高三椭圆对称性与直角三角形微专题.docx

1、高三椭圆对称性与直角三角形微专题专题：直线与椭圆习题课一、椭圆上点的对称性的应用x2 y21.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A为椭圆E：F+T=i（abo）的左顶点，B,C a b在椭圆E上，若四边形 OABC为平行四边形，且 NOAB=30。,则椭圆E的离心率的值等于2 2x y 一 2.已知椭圆-2+q=i（a ；b0）上一点A关于原点。的对称点为B,F为其右焦点，若 a bAF _LBF,设/ABF =ct，且ot w 1 三，三!则椭圆离心率的取值范围是 _12 42 2 3.已知椭圆E: -2十上2 = 1（a A b 0）的右焦点为F,离心率为 ，过原点0且倾斜角为a b 2

2、8 133的直线l与椭圆 E相交于 A、B两点，若 4AFB的周长为4+二：，则椭圆方程24.如图所示，椭圆C: x-+y2=l,左右焦点分别记作 Fl、F2,过F1、F2分别作直线li、I2交4椭圆于AB、CD ,且li? I2.(1)当直线11的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时，求证:ki k2为定值；(2)求四边形 ABCD面积的最大值.二、椭圆中的直角三角形5.在平面直角坐标系 xOy中，设A,B,P是椭圆 上+y2 =1上的三个动点，且OAOB=0.动3点Q在线段AB上，且OQ AB =0,则PQ1的取值范围为 .2 26.椭圆 二+1=1但/0 )上任意两点 P , Q ,若O

3、P_LOQ,则乘积|OP OQ的最小值 a b为.(1)求椭圆C的方程； (2)求|PM| |PF|的取值范围；(3)若OPLOQ,求点Q的纵坐标t的值.8.已知椭圆C:斗+2r =1(a b 0)的离心率e = Y6 , 一条准线方程为x = 3恒 a2 b2 3 2求椭圆C的方程；设G, H为椭圆C上的两个动点,。为坐标原点，且OG _L OH .当直线OG的倾斜角为60，时，求AGOH的面积；是否存在以原点 O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线 GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由.答案与解析1.解析：注意到B,C两点关于y轴对称。答案：2-233.解析：由已知a=2

4、b,椭圆方程可化为：x2+4y2=a2,将l:y=u3x代入得由椭圆对称性，4AFB的周长=2a+| AB|=2a+4|xA |,可得a = 2.2答案：X_+y2=144.证明：（1）设 A（。yi） , B（X2, V2）,根据对称性，有C(-x1, -y1)因为A(X1, y“，B(X2, y2)都在椭圆C上2 2所以 xk+y12=1,至 +y；=14 42 2二式相减，.y12_y； =042 2所以k1k2 =2_11，上1=q二4=_为定值x2 -x1 x2 x1 x2 -x1 4(2)(I)当I的倾角为0 W, I1与I2重合，舍 (n)当11的倾角不为0叩寸，由对称性得四边形

5、 ABCD为平行四边形=1,得（m2 +4）y2 -2V3my-1 =02 3m -1y1+y2=E y1y2=N所以&oab=2、.31yLy2|=K；3m4)2 -4设 m2 +1 =t ,所以 m2 =t _1 , t w(1, +),2所以 m +1 t 1 12 2 2 二(m 4) t 6t 9 , 9 12t - 6t当且仅当t =9即m = J2时等号成立。 t所以(SaOAB)max =2 芯 =1，所以平行四边形面积的最大值为(Sabcd )max =4(SaoAB)max =4m2 42.3(m2 4)2一 J3 31 在处理完之5.答案.1 13,313 本题学生可能从

6、特殊情况入手处理； Q点的轨迹是重点,-2 2 一后还涉及到两个二次曲线上的点的距离。有相当难度。c =17.(1) 6a -2 2 分lc = 12 2- c=1, a=2,. b = J3 ,，椭圆方程为 + = 1 4 分4 32 2(2)设 P(x0,y),则 X0-+-y0- =1(0 x0 2)4 3一2 2 二 2 - 3 2 八 1PM= Xo +y0 -3=.*0 +3 Xo -3= x0, 6 分4 2 1 - _ _ 1 一 、 1 , 2 ,PF=2x0 8 分 PM PF=-x0(4-x0)=(x0 -2) +1,2 4 41- 0 Xo j(3)法一：当 PM轴时，

7、P(V3,) , Q(M3,t)或(V3,t),2-Xo),即由 OP OQ = 0 解得 t = -2 3 12 分当PM不垂直于x轴时，设P(x0, y0) , PQ方程为y y0 =kx y kx0 y0 = 0PQ 与圆 O 相切，. | kx0 - y0 | = J3 , (kx0 y0)2 =3k2 +3 vk2 12 2 2 22kx0y0=kx0 +y0 -3k -3 1吩又 qJ _y0 +kx0 ,t),所以由 OP .玩=0得1 = x0(y0 -kx0) 14分k xo kyo2.2 2 2.2 x0 ( y0 - kx0 ) x0 (kx0 - y0 )t = ； ；

8、 72 = 2 -2 2 二(x ky) x k y0 2k%y02 2 2 2x0 (3k 3) x0 (3k 3)2 72 2 2 2 2 2 =x0 k y0 k x0 y0 -3k -3 (i . k2)x0 (1 k2)(3-x0 )-3k24t = 2、,3 16 分法二：设 P(x0,y),则直线 OQ： y =至x , Q(典t,t), Y0 x0. OPOQ, . OP OQ=OM PQ乌t2 +t2 = J3 ,(x0 +典t)2 +(y 1)2 12分x0 , x。t2 , 2 2、x02 (x0 V。)2=%2*，2十八2 十t2t2)(x02 +y02)t2 =3(x

9、02 +t2), t2 =-2 3x0 2 1的x0 y0 - 32 2 2 2 . x y 2 3x0 2 3x0 . . o o十=1,y0 =3 - , t = =12 ,-t = 2M34 3 4 1 2x0416分c 、6 a2 3 6 2 2 28 ( 1) 因为一=,= ,a = b + c ,a 3 c 22 2解得a =3,b = J3,所以椭圆方程为 二十匕=19 3(2)由y - 3xtx2 y2 ，解得一 一 二1,9 391027103 y = - - x 由 32 2,9 32x2y92323 ./10所以og = 5,OH3.155假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为因为 OG2 +OH 2 =GH 2,故2 2OG2 OH2R,则 OG OH = R GH 1R2当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y = kx ,y = kx由x2,9xG，得=1 2Vg9 21 3k，所以 OG2 9k21 3k29 9k221 3k同理可得OH9k2 9 2 2-（将 OG3 k2中的k换成-1可得）k1OG2当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得 + OG2 OH2故满足条件的定圆方程为：x2 y2