1、等边三角形专题最新含详细讲解析等边三角形专题2.(2017天津第9题)如图,将 ABC绕点B顺时针旋转60得 DBE,点C的对应点E恰 好落在AB延长线上,连接 AD.下列结论一定正确的是( )B. CBE C C. AD/ BCD. AD 二 BC3. (2017天津第11题)如图,在 ABC中,AB 二 AC , AD,CE 是 ABC 的两条中线,是AD上一个动点,则下列线段的长度等于 BP EP最小值的是( )D. AC17. (2017河池第12题)已知等边 ABC的边长为12, D是AB上的动点,过 D作DE _ AC于点E,过E作EF _ BC于点F,过F作FG _ AB于点G
2、.当G与D重合 时,AD的长是()A. 3 B. 4 C. 8 D. 910. ( 2008 荷泽中考)如图,C为线段AE上一动点(不与点 A, E重合),在AE同侧分 别作正三角形 ABC和正三角形 CDE,AD与BE交于一点 O , AD与BC交于点P,BE 与CD交于点Q,连结PQ .以下五个结论: AD=BE ;PQ / AE ; AP=BQ ;DE=DP ;/ AOB=60 恒成立的 (把你认为正确的序号都填上).16、( 2009 义乌中考)如图,在边长为 4的正三角形 ABC中,AD BC于点D,以AD 为一边向右作正三角形 ADE 。(1 )求厶ABC的面积S;(2)判断AC、
3、DE的位置关系,并给出证明。等边三角形练习题1. ( 2012?深圳)如图,已知:/ MON=30。,点Ai、A2、A3在射线 ON上,点Bi、B2、B3在射线 OM 上, A1B1A2 A2B2A3、A A3B3A4均为等边三角形,若 OAI ,B F C则厶A6B47的边长为( )A . 6 B.2. ( 2012?凉山州)如图,- a+ 的度数是( )12一个等边三角形纸片,C . 32 D . 64剪去一个角后得到一个四边形,则图中/A . 180 B. 220 3. (2012?荆门)如图, ABC是等边三角形, 于点E,线段BP的垂直平分线交 BC于点F,C . 240 P是/ A
4、BC的平分线垂足为点Q .若BF=2D . 300 BD上一点,PE丄AB,贝U PE的长为( )A . 24. ( 2011 ?南平)边长为B.! 42 :的正三角形的高为(c .-;)D . 3A . 2 B. 4 C .4 D . 2 二A .35S1=2S2B .2S=3S2C .2S1= : S2D .4=252& (2007?娄底)如图, ABC 是边长为6cmAB被截成三等分,则图中阴影部分的面积为(的等边三角形,被一平行于)BC的矩形所截,A .1cm 2B .c 22 cmC .3v cm 2D .c 23cm出设厶CDH、 GHE的面积分别为 、生,则( )DHG35. (
5、 2010?随州)如图,过边长为 1的等边 ABC的边AB上一点P,作PE丄AC 于E, Q 为BC延长线上一点,当 PA=CQ 时,连PQ交AC边于D,贝U DE的长为( )A . _B .1 |C .2D .不能确定3236. (2009 ?攀枝花)如图所示,在等边 ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE ,AD与CE交于点F,则/ DFC的度数为()A . 60B .45 C .40D . 30 7. (2007 ?绵阳)如图,在正方形 ABCD的外侧,作等边 ADE , BE、CE分别交 AD于G、9. (2006 ?天津)如图,A、C、B三点在同一条直线上, DAC和厶
6、EBC都是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点 M、N,有如下结论: ACE DCB :CM=CN ; AC=DN .其中,正确结论的个数是( )A . 3个 B. 2个 C . 1个 D . 0个10 . (2006 ?南宁)如图是一个等边三角形木框,甲虫 P在边框AC上爬行(A , C端点除外),设甲虫P到另外两边的距离之和为 d,等边三角形 ABC的高为h,则d与h的大小11. (2007 ?南充)一艘轮船由海平面上 A地出发向南偏西40。的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西20。的方向行驶40海里到达C地,则A、C两地相距( )A . 30海里 B . 40海里 C .
7、 50海里 |d . 60海里 |12. (2006 ?曲靖)如图,CD是Rt ABC斜边AB上的高,将 BCD沿CD折叠,B点恰 好落在AB的中点E处,则/ A等于( )A . 25 B . 30 C . 45 D . 60 13. (2011 ?茂名)如图,已知 ABC是等边三角形,点 B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD , DF=DE,则/ E= 度.14. (2008 ?日照)如图,C为线段AE上一动点(不与点 A, E重合),在AE同侧分别作 正三角形 ABC和正三角形 CDE , AD与BE交于点O , AD与BC交于点P, BE与CD交 于点Q,连接PQ .以下五个结论:
8、AD=BE :PQ / AE :AP=BQ :DE=DP ;/ AOB=60度.恒成立的结论有 .(把你认为正确的序号都填上)15. (2005 ?扬州)如图,将边长为 4的等边 ABC,沿x轴向左平移2个单位后,得到 A B C ,则点A 的坐标为 .16( 2004?茂名)如图,正三角形A1B1C1的边长为1 , A1B1C1的三条中位线组成 A2B2C2 A2B2C2的三条中线又组成 A3B3C3,,如此类推,得到 AnBnCn.则:EDFB18 . (1999 ?广州)如图,以 A , B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形,最多可 以作出 个.卫. 占21 . (2009 ?辽阳
9、)如图, ABC为正三角形,D为边BA延长线上一点, 连接CD ,以CD 为一边作正三角形 CDE,连接AE,判断AE与BC的位置关系,并说明理由.参考.资料(1) A3B3C3 的边长 a 3=22. (2008 ?绍兴)附加题,学完“几何的回顾” 一章后,老师布置了一道思考题:如图,点M , N分别在正三角形 ABC的BC,CA 边上,且BM=CN , AM , BN交于点 Q .求 证:/ BQM=60 度.(1 )请你完成这道思考题;(2)做完(1 )后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:1若将题中“ BM=CN ”与“/ BQM=60 ”的位置交换,得到的是否仍是真
10、命题?2若将题中的点 M, N分别移动到BC , CA的延长线上,是否仍能得到/ BQM=60 ?3若将题中的条件“点 M , N分别在正三角形 ABC的BC , CA边上”改为“点 M , N分 别在正方形 ABCD的BC , CD边上”,是否仍能得到/ BQM=60 ?-请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否” : , ; .并对,的判断,选择一个给出证明.23. (2007 ?河北)在厶ABC中,AB=AC , CG丄BA交BA的延长线于点 G .一等腰直角 三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为 F, 一条直角边与 AC边在一条直 线上,另一条直角边恰好经过点 B.(1
11、) 在图1中请你通过观察、测量 BF与CG的长度,猜想并写出 BF与CG满足的数量 关系,然后证明你的猜想;(2) 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与 AC边在同一直线上, 另一条直角边交 BC边于点D,过点D作DE丄BA于点E.此时请你通过观察、测量 DE、 DF与CG的长度,猜想并写出 DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想;(3) 当三角尺在(2)的基础上沿 AC方向继续平移到图3所示的位置(点 F在线段AC 上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由)图i 图2 图324. (2004 ?苏州)已知:如图,正 ABC的边长为
12、a , D为AC边上的一个动点,延长 AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.(1) 求证:DP=PE ;(2) 若D为AC的中点,求BP的长.25. (2002 ?黑龙江)已知等边厶 ABC和点P,设点P到厶ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h2、h3,A ABC的高为h “若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得 结论h!+h 2+h 3=h ”请直接应用上述信息解决下列问题:(1)当点P在厶ABC内(如图2) , ( 2)点P在厶ABC外(如图3)这两种情况时,上述 结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立, g、h2、h3与h之间的关系如何?请写出你的猜想,不需
13、证明.(1) (2) P26. (2000 ?河南)如图,点 C、D在线段AB上, PCD是等边三角形.(1 )当AC、CD、DB满足怎样的关系时, ACP PDB ;(2)当厶ACP PDB时,求/ APB的度数.27. (2010 ?雅安)如图,点 C是线段AB上除点A、B外的任意一点,分别以 AC、BC为 边在线段 AB的同旁作等边 ACD和等边 BCE,连接AE交DC于M,连接BD交CE 于N,连接MN .(1)D求证:AE=BD ;(2)求证:MN / AB .28. (2005 ?临沂)如图,已知AD和BC交于点O,且厶OAB和厶OCD 均为等边三角形, 以OD和OB为边作平行四边
14、形 ODEB,连接AC、AE和CE, CE和AD相交于点F.求证: ACE为等边三角形.29.已知:如图, ABC、 CDE都是等边三角形, AD、BE相交于点 0,点M、N分别 是线段AD、BE的中点.(1)求证:AD=BE ; (2)求/ D0E的度数;(3)求证: MNC是等边三角形.30.如图,等边 ABC的边长为10,点P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ :BC=1 : 2,过P作PE丄AC于E,连PQ交AC边于D,求DE的长?Q参考.资料全等三角形练习参考答案与试题解析1. C 2. C 3. C 4. D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13 ./ E=
15、15 度.14. 15 . .16. a 3=丄; AnBnCn 的边长 a n= * (或 2 )4 _2n_117 . 等边三角形.18 . 2 个 . 19 PP = 3 .20 .解:(1)在正 ABCS)BC X AD=丄 X 4 X 2=4頂.(3 分)2 2(2) AC、DE的位置关系: AC丄DE . (1分) 在厶 CDF 中,/ CDE=90 -Z ADE=30 , (2 分)/ CFD=180 -Z C -Z CDE=180 - 60 - 30 =90 . AC 丄 DE. (3 分)(注:其它方法酌情给分).21.解:AE / BC .理由如下:/ ABC与厶CDE为正
16、三角形,BC=AC , CD=CE , Z ACB= Z DCE=60 ,Z ACB+ Z ACD= Z DCE+ Z ACD ,即 Z BCD= Z ACE , BCD ACE ,Z B= Z EAC ,vZ B= Z ACB ,Z EAC= Z ACB ,AE / BC .22.请你作出判断,在下列横线上填写 “是”或“否”:是;是;否.并对,的判断,选择一个给出证明.(1) 证明:在厶 ABM 和厶BCN中,ZABM=ZBCN,lAB=BC ABM BCN ,Z BAM= Z CBN ,Z BQM= Z BAQ+ Z ABQ= Z MBQ+ Z ABQ=60 .(2) 是;是;否.的证明
17、:如图,在厶ACM和厶BAN中,rCI=AH,ZACM=ZBAN=120* ,lAC=AB ACM BAN ,/ AMC= / BNA ,/ NQA= / NBC+ / BMQ= / NBC+ / BNA=180 - 60 =120 / BQM=60 .的证明:如图,在 Rt ABM 和 Rt BCN 中,/BM二CMIab=bc,Rt ABM 也 RtA BCN ,/ AMB= / BNC .又/ NBM+ / BNC=90 ,/ QBM+ / QMB=90 ,/ BQM=90 ,即/ BQM 工 60 .23解:(1) BF=CG ;证明:在厶ABF和厶ACG中/ F=Z G=90。,/
18、FAB= / GAC , AB=AC ABF ACG (AAS )BF=CG ;(2)DE+DF=CG ;证明:过点D作DH丄CG于点H (如图2)/ DE丄 BA 于点 E,Z G=90 , DH 丄 CG四边形EDHG为矩形DE=HG , DH / BG/ GBC= / HDC/ AB=AC/ FCD= / GBC= / HDC又/ F= / DHC=90 , CD=DC FDC HCD (AAS )DF=CHGH+CH=DE+DF=CG ,即 DE+DF=CG ;(3)仍然成立.证明:过点D作DH丄CG于点H (如图3)/ DE丄 BA 于点 E,Z G=90 , DH 丄 CG四边形E
19、DHG为矩形,DE=HG , DH / BG ,/ GBC= / HDC ,/ AB=AC ,/ FCD= / GBC= / HDC ,又/ F= / DHC=90 , CD=DC , FDC HCD (AAS )DF=CH ,GH+CH=DE+DF=CG ,即 DE+DF=CG .24. ( 1)证明:过点 D作DF / AB,交BC于F. ABC为正三角形,/ CDF= / A=60 . CDF为正三角形.DF=CD .又 BE=CD ,BE=DF.又 DF / AB ,/ PEB=Z PDF.在 DFP 和 EBP 中,fZBPE=ZFPDZPEB二/PDF ,BEFD DFPA EBP
20、 (AAS ).DP=PE.(2)解:由(1 )得厶 DFPA EBP,可得 FP=BP./ D 为 AC 中点,DF / AB ,BF=BC= -a .2 2BP=BF=a .2 425.解:(1)当点P在厶ABC内时,结论 m+h2+h3=h仍然成立.理由如下:过点 P作BC的平行线,交 AB于G ,交AC于H,交AM于N,则可得结论 h!+h2=AN .四边形MNPF是矩形,PF=MN,即 h3=MN .h1+h 2+h 3=AN+MN=AM=h ,即 h1+h2+h3=h.(2)当点P在厶ABC外时,结论h1+h2+h3=h不成立.此时,它们的关系是 M+h?-h3=h .理由如下:过
21、点 P作BC的平行线,与 AB、AC、AM分别相交于G、H、N,则可 得结论h 1+h 2=AN .四边形MNPF是矩形, PF=MN,即 h3=MN . h1+h2- h3=AN - MN=AM=h即 h 1+h2 - h3=h .解:(1)当 CD2=AC?DB 时, ACP PDB, PCD是等边三角形,/ PCD= / PDC=60 / ACP= / PDB=120 I = Il则根据相似三角形的判定定理得 ACP PDB(2)当厶 ACP PDB 时,/ APC= / PBD/ PDB=120 / DPB+ / DBP=60 / APC+ / BPD=60 / APB= / CPD+
22、 / APC+ / BPD=120 即可得/ APB的度数为120 .证明:(1 ) ACD和厶BCE是等边三角形, AC=DC , CE=CB,/ DCA=60 ,/ ECB=60 , / DCA= / ECB=60 ,/ DCA+ / DCE= / ECB+ / DCE,/ ACE= / DCB ,在厶ACE与厶DCB中, rAC=DC,ZACE二ZDCE ,lCECBAE=BD;(2)由(1)得, ACE DCB ,/ CAM= / CDN ,/ ACD= / ECB=60。,而 A、C、B 三点共线,/ DCN=60 ,在厶ACM与厶DCN中,rZlIAC=ZNDCAC二DC ,ZAC
23、M=ZDC)GOfl ACM S DCN , MC=NC ,/ MCN=60 , MCN为等边三角形,/ NMC= / DCN=60 ,/ NMC= / DCA ,MN / AB .28. 证明: OAB和 OCD为等边三角形,CD=OD , OB=AB,/ ADC= / ABO=60 四边形ODEB是平行四边形,OD=BE , OB=DE,/ CBE= / EDO .CD=BE , AB=DE,/ ABE= / CDE . ABE S EDC .AE=CE,/ AEB= / ECD ./ BE/ AD ,/ AEB= / EAD ./ EAD= / ECD .在厶AFE和厶CFD中又/ AF
24、E= / CFD ,/ AEC= / ADC=60 . ACE为等边三角形.29. 解:(1)TA ABC、 CDE都是等边三角形,AC=BC , CD=CE,/ ACB= / DCE=60 / ACB+ / BCD= / DCE+ / BCD ,/ ACD= / BCE , 在厶ACD和厶BCE中rAC=BC-ZACD=ZBCE ,lcd=ce ACD SA BCE ,AD=BE.(2)解: ACD SA BCE ,/ ADC= / BEC,等边三角形 DCE ,/ CED= / CDE=60 ,/ ADE+ / BED= / ADC+ / CDE+ / BED,=/ ADC+60 + /
25、BED,=/ CED+60 ,=60 +60 ,=120 ,/ DOE=180 -(Z ADE+ / BED) =60 答:/ DOE的度数是60 .(3)证明: ACD BCE,/ CAD= / CBE, AD=BE , AC=BC又点M、N分别是线段 AD、BE的中点,AM= 2aD,BN=BE,2 2AM=BN ,在厶ACM和厶BCN中AC=BC-ZCAM=ZCBN,棚二B囤 ACM BCN ,CM=CN ,/ ACM= /BCN ,又/ ACB=60 ,/ ACM+ / MCB=60 ,/ BCN+ / MCB=60 ,/ MCN=60 , MNC是等边三角形.30. 解:过P点作PF
26、/ BC交AC于F点,等边 ABC的边长为10,点P是边AB的中点,CQ : BC=1 : 2,AB=BC,/ B= / ACB= / A=60 ,AP=CQ ,/ PF / AB,/ APF= / B=60。,/ AFP= / ACB=60 ,/ A= / APF= / AFP=60 , APF是等边三角形,/ PE丄AC ,EF旦AF,2 ,/ APF是等边三角形,AP=CQ ,PF=CQ/ PF / AB,/ Q= / FPD,在厶PDF和厶QDC 中fZFPD=ZQ二 /FDP二ZQDC ,fF=CQ PDFA QDC ,DF=CD , DF=丄CF ,2de=ef+df=Zaf+2c
27、f=2ac ,2 2 2ED=5 .双基训练1.如图14-45,在等边厶ABC中,0是三个内角平分线的交点, 0D / AB, OE/ AC,则图中等腰三角形的个数是 。2如图14-46,AABC是等边三角形,D为BA的中点,DE丄AC,垂足为点E,EFAB,AE=1,贝U AD= ,AEFC 的周长= 。3.如图 14-47,在等边厶ABC 中,AE=CD,BG 丄 AD,求证:BP=2PG。纵向应用1.如图14-48,已知等边 ABC的ABC、ACB的平分线交于 0点,若BC上的点E、F分别在OB、0C垂直平分线上,试说明EF与AB的关系,并加以证明。團 U-482.如图14-49,C是线
28、段AB上的一点,从CD和ABCE是两个等边三角形,点D、E在AB同旁,AE交CD于点G,BD交CE于点H,求证:GH / AB。3.如图14-50,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点 D使 得ACDE是等边三角形,如果 M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证: CMN是等边三角形。4.如图14-51 , C是线段AB上一点,分别以BC、AC为边作等边 ACD 和 ACBE,M为AE的中点,N为DB的中点,求证:ACMN为等边三角形。5.如图14-52,在四边形ABCD 中,/ A+ / B=1200, AD=BC,以 CD 为边向形 外作等边ACDE,连结AE,求证:AABE为等边三角形6.如图14-53,已知A ABC是等边三角形,D为AC
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