等边三角形专题最新含详细讲解析.docx

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等边三角形专题最新含详细讲解析

《等边三角形》专题

2.（2017天津第9题）如图，将ABC绕点B顺时针旋转60°得DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是（）

B.CBE"CC.AD//BC

D.AD二BC

3.（2017天津第11题）如图,在ABC中,

AB二AC,AD,CE是ABC的两条中线,

是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BPEP最小值的是（）

D.AC

17.（2017河池第12题）已知等边ABC的边长为12,D是AB上的动点，过D作

DE_AC于点E，过E作EF_BC于点F，过F作FG_AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（）

A.3B.4C.8D.9

10.（2008•荷泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点O,AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE;②PQ//AE;③AP=BQ;

④DE=DP;⑤/AOB=60°•恒成立的（把你认为正确的序号都填上）.

16、（2009•义乌中考）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD—BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE。

（1）求厶ABC的面积S;

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明。

《等边三角形》练习题

1.（2012?

深圳）如图，已知：

/MON=30。

，点Ai、A2、A3…在射线ON上，点Bi、

B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2>^A2B2A3、AA3B3A4…均为等边三角形，若OA^I,

BFC

则厶A6B47的边长为（）

A.6B.

2.（2012?

凉山州）如图，-a+的度数是（）

一个等边三角形纸片,

C.32D.64

剪去一个角后得到一个四边形，则图中/

A.180°B.220°

3.（2012?

荆门）如图，△ABC是等边三角形，于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,

C.240°

P是/ABC的平分线

垂足为点Q.若BF=2

D.300°

BD上一点，PE丄AB

贝UPE的长为（）

A.2

4.（2011?

南平）边长为

的正三角形的高为（

c..-；

）

D.3

A.2B.4C.4D.2二

5S1=2S2

2S[=3S2

2S1=■:

.4=252

&（2007?

娄底）如图，△ABC是边长为6cm

AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（

的等边三角形，被一平行于

）

BC的矩形所截，

1cm2

2cm

3v'cm2

3cm

出设厶CDH、△GHE的面积分别为◎、生，则（）

5.（2010?

随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P,作PE丄AC于E,Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，贝UDE的长为（）

A._

1~|

D.不能确定

6.（2009?

攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE,

AD与CE交于点F,则/DFC的度数为（

）

A.60°

45°

40°

D.30°

7.（2007?

绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE,BE、CE分别交AD于G、

9.（2006?

天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和厶EBC都是等边三角形，

AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：

①△ACE◎△DCB:

②CM=CN;③AC=DN.其中，正确结论的个数是（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

10.（2006?

南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A,C端点除

外）,设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小

11.（2007?

南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40。

的方向行驶40海里到达B

地，再由B地向北偏西20。

的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）

A.30海里B.40海里C.50海里|d.60海里|

12.（2006?

曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则/A等于（）

A.25°B.30°C.45°D.60°

13.（2011?

茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且

CG=CD,DF=DE，则/E=度.

14.（2008?

日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：

①AD=BE:

②PQ//AE:

③AP=BQ:

④DE=DP;⑤/AOB=60度.恒成立的结论有.（把你认为正确的序号都填上）

15.（2005?

扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A'B'C'，则点A'的坐标为.

16（2004?

茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1,△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2

△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3,…，如此类推，得到△AnBnCn.则：

18.（1999?

广州）如图，以A,B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出个.卫.•占

21.（2009?

辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD,以CD为一边作正三角形CDE，连接AE,判断AE与BC的位置关系，并说明理由.

参考.资料

（1）△A3B3C3的边长a3=

22.（2008?

绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：

如图，点M,N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证：

/BQM=60度.

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完

（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

1若将题中“BM=CN”与“/BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

2若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上，是否仍能得到/BQM=60°?

3若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”，是否仍能得到/BQM=60°?

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：

①•，②;

③.并对②，③的判断，选择一个给出证明.

23.（2007?

河北）在厶ABC中，AB=AC,CG丄BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B.

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE丄BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在

（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）

图i图2图3

24.（2004?

苏州）已知：

如图，正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点，延长AB至E,使BE=CD，连接DE,交BC于点P.

（1）求证：

DP=PE;

（2）若D为AC的中点，求BP的长.

25.（2002?

黑龙江）已知等边厶ABC和点P,设点P到厶ABC三边AB、AC、BC的距离

分别为h2、h3,AABC的高为h•“若点P在一边BC上（如图1）,此时h3=0,可得结论h!

+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题：

（1）当点P在厶ABC内（如图2）,

（2）点P在厶ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明；若不成立，g、h2、h3与h之间的关系如何？

请

写出你的猜想，不需证明.

（1）

（2）⑶P

26.（2000?

河南）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACPPDB；

（2）当厶ACPPDB时，求/APB的度数.

27.（2010?

雅安）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN.

（1）

求证：

AE=BD;

（2）求证：

MN//AB.

28.（2005?

临沂）如图，已知AD和BC交于点O,且厶OAB和厶OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE,CE和AD相交于点F.

求证：

△ACE为等边三角形.

29.已知：

如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点0,点M、N分别是线段AD、BE的中点.

（1）求证：

AD=BE;

（2）求/D0E的度数;

（3）求证：

△MNC是等边三角形.

30.如图，等边△ABC的边长为10,点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ:

BC=1:

2，过P作PE丄AC于E,连PQ交AC边于D，求DE的长？

参考.资料

《全等三角形》练习参考答案与试题解析

1.C2.C3.C4.D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13./E=15度.14.①②③

⑤•

15.''.16.a3=丄；△AnBnCn的边长an=*（或2）

4_2n_1

17.等边三角形.18.2个.19PP'=3.

20.

解：

（1）在正△ABC

S）BCXAD=丄X4X2^=4頂.（3分）

（2）AC、DE的位置关系：

AC丄DE.（1分）在厶CDF中，•••/CDE=90°-ZADE=30°,（2分）

•••/CFD=180°-ZC-ZCDE=180°-60°-30°=90°.

•••AC丄DE.（3分）

（注：

其它方法酌情给分）.

21.解：

AE//BC.理由如下：

•/△ABC与厶CDE为正三角形，

•BC=AC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

•ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即ZBCD=ZACE,

•△BCD◎△ACE,

•ZB=ZEAC,

vZB=ZACB,

•ZEAC=ZACB,

•AE//BC.

22.请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”:

①是；②是；③否.并

对②，③的判断，选择一个给出证明.

（1）证明：

在厶ABM和厶BCN中，

，ZABM=ZBCN,

lAB=BC

•△ABM◎△BCN,

•ZBAM=ZCBN,

•ZBQM=ZBAQ+ZABQ=ZMBQ+ZABQ=60°.

（2）①是；②是；③否.

②的证明：

如图，

在厶ACM和厶BAN中，

rCI=AH

，ZACM=ZBAN=120*,

lAC=AB

•••△ACM◎△BAN,

•••/AMC=/BNA,

•••/NQA=/NBC+/BMQ=/NBC+/BNA=180°-60°=120•••/BQM=60°.

③的证明：

如图，

在Rt△ABM和Rt△BCN中，

/BM二CM

Iab=bc，

•Rt△ABM也RtABCN,

•••/AMB=/BNC.

又/NBM+/BNC=90°,

•••/QBM+/QMB=90°,

•••/BQM=90°，即/BQM工60°.

解：

（1）BF=CG;

证明：

在厶ABF和厶ACG中

•••/F=ZG=90。

，/FAB=/GAC,AB=AC

•△ABF◎△ACG（AAS）

•BF=CG;

（2）DE+DF=CG;

证明：

过点D作DH丄CG于点H（如图2）

•/DE丄BA于点E,ZG=90°,DH丄CG

•四边形EDHG为矩形

•DE=HG,DH//BG

•••/GBC=/HDC

•/AB=AC

•••/FCD=/GBC=/HDC

又•••/F=/DHC=90°,CD=DC

•••△FDC◎△HCD（AAS）

•DF=CH

•GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG;

（3）仍然成立.

证明：

过点D作DH丄CG于点H（如图3）

•/DE丄BA于点E,ZG=90°,DH丄CG

•四边形EDHG为矩形，

•DE=HG,DH//BG,

•••/GBC=/HDC,

•/AB=AC,

•••/FCD=/GBC=/HDC,

又•••/F=/DHC=90°,CD=DC,

•••△FDC◎△HCD（AAS）

•DF=CH,

•GH+CH=DE+DF=CG,

即DE+DF=CG.

24.

（1）证明：

过点D作DF//AB，交BC于F.

•••△ABC为正三角形，

•••/CDF=/A=60°.

•△CDF为正三角形.

•DF=CD.

又BE=CD,

•BE=DF.

又DF//AB,

•/PEB=ZPDF.

•••在△DFP和^EBP中，

fZBPE=ZFPD

「ZPEB二/PDF,

BE^FD

•△DFP^AEBP（AAS）.

•DP=PE.

（2）解：

由

（1）得厶DFP^AEBP，可得FP=BP.

•/D为AC中点，DF/AB,

•BF=」BC=-a.

•BP=」BF=」a.

25.

解：

（1）当点P在厶ABC内时，结论m+h2+h3=h仍然成立.

理由如下：

过点P作BC的平行线，交AB于G,交AC于H，交AM于N，则可得

结论h!

+h2=AN.

•••四边形MNPF是矩形，

•PF=MN，即h3=MN.

•h1+h2+h3=AN+MN=AM=h,

即h1+h2+h3=h.

（2）当点P在厶ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立.此时，它们的关系是M+h?

-h3=h.

理由如下：

过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN.

•••四边形MNPF是矩形，

•••PF=MN，即h3=MN.

•••h1+h2-h3=AN-MN=AM=h

即h1+h2-h3=h.

解:

（1）当CD2=AC?

DB时，△ACPPDB,

•••△PCD是等边三角形,

•••/PCD=/PDC=60°

•••/ACP=/PDB=120

■I=Il

则根据相似三角形的判定定理得△ACPPDB

（2）当厶ACPPDB时，/APC=/PBD

•••/PDB=120°

•••/DPB+/DBP=60°

•••/APC+/BPD=60°

•••/APB=/CPD+/APC+/BPD=120°

即可得/APB的度数为120°.

证明：

（1）•••△ACD和厶BCE是等边三角形，

•AC=DC,CE=CB，/DCA=60°，/ECB=60°,•••/DCA=/ECB=60°,

•••/DCA+/DCE=/ECB+/DCE，/ACE=/DCB,

在厶ACE与厶DCB中,rAC=DC

•••，ZACE二ZDCE,

lCE^CB

•AE=BD;

（2）•••由

（1）得，△ACE◎△DCB,

•••/CAM=/CDN,

•/ACD=/ECB=60。

，而A、C、B三点共线,

•••/DCN=60°,

在厶ACM与厶DCN中，

rZlIAC=ZNDC

AC二DC,

ZACM=ZDC）^GOfl

•••△ACMS'DCN,

•••MC=NC,

•••/MCN=60°,

•△MCN为等边三角形，

•••/NMC=/DCN=60°,

•••/NMC=/DCA,

•MN//AB.

28.证明：

•••△OAB和'OCD为等边三角形，

•CD=OD,OB=AB，/ADC=/ABO=60•••四边形ODEB是平行四边形，

•OD=BE,OB=DE，/CBE=/EDO.

•CD=BE,AB=DE，/ABE=/CDE.

•△ABES'EDC.

•AE=CE，/AEB=/ECD.

•/BE//AD,

•/AEB=/EAD.

•/EAD=/ECD.

在厶AFE和厶CFD中

又•••/AFE=/CFD,

•/AEC=/ADC=60°.

•△ACE为等边三角形.

29.解：

（1）TAABC、△CDE都是等边三角形,

•AC=BC,CD=CE，/ACB=/DCE=60°

•/ACB+/BCD=/DCE+/BCD,

•/ACD=/BCE,在厶ACD和厶BCE中

rAC=BC

-ZACD=ZBCE,

lcd=ce

•△ACDSABCE,

•AD=BE.

（2）解：

•••△ACDSABCE,

•/ADC=/BEC,

•••等边三角形DCE,

•/CED=/CDE=60°,

•/ADE+/BED=/ADC+/CDE+/BED,

=/ADC+60°+/BED,

=/CED+60°,

=60°+60°,

=120°,

•/DOE=180°-（ZADE+/BED）=60°

答：

/DOE的度数是60°.

（3）证明：

•••△ACD◎△BCE,

•••/CAD=/CBE,AD=BE,AC=BC

又•••点M、N分别是线段AD、BE的中点，

•AM=2aD，BN=」BE,

•AM=BN,

在厶ACM和厶BCN中

'AC=BC

-ZCAM=ZCBN,

棚二B囤

•△ACM◎△BCN,

•CM=CN,

/ACM=/BCN,

又/ACB=60°,

•/ACM+/MCB=60°,

•/BCN+/MCB=60°,

•/MCN=60°,

•△MNC是等边三角形.

30.解：

过P点作PF//BC交AC于F点，

•••等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ:

BC=1:

•AB=BC，/B=/ACB=/A=60°,

•AP=CQ,

•/PF/AB,

•/APF=/B=60。

，/AFP=/ACB=60°,

•/A=/APF=/AFP=60°,

•△APF是等边三角形，

•/PE丄AC,

•EF旦AF,

2，

•/△APF是等边三角形，AP=CQ,

•PF=CQ

•/PF/AB,

•/Q=/FPD,

在厶PDF和厶QDC中

fZFPD=ZQ

•二/FDP二ZQDC,

fF=CQ

•△PDF^AQDC,

•DF=CD,•DF=丄CF,

•de=ef+df=Zaf+2cf=2ac,

222

•ED=5.

双基训练

1.如图14-45，在等边厶ABC中，0是三个内角平分线的交点，0D//AB,OE

//AC，则图中等腰三角形的个数是。

2•如图14-46，AABC是等边三角形，D为BA的中点，DE丄AC，垂足为点E，

EFAB，AE=1，贝UAD=，AEFC的周长=。

3.如图14-47，在等边厶ABC中，AE=CD，BG丄AD，求证：

BP=2PG。

纵向应用

1.如图14-48，已知等边△ABC的ABC、ACB的平分线交于0点，若BC上的

点E、F分别在OB、0C垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

團U-48

2.如图14-49，C是线段AB上的一点，从CD和ABCE是两个等边三角形，点D、

E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H,求证：

GH//AB。

3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ACDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

△CMN是等边三角形。

4.如图14-51,C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边△ACD和ACBE,

M为AE的中点,

N为DB的中点，求证:

ACMN为等边三角形。

5.如图14-52，在四边形

ABCD中，/A+/B=1200,AD=BC，以CD为边向形外作等边ACDE，连结AE，求证：

AABE为等边三角形

6.如图14-53，已知AABC是等边三角形，D为AC

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