圆培优专题含解答.docx
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圆培优专题含解答
圆的培优专题1――与圆有关的角度计算
一运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC内有一点D,DA=DB=DC，若乙DAB=20，/DAC=30,
1
贝U•BDC=.（•BDC=—.BAC=100）
2、如图，AE=BE=DE=BC=DC,若.C=100，则.BAD=.（50）
3、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,.CBD=20,.BDC=30，贝U
ZBAD=•（/BAD=ZBAC+乙CAD=40+60=100）
第1题
第3题
解题策略：
通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明
朗！
4、如图，口ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若•D=60,
贝U乙AEC=.（乙AEC=2^B=2^D=120）
5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,/ABC=ZADC=70,
则乙DAO+乂DCO=.（所求=360—乙ADC—乙AOC=150）
6、如图，四边形ABCD中，ACB=■ADB=90,-ADC=25，则ABC=.
（ABC=ADC=25）
第4题
第5题
第6题
运用圆周角和圆心角相互转化求角度
7、如图，AB为OO的直径,
C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则.ADC=.
8、如图，AB为OO的直径,
CD过OA的中点E并垂直于OA，则.ABC=.
9、如图，AB为OO的直径,
BC=3AC，则ABC=.
第7题
C
第9题
答案：
7、
45;8、30;9、22.5;
10、40;
11、
150;12、110
解题策略:
以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
10、如图,
AB为OO的直径，点C、D在OO上，.BAC=50，则.ADC=.
11、如图,
OO的半径为1,弦AB=\2，弦AC='\'3，则—BOC=.
12、如图，PAB、PCD是OO的两条割线，PAB过圆心O,若AC=CD，/P=30,
则・BDC=.（设•ADC=x，即可展开解决问题）
第10题第11题第12题解题策略：
在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等
直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点!
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!
圆的培优专题2――与垂径定理有关的计算
1、如图，AB是OO的弦，0D_AB，垂足为C,交OO于点D，点E在OO上，若
.BED
=30,O0的半径为4,则弦AB的长是.
略解：
•••OD_AB,•••AB=2AC，且.ACO=90,
•••.BED=30,•.AOC=2BED=60
•—0AC=30,0C=~OA=2,贝VAC=2、.f3，因此AB=4』3.
2、如图，弦AB垂直于OO的直径CD,OA=5,AB=6,贝UBC=.
1
略解：
•••直径CD_弦AB,•AE=BE=?
AB=3
•OE=、52-32=4，贝yCE=5+4=9
第1题
第2题第3题
3、如图，OO的半径为2-、5，弦AB_CD，垂足为P,AB=8,CD=6,贝UOP=.略解：
如图，过点O作OE_AB,OF_CD，连接OB,OD.
则BE=AB=4,DF=|CD=3，且OB=OD=2.5
OE=,（2,5）2-42=2,OF=、一（2、，5）2-32「一石
又AB_CD，则四边形OEPF是矩形，则OP=;22（11）^15
4、如图，在OO内，如果OA=8,AB=12,.A=.B=60，则OO的半径为•
1
略解：
如图，过点O作OD_AB，连接OB」AD=1AB=4，因此，BD=8,OD=
4、一3
•••OB=\（4：
3厂82=4.7•
5、如图，正△ABC内接于OO，D是OO上一点，.DCA=15，CD=10,贝UBC=
略解：
如图，连接OC，OD，则.ODC=.OCD
•/△ABC为等边三角形，则.OCA=.OCE=30，•.ODC=.OCD=45
•△OCD是等腰三角形，则OC=5、2
过点O作OEBC，贝UBC=2CE=5、」6
第4题第5题第6题
6、如图，OO的直径AB=4，C为AB的中点，E为OB上一点，.AEC=60，CE的延长线交OO于点D，则CD=
略解：
如图，连接OC，贝UOC=2
•/C为AB的中点，贝yOC_AB，又.AEC=60，二OCE=30
如图，过点O作OF—CD，贝UOF=1OC=1，CF=-.3:
7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千M的B处，
并以每小时10'、7千M的速度沿北偏东60的BF方向移
动，距台风中心200千M范围内是受台风影响的区域•
问：
A地是否受到这次台风的影响？
若受到影响，请求
出受影响的时间？
解：
如图，过点A作AC—BF交于点C，
•••.ABF=30，贝VAC=2AB=150：
：
:
200,因此A地会受到这次台风影响；如图，以A为圆心200千M为半径作OA交BF于D、E两点，连接AD,则DE=2CD=22002匚1502=100、一7,
所以受影响的时间为100J--10.7=10（时）
圆的培优专题3――圆与全等三角形
1、如图，OO的直径AB=10,弦AC=6,.ACB的平分线交OO于D，求CD的长.
解：
如图，连接AB,BD，在CB的延长线上截取BE=AC
•••.ACD=.BCD,•••AD=BD
又CAD=EBD,AC=BE
•△CAD◎△EBD（SAS）
•CD=DE,.ADC=.BDE
•/AB为OO的直径，则.ACB=.ADB=90
连接DE
•△CDE是等腰直角三角形且
CE=14,「.CD=7.2
2、如图，AB是OO的直径,
C是半圆的中点,
M、D分别是CB及AB延长线上一点，且
•BC=,102-62=8;ADC+CDB=CDB+BDE=90，即CDE=90
MA=MD，若CM=、2，求BD的长.
解：
如图，连接AC,贝UAC=BC,•C=90，即△ABC是等腰直角三角形
过点M作MN//AD，则乙NMA=ZMAD
则厶CMN也是等腰直角三角形，则MN=、、.2CM=2
•.ANC=.MBD=135,
又MA=MD,••D=■NMA=■MAD
•△AMN◎△BMD（AAS）
•BD=MN=2
3、如图，AB为OO的直径，点N是半圆的中点，点C为AN上一点，NC=3.
求BC—AC的值.
解：
如图，连接AN,BN，则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD=AC,连接DN
•/AN=BN,CAN=.DBN,AC=BD•••△ACN◎△BDN（SAS）
•••CN=DN,/CNA=ZDNB,
•匚CND=/CNA+ZAND=/ADN+ZDNB=90，即△CND是等腰直角三角形
•CD=.2NC=、.6,
•BC—AC=BC—BD=CD=、、6
4、如图，点A、B、C为OO上三点，AC二BC，点M为BC上一点，CE_AM于E,
AE=5,ME=3，求BM的长.
解：
如图，在AM上截取AN=BM，连接CN,CM.
•/AC=BC,•AC=BC,又.A=.B
•△ACN◎△BCM（SAS）
•CN=CM，又CE_AM
•NE=ME=3,
BM=AN=AE—NE=2
5、如图，在OO中，P为BAC的中点,
PD_CD,CD交OO于A，若AC=3,AD=1,
求AB的长.
解：
如图，连接BP、CP,贝UBP=CP,.B=.C
过点P作PE_AB于点E,又PD_CD
•BEP=CDP
•△BEP◎△CDP（AAS）
•BE=CD=3+1=4,PE=PD
连接AP,贝URt△AEP也Rt△ADP（HL），贝UAE=AD=1
•AB=AE+BE=56、如图，AB是O的直径，MN是弦，AE—MN于E,BF—MN于F,AB=10,MN=8.
求BF—AE的值.
解：
•••AE_MN,BF_MN，贝UAE//BF,•.A=.B
如图，延长EO交BF于点G,
贝养AOE=ZBOG,AO=BO
•••△AOE◎△BOG（AAS），贝UOE=OG
过点O作OH_MN,FG=2OH,HN=4
连接ON，贝UON=5,OH=.52—423，贝UBG-AE=FG=6.
圆的培优专题4――圆与勾股定理
1、如图，OO是厶BCN的外接圆，弦AC_BC，点N是AB的中点，.BNC=60,
的值•
解：
如图，连接AB，贝UAB为直径，•/BNA=90
连接AN，则BN=AN，则△ABN是等腰直角三角形
•-BN=AB;又BAC=BNC=60,
2
BN.6
BC=一
（方法2,过点B作BD_CN，即可求解）
2、如图，OO的弦AC_BD，且AC=BD，若AD=2、、2，求OO半径.
解：
如图，作直径AE，连接DE，则/ADE=90
又AC_BD，则乙ADB+乙DAC=ZADB+乙EDB=90•••乙DAC=匕EDB，则CD=BE，•DE=BC，•••AC=BD，•AC二CD，贝yAD二BC二DE
•AD=DE^PAADE是等腰直角三角形
•AE=.2AD=4，即OO的半径为23、如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，D为CB延长线上一点，且ZCAD=45°
CE_AB于点E，DF_AB于点F.
（1）求证：
CE=EF;
（2）若DF=2，EF=4，求AC.
（1）证：
TAB为OO的直径，/CAD=45，
则厶ACD是等腰直角三角形，即AC=DC
又CE_AB，则.CAE=.ECB
如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点G
又CE_AB,DF_AB，则四边形CEFG是矩形，乙AEC=ZDGC=90•••EF=CG,CE//DG，则.ECB=.CDG=.CAE
•••△ACE◎△DCG（AAS），贝UCE=CG=EF
（2）略解：
AC=CD=,4262=2.13.
4、如图，AB为OO的直径，CD_AB于点D,CD交AE于点F,AC二CE.
（1）求证：
AF=CF;
（2）若OO的半径为5,AE=8,求EF的长
（1）证：
如图，延长CD交OO于点G,连接AC
•••直径AB_CG，贝yAG=AC=CE
•/CAE=ZACG，贝UAF=CF
（2）解：
如图，连接OC交AE于点H，贝UOC_AE,
•-OH=\5~4-3，贝VCH=5—3=2
设HF=x，贝yCF=AF=4—x
"x）2,•，即HF=3
22
5、如图，在O
O中，直径CD—弦AB于E,AM_BC于M，交CD于N，连接AD.
（1）求证：
AD=AN;
（2）若AB=42,ON=1，求OO的半径.
（1）证：
TCD_AB,AM_BC
•C+CNM=C+B=90
••乙B=ZCNM,
又B=D,-AND=CNM
•匚D=ZAND，即AD=AN
（2）解：
•••直径CD_弦AB，贝UAE=2、、2
又AN=AD，贝UNE=ED
如图，连接OA，设OE=x，贝UNE=ED=x1
OA=OD=2x1
•••x2（2,2）2=（2x1）2，则x=1
•••OO的半径OA=3
圆的培优专题5――圆中两垂直弦的问题
1、在OO中，弦AB_CD于E,求证：
AOD+BOC=
证：
如图，连接AC,
•/AB_CD，则.CAB+.ACD=90
又.AOD=2ACD,■BOC=2BAC
••乙AOD+ZBOC=180.
AC2+BD2=4R2.
2、在OO中，弦AB_CD于点E,若OO的半径为R,求证:
证：
•••AB_CD，则.CAB+.ACD=90
如图，作直径AM，连接CM
贝"ACM=/ACD+ZDCM=90
•乙CAB=乙DCM,
•BC二DM
•CM二BD,
•CM=BD
•/AC2+CM2=AM
•AC2+BD2=4R23、在OO中，弦AB—CD于点E,若点M为AC的中点，求证ME—BD.
证：
如图，连接ME，并延长交BD于点F
•ME为Rt△AEC斜边上的中线
C
•••AB_CD，且点M为AC的中点
•••AM=ME•••£A=/AEM=/BEF
又匚B=ZC,乙A+乙C=90
•EBEF+/B=90，即£BFE=90
•ME_BD.
1
4、在OO中，弦AB_CD于点E,若ON_BD于N,求证：
ON=—AC.
2
证：
如图，作直径BF，连接DF,
贝UDF_BD，又ON_BD,
•ON//FD，又OB=OF
•ON=—DF
2
连接AF，贝UAF_AB，又CD_AB
•AF//CD
•AC=FD，贝yAC=FD
1
•ON=—AC
2
5、在OO中，弦AB—CD于点E,若AC=BD,ON—BD于N,OM—AC于M.
（1）
求证：
ME//ON;
（2）求证：
四边形OMEN为菱形.
证：
（1）如图，延长ME交OD于点F
•••OM_AC，则点M为AC的中点
•••AB_CD，贝UME为Rt△ACE的斜边上中线
•AM=EM,
•乙A=ZAEM=ZBEF
又.B=C,A+C=90
•乙B+ZBEF=90，则/BFE=90
•MF_BD，又ON_BD
•••MF//ON
（2）由
（1）知MF//ON，同理可证OM//NE,
•四边形OMEN是平行四边形
•/AC=BD,•OM=ON
•四边形OMEN为菱形.
圆的培优专题6――圆与内角（外角）平分线
圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形
1、如图，OOABC的外接圆，弦CD平分.ACB,■ACB=90.
求证：
CA+CB=..2CD.
证：
如图，在CA的延长线上截取AE=BC,连
•/CD平分ACB,•AD=BD
又DAE=DBC,AE=BC
•△DAE◎△DBC（SAS）
•CD=DE，又.ACD=45
DE,
是等腰直角三角形，则CA+CB=CE=.2CD.
2、如图，OOABC的外接圆，弦
CD平分.ACB,■ACB=120，求CA+CB
的值•
O
/
解：
如图，在CA的延长线上截取AE=BC,连DE,
•/CD平分.ACB,•AD=BD
又DAE=DBC,AE=BC
•△DAE◎△DBC（SAS）
•CD=DE，又.ACD=60
•△CDE是等边三角形
•CD=CE=CA+BC,即卩=1
3、如图，过O、M（1,1）的动圆OO1交y轴、
x轴于点
A、B，求OA+OB的值.
解：
如图，过点M作ME_y轴，MF_X轴，连AM、BM
由M（1,1）知：
四边形OFME是正方形
OE=OF=4,EM=FM，又三MBF=ZMAE,
•••△AEM◎△BFM（AAS），贝UAE=BF
.OA+OB=AE+OE+OF—BF=8.
圆中的外角问题往往与线段的差有关
4、如图，OOABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角/ACQ，/ACB=90.
求证：
（1）PA=PB;
（2）AC—BC=、、2PC.
证：
（1）如图，连接AP，则/PCQ=/PAB
又.PCQ=•PCA，则.PAB=■PCA
•PA=PB
（2）连接BP,由
（1）得，PA=PB
在AC上截取AD=BC,连PD，又.PAD=.PBC
•△PADPBC（SAS），贝UPD=PC
又/PCD=45，则•PCD是等腰直角三角形,
AC—BC=CD=、、2PC.
5、如图，OOABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角•ACQ,-ACB=120.
的值.
解：
如图，在BC上截取BD=AC，连AP、BP、DP
vZPCB=ZPCQ=ZPBA
•AP=BP,又乙CAP=DBP
•△CAPDBP（SAS），贝UCP=DP
又.ACB=120•PCD=30
BC—AC
PC
6、如图，A（4,0）,B（0,4）,OO1经过A、B、O三点，点这P为OA上动点（异于
O、
y山
PC
PO
A
<
5
求PBP6PA的值.
解：
如图，在BP上截取BC=AP
•/A（4,0）,B（0,4），贝UOA=OB=4
又.OAP=■OBC
•••△OAP◎△OBC（SAS）
圆的培优专题7――与切线有关的角度计算
切线与一个圆答案：
1、70；2、20；3、80；4、120；5、130；6、45
1、如图，AD切OO于A,BC为直径，若/ACB=20，则乙CAD=.
2、如图，AP切OO于P,PB过圆心，B在OO上，若.ABP=35，则.APB=.
3、如图，PA、PB为OO的切线，C为ACB上一点，若乙BCA=50，则三APB=.
•OC=OP,且£COP=£AOB
=90，则
4、如图，PA、PB为OO的切线，C为AB上一点,
若/BCA=150，则乙APB=.
5、如图，点O是厶ABC的内切圆的的圆心，若
/BAC=80，则乙BOC=.
6、如图，PA切OO于A，若PA=AB,PD平分
-APB交AB于D,则.ADP=.（设元，列方程）
切线与两个圆
7、如图，两同心圆的圆心为O,大圆的弦AB、AC
分别切小圆于D、E,小圆的DE的度数为110,
则大圆的BC的度数为.
第6题
第5题
第1题
第2题
第3题
第4题
8、如图，OOi和。
。
2交于A、B两点，且点Oi在OO2上，若/D=110，则/C=
9、如图，OOi和O02外切于D,AB过点D，若.AO2D=100,C为优弧BD上任
则乙DCB=.答案：
7、140;8、40;9、50（过点D作两圆的切线）
圆的培优专题8――与切线有关的长度计算
1、如图，在OO的内接△ACB中，/ABC=30,AC的延长线与过点D的切线BD交于
点D，若OO的半径为1,BD//OC，贝UCD=.（CD=丁）
2、如图△ABC内接于OO,AB=BC,过点A的切线与OC的延长线交于D,■BAC=
75,
CD=I3，贝yAD=.（AD=3）
3、如图，OOBCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A,.ACB=75,
-ABC=45，则CD的值为.（CD=■.2）
第1题第2题第3题第4题
4、如图，AB为OO的直径，弦DC交AB于E，过C作OO的切线交DB的延长线于M,若AB=4,三ADC=45，乙M=75，贝UCD=.（CD=2,3）
5、如图，等边△ABC内接于OO,BDBOO于B,AD—BD于D,AD交OO于E,OO
的半径为1,贝UAE=.（AE=1）
6、如图，△ABC中，.C=90,BC=5,0O与ABC的三边相切于D、E、F，若OO的
半径为2,则厶ABC的周长为.（C=30）
7、如图，△ABC中，乙C=90,AC=12,BC=16,点O在AB上，OO与BC相切于
D,
连接AD，贝UBD=.（示：
过D作DE_AB，设CD=DE=X,BD=10）
（1）求证：
DE为OO的切线;
O
第5题第6题第7题
解题策略：
连半径，有垂直；寻
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