等边三角形专题最新含详细讲解析.docx

1、等边三角形专题最新含详细讲解析等边三角形专题2.（2017天津第9题）如图，将 ABC绕点B顺时针旋转60得 DBE，点C的对应点E恰 好落在AB延长线上，连接 AD.下列结论一定正确的是（ ）B. CBE C C. AD/ BCD. AD 二 BC3. （2017天津第11题）如图,在 ABC中,AB 二 AC , AD,CE 是 ABC 的两条中线,是AD上一个动点，则下列线段的长度等于 BP EP最小值的是（ ）D. AC17. （2017河池第12题）已知等边 ABC的边长为12, D是AB上的动点，过 D作DE _ AC于点E，过E作EF _ BC于点F，过F作FG _ AB于点G

2、.当G与D重合 时，AD的长是（）A. 3 B. 4 C. 8 D. 910. （ 2008 荷泽中考）如图，C为线段AE上一动点（不与点 A, E重合），在AE同侧分 别作正三角形 ABC和正三角形 CDE，AD与BE交于一点 O , AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q，连结PQ .以下五个结论： AD=BE ;PQ / AE ; AP=BQ ;DE=DP ;/ AOB=60 恒成立的 （把你认为正确的序号都填上）.16、（ 2009 义乌中考）如图，在边长为 4的正三角形 ABC中，AD BC于点D，以AD 为一边向右作正三角形 ADE 。（1 ）求厶ABC的面积S;（2）判断AC、

3、DE的位置关系，并给出证明。等边三角形练习题1. （ 2012?深圳）如图，已知：/ MON=30。，点Ai、A2、A3在射线 ON上，点Bi、B2、B3在射线 OM 上， A1B1A2 A2B2A3、A A3B3A4均为等边三角形，若 OAI ,B F C则厶A6B47的边长为（ ）A . 6 B.2. （ 2012?凉山州）如图，- a+ 的度数是（ ）12一个等边三角形纸片,C . 32 D . 64剪去一个角后得到一个四边形，则图中/A . 180 B. 220 3. （2012?荆门）如图， ABC是等边三角形， 于点E,线段BP的垂直平分线交 BC于点F,C . 240 P是/ A

4、BC的平分线垂足为点Q .若BF=2D . 300 BD上一点，PE丄AB,贝U PE的长为（ ）A . 24. ( 2011 ?南平)边长为B.! 42 :的正三角形的高为（c .-；)D . 3A . 2 B. 4 C .4 D . 2 二A .35S1=2S2B .2S=3S2C .2S1= : S2D .4=252& （2007?娄底）如图， ABC 是边长为6cmAB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（的等边三角形，被一平行于）BC的矩形所截，A .1cm 2B .c 22 cmC .3v cm 2D .c 23cm出设厶CDH、 GHE的面积分别为 、生，则（ ）DHG35. （

5、 2010?随州）如图，过边长为 1的等边 ABC的边AB上一点P,作PE丄AC 于E, Q 为BC延长线上一点，当 PA=CQ 时，连PQ交AC边于D，贝U DE的长为（ ）A . _B .1 |C .2D .不能确定3236. （2009 ?攀枝花）如图所示，在等边 ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE ,AD与CE交于点F,则/ DFC的度数为（)A . 60B .45 C .40D . 30 7. （2007 ?绵阳）如图，在正方形 ABCD的外侧，作等边 ADE , BE、CE分别交 AD于G、9. （2006 ?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上， DAC和厶

6、EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点 M、N，有如下结论： ACE DCB :CM=CN ; AC=DN .其中，正确结论的个数是（ ）A . 3个 B. 2个 C . 1个 D . 0个10 . （2006 ?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫 P在边框AC上爬行（A , C端点除外）,设甲虫P到另外两边的距离之和为 d，等边三角形 ABC的高为h，则d与h的大小11. （2007 ?南充）一艘轮船由海平面上 A地出发向南偏西40。的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20。的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）A . 30海里 B . 40海里 C .

7、 50海里 |d . 60海里 |12. （2006 ?曲靖）如图，CD是Rt ABC斜边AB上的高，将 BCD沿CD折叠，B点恰 好落在AB的中点E处，则/ A等于（ ）A . 25 B . 30 C . 45 D . 60 13. （2011 ?茂名）如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD , DF=DE，则/ E= 度.14. （2008 ?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点 A, E重合），在AE同侧分别作 正三角形 ABC和正三角形 CDE , AD与BE交于点O , AD与BC交于点P, BE与CD交 于点Q，连接PQ .以下五个结论：

8、AD=BE :PQ / AE :AP=BQ :DE=DP ;/ AOB=60度.恒成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上）15. （2005 ?扬州）如图，将边长为 4的等边 ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到 A B C ，则点A 的坐标为 .16（ 2004?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1 , A1B1C1的三条中位线组成 A2B2C2 A2B2C2的三条中线又组成 A3B3C3,，如此类推，得到 AnBnCn.则：EDFB18 . （1999 ?广州）如图，以 A , B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可 以作出 个.卫. 占21 . （2009 ?辽阳

9、）如图， ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点， 连接CD ,以CD 为一边作正三角形 CDE，连接AE,判断AE与BC的位置关系，并说明理由.参考.资料(1) A3B3C3 的边长 a 3=22. （2008 ?绍兴）附加题，学完“几何的回顾” 一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M , N分别在正三角形 ABC的BC，CA 边上，且BM=CN , AM , BN交于点 Q .求 证：/ BQM=60 度.（1 ）请你完成这道思考题；（2）做完（1 ）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：1若将题中“ BM=CN ”与“/ BQM=60 ”的位置交换，得到的是否仍是真

10、命题？2若将题中的点 M, N分别移动到BC , CA的延长线上，是否仍能得到/ BQM=60 ?3若将题中的条件“点 M , N分别在正三角形 ABC的BC , CA边上”改为“点 M , N分 别在正方形 ABCD的BC , CD边上”，是否仍能得到/ BQM=60 ?-请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否” ： ， ; .并对，的判断，选择一个给出证明.23. （2007 ?河北）在厶ABC中，AB=AC , CG丄BA交BA的延长线于点 G .一等腰直角 三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F, 一条直角边与 AC边在一条直 线上，另一条直角边恰好经过点 B.（1

11、） 在图1中请你通过观察、测量 BF与CG的长度，猜想并写出 BF与CG满足的数量 关系，然后证明你的猜想；（2） 当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与 AC边在同一直线上， 另一条直角边交 BC边于点D，过点D作DE丄BA于点E.此时请你通过观察、测量 DE、 DF与CG的长度，猜想并写出 DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3） 当三角尺在（2）的基础上沿 AC方向继续平移到图3所示的位置（点 F在线段AC 上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）图i 图2 图324. （2004 ?苏州）已知：如图，正 ABC的边长为

12、a , D为AC边上的一个动点，延长 AB至E,使BE=CD，连接DE,交BC于点P.（1） 求证：DP=PE ;（2） 若D为AC的中点，求BP的长.25. （2002 ?黑龙江）已知等边厶 ABC和点P,设点P到厶ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h2、h3,A ABC的高为h “若点P在一边BC上（如图1）,此时h3=0,可得 结论h!+h 2+h 3=h ”请直接应用上述信息解决下列问题：（1）当点P在厶ABC内（如图2） , （ 2）点P在厶ABC外（如图3）这两种情况时，上述 结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立， g、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需

13、证明.(1) (2) P26. （2000 ?河南）如图，点 C、D在线段AB上， PCD是等边三角形.（1 ）当AC、CD、DB满足怎样的关系时， ACP PDB ；（2）当厶ACP PDB时，求/ APB的度数.27. （2010 ?雅安）如图，点 C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以 AC、BC为 边在线段 AB的同旁作等边 ACD和等边 BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE 于N，连接MN .(1)D求证：AE=BD ;(2)求证：MN / AB .28. （2005 ?临沂）如图，已知AD和BC交于点O,且厶OAB和厶OCD 均为等边三角形, 以OD和OB为边作平行四边

14、形 ODEB，连接AC、AE和CE, CE和AD相交于点F.求证： ACE为等边三角形.29.已知：如图， ABC、 CDE都是等边三角形， AD、BE相交于点 0,点M、N分别 是线段AD、BE的中点.(1)求证：AD=BE ; (2)求/ D0E的度数;(3)求证： MNC是等边三角形.30.如图，等边 ABC的边长为10,点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ :BC=1 : 2，过P作PE丄AC于E,连PQ交AC边于D，求DE的长？Q参考.资料全等三角形练习参考答案与试题解析1. C 2. C 3. C 4. D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13 ./ E=

15、15 度.14. 15 . .16. a 3=丄； AnBnCn 的边长 a n= * （或 2 ）4 _2n_117 . 等边三角形.18 . 2 个 . 19 PP = 3 .20 .解：(1)在正 ABCS）BC X AD=丄 X 4 X 2=4頂.（3 分）2 2（2） AC、DE的位置关系： AC丄DE . （1分） 在厶 CDF 中，/ CDE=90 -Z ADE=30 , （2 分）/ CFD=180 -Z C -Z CDE=180 - 60 - 30 =90 . AC 丄 DE. （3 分）（注：其它方法酌情给分）.21.解：AE / BC .理由如下：/ ABC与厶CDE为正

16、三角形，BC=AC , CD=CE , Z ACB= Z DCE=60 ,Z ACB+ Z ACD= Z DCE+ Z ACD ,即 Z BCD= Z ACE , BCD ACE ,Z B= Z EAC ,vZ B= Z ACB ,Z EAC= Z ACB ,AE / BC .22.请你作出判断，在下列横线上填写 “是”或“否”:是；是；否.并对，的判断，选择一个给出证明.（1） 证明：在厶 ABM 和厶BCN中，ZABM=ZBCN,lAB=BC ABM BCN ,Z BAM= Z CBN ,Z BQM= Z BAQ+ Z ABQ= Z MBQ+ Z ABQ=60 .（2） 是；是；否.的证明

17、：如图，在厶ACM和厶BAN中，rCI=AH，ZACM=ZBAN=120* ,lAC=AB ACM BAN ,/ AMC= / BNA ,/ NQA= / NBC+ / BMQ= / NBC+ / BNA=180 - 60 =120 / BQM=60 .的证明：如图，在 Rt ABM 和 Rt BCN 中，/BM二CMIab=bc，Rt ABM 也 RtA BCN ,/ AMB= / BNC .又/ NBM+ / BNC=90 ,/ QBM+ / QMB=90 ,/ BQM=90 ，即/ BQM 工 60 .23解：(1) BF=CG ;证明：在厶ABF和厶ACG中/ F=Z G=90。，/

18、FAB= / GAC , AB=AC ABF ACG (AAS )BF=CG ;(2)DE+DF=CG ;证明：过点D作DH丄CG于点H (如图2)/ DE丄 BA 于点 E,Z G=90 , DH 丄 CG四边形EDHG为矩形DE=HG , DH / BG/ GBC= / HDC/ AB=AC/ FCD= / GBC= / HDC又/ F= / DHC=90 , CD=DC FDC HCD (AAS )DF=CHGH+CH=DE+DF=CG ，即 DE+DF=CG ;(3)仍然成立.证明：过点D作DH丄CG于点H (如图3)/ DE丄 BA 于点 E,Z G=90 , DH 丄 CG四边形E

19、DHG为矩形，DE=HG , DH / BG ,/ GBC= / HDC ,/ AB=AC ,/ FCD= / GBC= / HDC ,又/ F= / DHC=90 , CD=DC , FDC HCD (AAS )DF=CH ,GH+CH=DE+DF=CG ,即 DE+DF=CG .24. ( 1)证明：过点 D作DF / AB，交BC于F. ABC为正三角形，/ CDF= / A=60 . CDF为正三角形.DF=CD .又 BE=CD ,BE=DF.又 DF / AB ,/ PEB=Z PDF.在 DFP 和 EBP 中，fZBPE=ZFPDZPEB二/PDF ,BEFD DFPA EBP

20、 (AAS ).DP=PE.(2)解：由(1 )得厶 DFPA EBP，可得 FP=BP./ D 为 AC 中点，DF / AB ,BF=BC= -a .2 2BP=BF=a .2 425.解：(1)当点P在厶ABC内时，结论 m+h2+h3=h仍然成立.理由如下：过点 P作BC的平行线，交 AB于G ,交AC于H，交AM于N，则可得结论 h!+h2=AN .四边形MNPF是矩形，PF=MN，即 h3=MN .h1+h 2+h 3=AN+MN=AM=h ,即 h1+h2+h3=h.(2)当点P在厶ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立.此时，它们的关系是 M+h?-h3=h .理由如下：过

21、点 P作BC的平行线，与 AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可 得结论h 1+h 2=AN .四边形MNPF是矩形， PF=MN，即 h3=MN . h1+h2- h3=AN - MN=AM=h即 h 1+h2 - h3=h .解:(1)当 CD2=AC?DB 时， ACP PDB, PCD是等边三角形,/ PCD= / PDC=60 / ACP= / PDB=120 I = Il则根据相似三角形的判定定理得 ACP PDB(2)当厶 ACP PDB 时，/ APC= / PBD/ PDB=120 / DPB+ / DBP=60 / APC+ / BPD=60 / APB= / CPD+

22、 / APC+ / BPD=120 即可得/ APB的度数为120 .证明：(1 ) ACD和厶BCE是等边三角形， AC=DC , CE=CB，/ DCA=60 ，/ ECB=60 , / DCA= / ECB=60 ,/ DCA+ / DCE= / ECB+ / DCE，/ ACE= / DCB ,在厶ACE与厶DCB中, rAC=DC，ZACE二ZDCE ,lCECBAE=BD;(2)由(1)得， ACE DCB ,/ CAM= / CDN ,/ ACD= / ECB=60。，而 A、C、B 三点共线,/ DCN=60 ,在厶ACM与厶DCN中，rZlIAC=ZNDCAC二DC ,ZAC

23、M=ZDC)GOfl ACM S DCN , MC=NC ,/ MCN=60 , MCN为等边三角形，/ NMC= / DCN=60 ,/ NMC= / DCA ,MN / AB .28. 证明： OAB和 OCD为等边三角形，CD=OD , OB=AB，/ ADC= / ABO=60 四边形ODEB是平行四边形，OD=BE , OB=DE，/ CBE= / EDO .CD=BE , AB=DE，/ ABE= / CDE . ABE S EDC .AE=CE，/ AEB= / ECD ./ BE/ AD ,/ AEB= / EAD ./ EAD= / ECD .在厶AFE和厶CFD中又/ AF

24、E= / CFD ,/ AEC= / ADC=60 . ACE为等边三角形.29. 解：(1)TA ABC、 CDE都是等边三角形,AC=BC , CD=CE，/ ACB= / DCE=60 / ACB+ / BCD= / DCE+ / BCD ,/ ACD= / BCE , 在厶ACD和厶BCE中rAC=BC-ZACD=ZBCE ,lcd=ce ACD SA BCE ,AD=BE.(2)解： ACD SA BCE ,/ ADC= / BEC,等边三角形 DCE ,/ CED= / CDE=60 ,/ ADE+ / BED= / ADC+ / CDE+ / BED,=/ ADC+60 + /

25、BED,=/ CED+60 ,=60 +60 ,=120 ,/ DOE=180 -(Z ADE+ / BED) =60 答：/ DOE的度数是60 .(3)证明： ACD BCE,/ CAD= / CBE, AD=BE , AC=BC又点M、N分别是线段 AD、BE的中点，AM= 2aD，BN=BE,2 2AM=BN ,在厶ACM和厶BCN中AC=BC-ZCAM=ZCBN,棚二B囤 ACM BCN ,CM=CN ,/ ACM= /BCN ,又/ ACB=60 ,/ ACM+ / MCB=60 ,/ BCN+ / MCB=60 ,/ MCN=60 , MNC是等边三角形.30. 解：过P点作PF

26、/ BC交AC于F点，等边 ABC的边长为10，点P是边AB的中点，CQ : BC=1 : 2,AB=BC，/ B= / ACB= / A=60 ,AP=CQ ,/ PF / AB,/ APF= / B=60。，/ AFP= / ACB=60 ,/ A= / APF= / AFP=60 , APF是等边三角形，/ PE丄AC ,EF旦AF,2 ，/ APF是等边三角形，AP=CQ ,PF=CQ/ PF / AB,/ Q= / FPD,在厶PDF和厶QDC 中fZFPD=ZQ二 /FDP二ZQDC ,fF=CQ PDFA QDC ,DF=CD , DF=丄CF ,2de=ef+df=Zaf+2c

27、f=2ac ,2 2 2ED=5 .双基训练1.如图14-45，在等边厶ABC中，0是三个内角平分线的交点， 0D / AB, OE/ AC，则图中等腰三角形的个数是 。2如图14-46，AABC是等边三角形，D为BA的中点，DE丄AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，贝U AD= ，AEFC 的周长= 。3.如图 14-47，在等边厶ABC 中，AE=CD，BG 丄 AD，求证：BP=2PG。纵向应用1.如图14-48，已知等边 ABC的ABC、ACB的平分线交于 0点，若BC上的点E、F分别在OB、0C垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。團 U-482.如图14-49，C是线

28、段AB上的一点，从CD和ABCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H,求证：GH / AB。3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点 D使 得ACDE是等边三角形，如果 M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证： CMN是等边三角形。4.如图14-51 , C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边 ACD 和 ACBE,M为AE的中点,N为DB的中点，求证:ACMN为等边三角形。5.如图14-52，在四边形ABCD 中，/ A+ / B=1200, AD=BC，以 CD 为边向形 外作等边ACDE，连结AE，求证：AABE为等边三角形6.如图14-53，已知A ABC是等边三角形，D为AC