中心极限定理证明.docx

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中心极限定理证明

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中心极限定理证明

一、例子

高尔顿钉板试验.

图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布.

如果定义:

当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且

那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理.

二、中心极限定理

设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立

称服从中心极限定理.

设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列.

解:

服从中心极限定理,则表明

其中.由于,因此

故服从中心极限定理.

三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理

在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则

用频率估计概率时的误差估计.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,

由此即得

第一类问题是已知,求,这只需查表即可.

第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验?

这时利用求出最小的.

第三类问题是已知,求.

解法如下:

先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:

.

抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有0.95的把握使出现六点的概率与之差不超过0.01,问需要抛掷多少次?

解:

由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多.

已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布:

的随机变量.求.

解:

因为很大,于是

所以

利用标准正态分布表,就可以求出的值.

某单位内部有260架电话分机,每个分机有0.04的时间要用外线通话,可以认为各个电话分机用不用外线是是相互独立的,问总机要备有多少条外线才能以0.95的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

解:

以表示第个分机用不用外线,若使用,则令;否则令.则.

如果260架电话分机同时要求使用外线的分机数为,显然有.由题意得,

查表得,,故取.于是

取最接近的整数,所以总机至少有16条外线,才能有0.95以上的把握保证各个分机在使用外线时不必等候.

根据孟德尔遗传理论,红黄两种番茄杂交第二代结红果植株和结黄果植株的比率为3:

1,现在种植杂交种400株,试求结黄果植株介于83和117之间的概率.

解:

将观察一株杂交种的果实颜色看作是一次试验,并假定各次试验是独立的.在400株杂交种中结黄果的株数记为,则.

由德莫佛—拉普拉斯极限定理,有

其中,即有

四、林德贝格-勒维中心极限定理

若是独立同分布的随机变量序列,假设,则有

证明:

设的特征函数为,则

的特征函数为

又因为,所以

于是特征函数的展开式

从而对任意固定的,有

而是分布的特征函数.因此,

成立.

在数值计算时,数用一定位的小数来近似,误差.设是用四舍五入法得到的小数点后五位的数,这时相应的误差可以看作是上的均匀分布.

设有个数,它们的近似数分别是,.,.令

用代替的误差总和.由林德贝格——勒维定理,

以,上式右端为0.997,即以0.997的概率有

设为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,其中,证明:

的分布函数弱收敛于.

证明:

为独立同分布的随机变量序列,且互相独立,所以仍是独立同分布的随机变量序列,易知有

由林德贝格——勒维中心极限定理,知的分布函数弱收敛于,结论得证.

作业:

P222EX32,33,34,35

五、林德贝尔格条件

设为独立随机变量序列,又

令,对于标准化了的独立随机变量和

的分布

当时,是否会收敛于分布?

除以外,其余的均恒等于零,于是.这时就是的分布函数.如果不是正态分布,那么取极限后,分布的极限也就不会是正态分布了.因而,为了使得成立,还应该对随机变量序列加上一些条件.从例题中看出,除以外,其余的均恒等于零,在和式中,只有一项是起突出作用.由此认为,在一般情形下,要使得收敛于分布,在的所有加项中不应该有这种起突出作用的加项.因为考虑加项个数的情况,也就意味着它们都要“均匀地斜.

设是独立随机变量序列,又,,这时

若是连续型随机变量,密度函数为,如果对任意的,有

若是离散型随机变量,的分布列为

如果对于任意的,有

则称满足林德贝尔格条件.

以连续型情形为例,验证:

林德贝尔格条件保证每个加项是“均匀地斜.

证明:

令,则

于是

从而对任意的,若林德贝尔格条件成立,就有

这个关系式表明,的每一个加项中最大的项大于的概率要小于零,这就意味着所有加项是“均匀地斜.

六、费勒条件

设是独立随机变量序列,又,,称条件为费勒条件.

林德贝尔格证明了林德贝尔格条件是中心极限定理成立的充分条件,但不是必要条件.费勒指出若费勒条件得到满足,则林德贝尔格条件也是中心极限定理成立的必要条件.

七、林德贝尔格-费勒中心极限定理

引理1对及任意的,

证明:

记,设,由于

因此,,其次,对,

用归纳法即得.

由于,因此,对也成立.

引理2对于任意满足及的复数,有

证明:

显然

因此,

由归纳法可证结论成立.

引理3若是特征函数,则也是特征函数,特别地

证明定义随机变量

其中相互独立,均有特征函数,服从参数的普哇松分布,且与诸独立,不难验证的特征函数为,由特征函数的性质即知成立.

林德贝尔格-费勒定理

定理设为独立随机变量序列,又.令,则

与费勒条件成立的充要条件是林德贝尔格条件成立.

证明:

准备部分

记

显然

以及分别表示的特征函数与分布函数,表示的分布函数,那么

这时

因此林德贝尔格条件化为:

对任意,

现在开始证明定理.设是任意固定的实数.

为证式必须证明

先证明,在费勒条件成立的假定下,与下式是等价的:

事实上,由知,又因为

故对一切,

把在原点附近展开,得到

因若费勒条件成立,则对任意的,只要充分大,均有

这时

对任意的,只要充分小,就可以有

因此,由引理3,引理2及,,只要充分大,就有

因为可以任意小,故左边趋于0,因此,证得与的等价性.

充分性

先证由林德贝尔格条件可以推出费勒条件.事实上,

右边与无关,而且可选得任意小;对选定的,由林德贝尔格条件知道第二式当足够大时,也可以任意地小,这样,费勒条件成立.

其次证明林德贝尔格条件能保证式成立.注意到及,可知,

当时,

当时,

因此

对任给的,由于的任意性,可选得使,对选定的,用林德贝尔格条件知只要充分大,也可使.因此,已证得了,但由于已证过费勒条件成立,这时与是等价的,因而也成立.

必要性

由于成立,因此相应的特征函数应满足.但在费勒条件成立时,这又推出了,因此,

上述被积函数的实部非负,故

而且

因为对任意的,可找到,使,这时由,可得

故林德贝尔格条件成立.

八、李雅普诺夫定理

设为独立随机变量序列,又.令,若存在,使有

则对于任意的,有

附送：

中心校2016年教代会校长工作报告

中心校2016年教代会校长工作报告

尊敬的教体局工会秦主席、各位代表，同志们：

长山峪中心校第八届教代会，在各位领导的关心支持下，经过全体教职工的共同努力，今天隆重开幕了。

现在，我受大会主席团的委托向大会作学校工作报告，请各位代表予审议，并请列席代表和在百忙之中专程出席会议的各位领导提出宝贵意见。

2016年，在教体局和镇党委、镇政府的正确领导和全镇广大教师的奋力拼搏下，我们用科学发展观统领学校全面工作，紧紧围绕县教体局的工作目标，继续坚持“以人为本，依法治校、质量立校、教研兴校、发展学生，成就教师，辉煌学校”的办学理念；坚持“以工作业绩为目标导向，以竞争促提高，以集体明荣辱；立足科学规范管理，突出教育教学中心，强力打造品牌学校”的治校方略；全面贯彻教育方针，扎实推行新课程改革，坚持教学中心地位、质量核心地位不动摇，深化“三项素质提升工程”建设，积极推进幼教、普教、成职教均衡、协调、持续、健康发展。

大力弘扬吃苦耐劳，甘于奉献，奋发向上，争先创优，遵规守纪，团结合作的长山峪精神文化，创建和谐校园，办人民满意的教育，努力实现了我中心校教育的又好又快发展。

中心校被市教育局、人事局评为承德市教育系统先进集体；中学被县政府评为教育教学实绩突出优胜单位。

一年来，我们主要做了以下几个方面的工作：

一、扎实开展了活动“学习实践科学发展观”和“作风建设年”活动。

按照上级关于开展“学习实践科学发展观”的安排部署，我们成立了以校长为组长的活动领导小组，制定了“学习实践科学发展观”活动方案，确定了“提升素质，创新机制，打造品牌学校”的科学发展观活动主题，明确了活动开展的目标要求，方法步骤，即党员干部受教育——促进教职工的道德水平有新提高，科学发展上水平——推动教育教学方法有新改进，人民群众得实惠——力争教育教学质量有新提升。

在“三访六问”活动中，征求到意见、建议56条；组织召开了民主生活会，大家开展了批评与自我批评，达到了相互帮助，共同进步，促进工作的目的。

在充分征求广大教师意见的基础上，班子成员先后召开3次会议，修订完善了《教师评奖评优方案》、《教师职称评聘实施方案》、《中小学教师教育教学考核细则》等6项制度。

培树了爱岗敬业标兵赵维树，孝老爱亲模范李桂芬，校本教研标兵马瑞雪等14位各层次的先进典型。

搞好党建工作，加强党性教育，抓好后备干部、入党的积极分子的教育培养和考察工作，增进了党组织的凝聚力和战斗力。

在“作风建设年”活动中，我们着力解决了当前校风、教风、学风、领导作风存在的突出问题和解影响我中心校教育教学又好又快发展的制约因素。

围绕“树正气、强队伍、严管理，抓质量、促发展”的主题。

进一步加强了思想作风建设，通过召开不同层次的座谈会，组织教职工从思想作风、学习作风、和工作作风等方面进行了自我反思，着力解决了教职工思想性、进步性和纪律性不强等问题。

深化“三项素质提升工程”，进一步加强了师德师风建设，着力解决了极少数教师事业心和责任心不强，影响全局性工作的问题。

大力倡导了依法执教，爱岗敬业，热爱学生，严谨治学，尊重家长，廉洁从教，为人师表的职业道德风范。

大力弘扬遵章守纪，履职尽责，无私奉献，以德立教的清风正气。

全体教师内强素质，外树形象，保持了昂扬向上的工作状态和奋发有为的工作精神。

修订了“十不准”和“教职工行为规范”，严明了工作纪律，完善了岗位责任，提高了工作效率和质量。

进一步加强了工作作风和管理作风建设，着力解决了工作不落实、措施不得力，工作浮浅、不善于管理，推而不动的问题。

领导班子成员围绕争创一流管理这一奋斗目标，率先垂范，进一步解放思想，开拓创新，通过自我学习、自我教育、自我完善，不断增强对政策法规的理解能力、对科学发展理论的实践能力和对学校事业发展的引领能力。

我们对各层次的人员根据工作职能签订了目标管理责任书；中小学实施了领导包校制度，继续实施了周行事，月总结制度。

中层领导结合自己所负责的工作，进行了自我反思。

领导班子全体成员分工协作、独挡一面，心往一处想、劲往一处使，逐渐形成了自觉学习，团结创新，勤政务实，廉洁自律的工作作风。

在工作上做到大事集体研究，小事相互通气，难事相互支持。

摆正了“三个关系”，即处理好对上服务与对下服务的关系，主动服务与被动服务的关系，提高岗位工作效率与增强全局工作效能的关系。

全心全意为教育教学、为师生服务服务意识明显增强。