高三椭圆对称性与直角三角形微专题.docx
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高三椭圆对称性与直角三角形微专题
专题：
直线与椭圆习题课
一、椭圆上点的对称性的应用
x2y2
1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：
F+T=i（a〉b>o）的左顶点，B,Cab
在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且NOAB=30。
则椭圆E的离心率的值等于
22
xy一
2.已知椭圆-2+q=i（a；>b>0）上一点A关于原点。
的对称点为B,F为其右焦点，若ab
AF_LBF,设/ABF=ct，且otw1三，三!
则椭圆离心率的取值范围是
_124
22「
3.已知椭圆E:
-2■十上2~=1（aAb>0）的右焦点为F,离心率为，过原点0且倾斜角为
ab2
813
3的直线l与椭圆E相交于A、B两点，若4AFB的周长为4+二：
，则椭圆方程
2
4.如图所示，椭圆C:
x-+y2=l,左右焦点分别记作Fl、F2,过F1、F2分别作直线li、I2交
4
椭圆于AB、CD,且li?
I2.
（1）当直线11的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证:
kik2为定值；
（2）求四边形ABCD面积的最大值.
二、椭圆中的直角三角形
5.在平面直角坐标系xOy中，设A,B,P是椭圆上+y2=1上的三个动点，且OAOB=0.动
3
点Q在线段AB上，且OQ‘AB=0,则PQ1的取值范围为.
22
6.椭圆二+1=1但/>0）上任意两点P,Q,若OP_LOQ,则乘积|OPOQ的最小值ab
为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PM||PF|的取值范围；
（3）若OPLOQ,求点Q的纵坐标t的值.
8.已知椭圆C:
斗+2r=1（a>b>0）的离心率e=Y6,一条准线方程为x=3恒a2b232
⑴求椭圆C的方程；
⑵设G,H为椭圆C上的两个动点,。
为坐标原点，且OG_LOH.
①当直线OG的倾斜角为60，时，求AGOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？
若存在，请求出
该定圆方程；若不存在，请说明理由.
答案与解析
1.解析：
注意到B,C两点关于y轴对称。
答案：
2-2
3
3.解析：
由已知a=2b,椭圆方程可化为：
x2+4y2=a2,将l:
y=u3x代入得
由椭圆对称性，4AFB的周长=2a+|AB|=2a+4|xA|,可得a=2.
2
答案：
X_+y2=1
4
4.证明：
（1）设A（。
yi）,B（X2,V2）,
根据对称性，有C（-x1,-y1）
因为A（X1,y“，B（X2,y2）都在椭圆C上
22
所以xk+y12=1,至+y；=1
44
22
二式相减，.y12_y；=0
4
22
所以k1k2=2_11，"上1=q二4=_」为定值
x2-x1x2x1x2-x14
（2）（I）当I的倾角为0W,I1与I2重合，舍
（n）当11的倾角不为0叩寸，由对称性得四边形ABCD为平行四边形
=1,得（m2+4）y2-2V3my-1=0
23m-1
y1+y2=Ey1'y2=N
所以&oab=2、.31yLy2|=K；3m4）2-4
设m2+1=t,所以m2=t_1,tw（1,+«）,
2
所以m+1t1<1
222—二
（m4）t6t9,912
t-6
t
当且仅当t=9即m=±J2时等号成立。
t
所以（SaOAB）max=2芯［^^=1，
所以平行四边形面积的最大值为（Sabcd）max=4（SaoAB）max=4
m24
2.3
（m24）2
一J33^1
在处理完之
5.答案.1—13,313।本题学生可能从特殊情况入手处理；Q点的轨迹是重点,
-22一
后还涉及到两个二次曲线上的点的距离。
有相当难度。
c=1
7.
（1）6a-22分
lc=1
22
■-c=1,a=2,「.b=J3,，椭圆方程为—+—=14分
43
22
（2）设P（x0,y°）,则X0-+-y0-=1（043
一22二2-32八1
PM=\Xo+y0-3='.*0+3—Xo-3=—x0,6分
42
1-___1一、1,…2,
PF=2——x08分PMPF=-x0（4-x0）=——（x0-2）+1,
244
1-'0
j~
（3）法一：
①当PM"轴时，P（V3,—）,Q（M’3,t）或（―V3,t）,
2
-Xo）,即
由OPOQ=0解得t=-2<312分
②当PM不垂直于x轴时，设P（x0,y0）,PQ方程为y—y0=
kx—y—kx0y0=0
•••PQ与圆O相切，・•.|kx0-y0|=J3,（kx0—y0）2=3k2+3vk21
2222
••2kx0y0=kx0+y0-3k-31吩
又qJ_y0+kx0,t）,所以由OP.玩=0得1=x0（y0-kx0）……14分
kxokyo
2.^.222
.2x0（y0-kx0）x0（kx0-y0）
''t=~；；72~=2-22~二
（x°ky°）x°ky02k%y0
2222
x0（3k3）x0（3k3）
27222222=
x0ky0kx0y0-3k-3（i.k2）x0（1k2）（3-°x0）-3k2
4
t=±2、,'316分
法二：
设P（x0,y°）,则直线OQ：
y=—至x,Q（—典t,t）,Y0x0
.OP^OQ,•.OPOQ=OMPQ
乌t2+t2=J3■,'（x0+典t）2+（y°—1）212分
x0,x。
t2,22、
x02（x0V。
）
2
=\%2*，2十八2十t2
t2）
（x02+y02）t2=3（x02+t2）,t2=-23x02——1的
x0y0-3
2222
•.x°y°23x023x0..oo
•——十——=1,…y0=3-,t=——=12,-t=±2M3
43412
x0
4
16分
…c、6a236222
8
（1）因为一=—,——=,a=b+c,
a3c2
22
解得a=3,b=J3,所以椭圆方程为二十匕=1
93
（2）①由
y-3x
tx2y2，解得
一一二1
93
9
10
27
10
<3y=--x由《3
22
93
2
x
2
y
9
2
3
2
3.•/10
所以og=
5
OH
3.15
5
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为
因为OG2+OH2=GH2,故
——2'2
OG2OH2
R,则OGOH=RGH1
R2
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：
y=kx,
y=kx
由x2
9
xG
，得《
=12
Vg
9
~〜2
13k，所以OG29k2
13k2
99k2
2
13k
同理可得
OH
9k292
2-（将OG
3k2
中的k换成-1可得）
k
1
OG2
当OG与OH的斜率有一个不存在时
，可得
+
OG2OH2
故满足条件的定圆方程为：
x2y2
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