式分解

（1） a 2 - b 2 - ax + bx

（2）

（2） a 2 + b 2 + 2ab + 4a + 4b + 4

（4） a 7 - ab 6

ab（c 2 - d 2 ） - （a 2 - b 2 ）cd

（3） q 3 - 2q 2 + 1（4） a 4 + a 2 + 1

（5） 2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 - 8z 2

3、十字相乘法

（1）． x 2 + （ p + q） x + pq 型式子的因式分解

例 3：

把下列各式分解因式

（1） x 2 - 7 x + 6

（2） x 2 + 13x + 36

（3） x 2 + 5x - 24（4） x 2 - 2 x - 15

（5） x 2 + xy - 6 y 2

（6） （ x 2 + x） 2 - 8（ x 2 + x） + 12

（7） （ x 2 + x + 1）（ x 2 + x + 2） - 12

（2）．一般二次三项式 ax 2 + bx + c 的分解因式

例 4．把下列各式分解因式

（1）12 x 2 - 5x - 2

（2） 5x 2 + 6 xy - 8 y 2

4、求根法

例 5：

在实数范围内把下列关于 x 的二次三项式因式分解

（1） x 2 + 2 x - 1

（2） x 2 + 4 xy - 4 y 2

5、换元法

4

例 5：

分解下列因式

（1） （ x 2 + x） 2 - 8（ x 2 + x） + 12

（2） x 2 - 5x + 2）（ x 2 - 5x + 4） - 24

（3） （ x + 1）（ x + 3）（ x + 5）（ x + 7） + 15

6、添项、拆项法

例 6：

分解下列因式

（1） a 4 + a 2b 2 + b 4

（2） x 3 - 3x 2 + 4

（3） x 3 - x 2 - x - 2

五、自主探索训练

1．把下列各式分解因式

（1） x 4 + 64

（2） x 4 - 7 x 2 y 2 + 9 y 4

（3）x 3 - 11x 2 + 31x - 21（4）2（ x 2 + 6 x + 1） 2 + 5（ x 2 + 1）（ x 2 + 6 x + 1） + 2（ x 2 + 1） 2

（5） x 5 + x + 1（6） （ x 2 - 2 x） 2 - 7（ x 2 - 2 x） + 12

（7） x 2 + 4 x - 1（8） 2 x 2 - 3x - 1

2．已知：

1 + w + w 2 = 0 ，求：

 w1980 + w1981 ++ w 2000 的值。

3．书知：

 a + b =

2,

3

ab = 2 ，求代数式 a 2b + 2a 2b 2 + ab 2的值.

4．证明：

数 n 为大于 2 的整数时， n 5 - 5n 3 + 4n 能被 120 整除。

5．两个正数之和比积小 1000，且其中一个是完全平方数，试求数大的数？

5

课时三：

分式

一、初中相关知识

分式：

分式的定义，分式的基本性质，分式的约分，分式的通分，分式的运算。

二、衔接目标要求

掌握分式的基本性质及运算，了解繁分式的化筒方法。

三、入门衔接知识

y

1、繁分式：

像 x, x 2 + 1 等这样的分式叫做繁分式，在化简繁分式时通常要用分式

x + y2 x

1 + x

的基本性质，在分式的分子，分母中同乘分子，分母的最简化分母，有时也可以用分式的

除法来化简。

2、分母有理化：

利用分式（分数）的基本性质，将分式（分数）的分母（子）化成

有理式，叫做分母（子）有理化。

常见类型一：

a =

b

b ∙ a

a ⋅ b

= b a

a

常见类型二：

c

c ⋅ （ a - b

（ a + b ）（ a - b

= c（ a - b

a - b

其中，我们称 n a n-1 是 n a 的“有理化因子”， a ,b 是 a + b 的“有理化因子”，

分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”。

6、最简二次根式，同类二次根式

化简二次根式时，如果被开方式中有因式开得尽方，可用它的算术平方根代替移到根

号外面，如果被开方式中含有分母，可用“分母有理化”化去分母，经这样化简后得到的

二次根式。

2

aaa

如果两个最简的二次根式的被开方式相同，那么称它们为同类二次根式。

四、典型例题引路

6

例 1、化简下列各式

（1）

2 x    1

-

x 2 - 1  x - 1

（2）

2   a 2 + 4     1  1

a 2 - 4  4a 2  a

（3） b（

a 2b + ab 2  a 2 + ab + b 2 ）

a 2b - b 3 a 3 - b 3

11

n（n + 1）nn + 1

111

+++  +

1⨯ 22 ⨯ 33 ⨯ 49 ⨯ 10

（3）证明：

对任意大于 1 的正整数 n，有

1    1         1    1

+     +  +       <

2 ⨯ 3  3 ⨯ 4     n（n + 1）  2

例 3：

已知：

 x =2 - 1 ，求代数式x÷ （2 + x -4 ）的值。

x - 22 - x

例 4：

已知：

 a + b + c - 0, 求：

a （ 1 + 1 ） + b（ 1 + 1 ） + c（ 1 + 1 ）的值.

bccaab

例 5：

化简下列繁分式

（1）

（2）

2x

3x 2 + 2

五、自主探索训练

x

=

x + y3y

1 -

1 +

1

1 + x

1

1 + x

aba 2 + b 2

baab

11

++ ⋅⋅⋅ +.

n

4．化简下列繁分式：

的值.

7

1

+ 1

1

11

1 ++ 2

1 + xx + 1

2

a + 1a 2 - 1a 2 + 4a + 3

课时四：

根式

一、初中相关知识

二次根式：

二次根式的定义，二次根式的性质，二次根式的运算

二、衔接目标要求

1、掌握二次根式的性质和运算，了解最简单二次根式、同类二次根式的概念，理解

二次根式的加减运算。

2、 了解 n 次根式的概念，理解分母（子）有理化的概念。

三、入门衔接知识

二次根式的运算

（1）二次根式相加减，先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；

（2）二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数相加。

四、典型例题引路

例 1：

将下列各式分母有理化：

（1） 3 + 4 2

3 - 4 2

（2）    xy

3

2 + 3

例 2：

将下列各式分子有理化：

（1）5

5 + 3

（2）  n + 2 - n   （3）比较 12 - 11 与 11 - 10 的大

2

小

例 3：

计算：

1x

+

（2） 2-x 3 + 8x

ab2

（3） （ a + b + 1）（- a + b ） - （ a + b ） 2

（4）a

a

a + ab

8

例 4 设 x = 2 + 3

2 + 3

求x 3 + y 3的值.

例 5 计算下列各题

（1） 8 + 2 15 + 8 - 2 15

（2） 19 - 8 3 + 17 + 4 5

例 6，化简下列各式

（1） 5 - 2 6 +7 - 4 3 - 6 - 4 2

（2） （ a + b - ab

a + b

） ÷ （  a

b

ab - a -

a + b

（3） x x + x y

xy - y 2

-

x + xy + y

x x - y y

五、自主探索训练

1、化简：

（1） - 8a 3

（2） a -

1 4ab

（3）

a               a b - b a

（4） 1 +1

2

2

3 - 1       （5）

m          m        1

3          25       m

（6）2 x - 2 y ÷

2x 2y

x > y > 0）

（7）

1

2 + 1

+    1

1

4 + 3 +

+       1

2．计算

32

（2）-

23

9

（3） 2 3 - 5 - 2 6

x

xy

10