圆培优专题含解答.docx

1、圆培优专题含解答圆的培优专题1 与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度1、 如图， ABC 内有一点 D , DA = DB = DC，若乙 DAB = 20，/ DAC = 30 ,1贝U BDC = . ( BDC = . BAC = 100 )2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC,若.C= 100，则.BAD = . ( 50 )3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD , . CBD = 20 , . BDC = 30，贝UZ BAD = (/ BAD = Z BAC + 乙 CAD = 40 + 60 = 100 )第1题第3题解题策略：通过添加辅

2、助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！4、 如图，口 ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若 D = 60 ,贝U 乙 AEC =.(乙 AEC = 2B = 2D = 120 )5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC, / ABC = Z ADC = 70 ,则乙 DAO + 乂 DCO =.(所求=360 乙 ADC 乙 AOC = 150 )6、 如图，四边形 ABCD 中， ACB = ADB = 90 , - ADC = 25，则 ABC =.( ABC = ADC = 25 )第4题第5题第6题运用圆周角和圆心角相互转

3、化求角度7、如图，AB为O O的直径,C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则.ADC =.8、如图，AB为O O的直径,CD过OA的中点E并垂直于 OA，则.ABC =.9、如图，AB为O O的直径,BC = 3AC，则 ABC =.第7题C第9题答案：7、45 ; 8、30 ; 9、22.5 ;10、 40 ;11、150 ; 12、 110解题策略:以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!10、如图,AB 为O O 的直径，点 C、D 在O O 上，.BAC = 50，则.ADC =.11、如图,O O 的半径为 1,弦 AB = 2，弦 AC = 3，则BOC =.12、

4、如图，PAB、PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若AC =CD，/ P= 30 ,则BDC =.（设 ADC = x，即可展开解决问题）第10题 第11题 第12题 解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点!圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!圆的培优专题2与垂径定理有关的计算1、 如图，AB是O O的弦，0D _ AB，垂足为 C,交O O于点 D，点 E在O O上，若.BED=30 , O 0的半径为4,则弦AB的长是.略解： OD _AB , AB = 2AC，且.ACO

5、= 90 , . BED = 30 , . AOC = 2 BED = 60 0AC = 30 , 0C = OA = 2,贝V AC = 2、.f 3，因此 AB = 43 .2、 如图，弦 AB垂直于O O的直径CD , OA = 5, AB = 6,贝U BC =.1略解：直径 CD _ 弦 AB , AE = BE = ? AB=3OE =、52 -32 =4，贝y CE = 5+ 4= 9第1题第2题 第3题3、如图，O O的半径为2-、5，弦AB _ CD，垂足为P, AB = 8, CD = 6,贝U OP=. 略解：如图，过点 O作OE_AB , OF_CD，连接OB , OD

6、.则 BE = AB = 4, DF = | CD = 3，且 OB = OD = 2 . 5OE = ,(2 ,5)2-42 =2 , OF=、一(2、，5)2-32一石又AB _CD，则四边形 OEPF是矩形，则 OP= ; 22 (11) 154、如图，在O O内，如果OA = 8, AB = 12, . A = . B = 60，则O O的半径为1略解：如图，过点 O作 OD_AB，连接 OBAD =1 AB = 4，因此，BD = 8 , OD =4、 一3 OB = (4：3厂82 =4.7 5、 如图，正 ABC 内接于O O，D 是O O 上一点，.DCA = 15，CD =

7、10,贝U BC =略解：如图，连接 OC，OD，则.ODC = . OCD/ ABC 为等边三角形，则 .OCA = . OCE = 30， . ODC = . OCD = 45 OCD是等腰三角形，则 OC = 5、2过点 O 作 OE BC，贝U BC = 2CE = 5、6第4题 第5题 第6题6、 如图，O O的直径AB = 4，C为AB的中点，E为OB上一点，.AEC = 60，CE的延 长线交O O于点D，则CD =略解：如图，连接 OC，贝U OC= 2/ C 为 AB 的中点，贝 y OC_AB，又.AEC = 60，二 OCE= 30如图，过点 O 作 OF CD，贝U O

8、F =1 OC = 1，CF = -.3 :7、 如图，A地测得台风中心在城正西方向 300千M的B处，并以每小时10、7千M的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心200千M范围内是受台风影响的区域 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求出受影响的时间？解：如图，过点 A作AC BF交于点C， . ABF = 30，贝V AC = 2 AB = 150：:200,因此A地会受到这次台风影响； 如图，以A为圆心200千M为半径作O A交BF于D、E两点，连接 AD , 则 DE = 2CD = 22002匚1502 = 100、一 7 ,所以受影响的时间为100J-10.7 =1

9、0 （时）圆的培优专题3圆与全等三角形1、如图，O O的直径 AB = 10,弦AC = 6, . ACB的平分线交O O于D，求CD的长.解：如图，连接 AB , BD，在CB的延长线上截取 BE = AC . ACD = . BCD , AD = BD又 CAD = EBD , AC = BE CAD EBD ( SAS)CD = DE , . ADC = . BDE/ AB 为O O 的直径，则.ACB = . ADB = 90连接DE CDE是等腰直角三角形且CE = 14,. CD = 7.22、如图，AB是O O的直径,C是半圆的中点,M、D分别是CB及AB延长线上一点，且 BC

10、= ,102 -62 =8 ; ADC + CDB = CDB + BDE = 90 ，即 CDE = 90MA = MD，若 CM =、2，求 BD 的长.解：如图，连接 AC,贝U AC = BC, C = 90，即 ABC是等腰直角三角形过点 M 作 MN / AD，则乙 NMA = Z MAD则厶CMN也是等腰直角三角形，则 MN =、. 2 CM = 2. ANC = . MBD = 135 ,又 MA = MD , D = NMA = MAD AMN BMD (AAS )BD = MN = 23、如图，AB为O O的直径，点N是半圆的中点，点 C为AN上一点，NC = 3 .求BC

11、 AC的值.解：如图，连接 AN , BN，则 ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD = AC,连接 DN/ AN = BN , CAN = . DBN , AC = BD ACN BDN (SAS) CN = DN , / CNA = Z DNB ,匚 CND = / CNA + Z AND = / ADN + Z DNB = 90 ，即 CND 是等腰直角三角形CD = .2 NC =、.6 ,BC AC = BC BD = CD =、64、如图，点 A、B、C为O O上三点， AC二BC，点M为BC上一点，CE_AM于E,AE = 5, ME = 3，求 BM 的长.解：如图，在 AM

12、上截取 AN = BM，连接CN , CM./ AC = BC , AC = BC ,又.A = . B ACN BCM ( SAS)CN = CM，又 CE _AMNE = ME = 3,BM = AN = AE NE = 25、如图，在O O中，P为BAC的中点,PD _CD , CD 交O O 于 A，若 AC = 3, AD = 1 ,求AB的长.解：如图，连接 BP、CP,贝U BP= CP, . B = . C过点P作PE _AB于点E,又PD _CDBEP = CDP BEP CDP (AAS )BE = CD = 3+1 = 4, PE = PD连接 AP,贝U Rt AEP也

13、 Rt ADP ( HL )，贝U AE = AD = 1 AB = AE+BE = 5 6、如图，AB 是 O 的直径，MN 是弦，AEMN 于 E, BF MN 于 F, AB = 10, MN = 8.求BF AE的值.解： AE _ MN , BF _ MN，贝U AE / BF , . A = . B如图，延长EO交BF于点G,贝养 AOE = Z BOG , AO = BO AOE BOG (AAS )，贝U OE= OG过点 O 作 OH _ MN , FG = 2OH , HN = 4连接 ON，贝U ON = 5, OH= .52 42 3，贝U BG- AE = FG =

14、6.圆的培优专题4圆与勾股定理1、如图，O O是厶BCN的外接圆，弦 AC _ BC，点N是AB的中点，.BNC = 60 ,的值解：如图，连接 AB，贝U AB为直径，/ BNA = 90连接AN，则BN = AN，则 ABN是等腰直角三角形- BN = AB ;又 BAC = BNC = 60 ,2BN .6BC = 一(方法2,过点B作BD_CN，即可求解)2、如图，O O 的弦 AC _BD，且 AC = BD，若 AD = 2、2，求O O 半径.解：如图，作直径 AE，连接DE，则/ ADE = 90又 AC _ BD，则乙 ADB + 乙 DAC = Z ADB + 乙 EDB

15、= 90 乙 DAC =匕 EDB，则 CD = BE， DE = BC， AC = BD， AC 二 CD，贝y AD 二 BC 二 DEAD = DEPA ADE是等腰直角三角形AE = .2 AD = 4，即O O的半径为2 3、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，D为CB延长线上一点，且 Z CAD = 45CE _AB 于点 E，DF _AB 于点 F.(1)求证：CE= EF;( 2)若 DF = 2，EF = 4，求 AC.(1)证：T AB 为O O 的直径，/ CAD = 45，则厶ACD是等腰直角三角形，即 AC = DC又 CE _ AB，则.CAE = . EC

16、B如图，过点C作CG垂直DF的延长线于点 G又 CE_AB , DF_AB，则四边形 CEFG 是矩形，乙 AEC = Z DGC = 90 EF = CG, CE / DG，则.ECB = . CDG = . CAE ACE DCG (AAS )，贝U CE = CG = EF(2)略解：AC = CD = , 42 62 =2.13.4、如图，AB为O O的直径，CD_AB于点D, CD交AE于点F, AC二CE .(1)求证：AF = CF;(2)若O O的半径为5, AE = 8,求EF的长(1 )证：如图，延长 CD交O O于点G,连接AC直径 AB _CG，贝y AG = AC =

17、CE / CAE = Z ACG，贝U AF = CF(2)解：如图，连接 OC交AE于点H，贝U OC_AE ,- OH = 5 4 - 3，贝V CH = 5 3= 2设 HF = x，贝y CF = AF = 4 xx)2 , ，即 HF = 32 25、如图，在OO中，直径 CD 弦AB于E, AM _ BC于M，交CD于N，连接 AD.(1)求证：AD = AN ;(2)若 AB = 4 2 , ON = 1，求O O 的半径.(1)证：T CD _ AB , AM _ BC C+ CNM = C + B = 90乙 B = Z CNM ,又 B = D, - AND = CNM匚

18、D = Z AND，即 AD = AN(2)解：直径 CD _ 弦 AB，贝U AE = 2、2又 AN = AD，贝U NE = ED如图，连接 OA，设OE = x，贝U NE = ED = x 1OA = OD = 2x 1 x2 (2 ,2)2 =(2x 1)2，则 x =1O O的半径OA = 3圆的培优专题5圆中两垂直弦的问题1、在O O 中，弦 AB_CD 于 E,求证： AOD + BOC =证：如图，连接AC,/ AB _ CD，则.CAB + . ACD = 90又.AOD = 2 ACD , BOC = 2 BAC乙 AOD + Z BOC = 180 .AC2+ BD2

19、= 4R2.2、在O O中，弦AB _ CD于点E,若O O的半径为 R,求证:证： AB _CD，则.CAB + . ACD = 90如图，作直径 AM，连接CM贝ACM = / ACD + Z DCM = 90乙 CAB =乙 DCM ,BC 二 DMCM 二 BD , CM = BD/ AC2+ CM2 = AM AC 2+ BD2= 4R2 3、在O O中，弦AB CD于点E,若点M为AC的中点，求证 ME BD.证：如图，连接 ME，并延长交BD于点F ME为Rt AEC斜边上的中线C AB _CD，且点M为AC的中点 AM = ME A = / AEM = / BEF又匚B = Z

20、 C,乙A +乙C = 90E BEF + / B = 90 ，即 BFE = 90ME _ BD.14、 在O O中，弦 AB _ CD于点E,若ON _ BD于N,求证：ON = AC.2证：如图，作直径 BF，连接DF,贝U DF _ BD，又 ON _ BD ,ON / FD，又 OB = OFON = DF2连接 AF，贝U AF _ AB，又 CD _ ABAF / CDAC =FD，贝y AC = FD1ON = AC25、 在O O 中，弦 AB CD 于点 E,若 AC = BD , ON BD 于 N , OM AC 于 M.(1)求证：ME/ON ;(2)求证：四边形 O

21、MEN为菱形.证：(1)如图，延长ME交OD于点F OM _ AC，则点M为AC的中点 AB _CD，贝U ME为Rt ACE的斜边上中线AM = EM,乙 A = Z AEM = Z BEF又.B = C, A + C= 90乙 B + Z BEF = 90 ，则/ BFE = 90MF _ BD，又 ON _ BD MF / ON（2）由（1 ）知 MF / ON，同理可证 OM / NE,四边形OMEN是平行四边形/ AC = BD , OM = ON四边形OMEN为菱形.圆的培优专题6圆与内角（外角）平分线圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O O A

22、BC的外接圆，弦 CD平分.ACB , ACB = 90 .求证：CA + CB = . 2 CD.证：如图，在 CA的延长线上截取 AE = BC,连/ CD 平分 ACB , AD = BD又 DAE = DBC , AE = BC DAE DBC ( SAS) CD = DE，又.ACD = 45DE ,是等腰直角三角形，则 CA + CB = CE= . 2 CD.2、如图，O O ABC的外接圆，弦CD 平分.ACB , ACB = 120，求 CA+CB的值O/解：如图，在 CA的延长线上截取 AE = BC,连DE ,/ CD 平分.ACB , AD = BD又 DAE = DB

23、C , AE = BC DAE DBC ( SAS)CD = DE，又.ACD = 60 CDE是等边三角形CD = CE = CA + BC ,即卩 = 13、如图，过O、M（1,1）的动圆O O1交y轴、x轴于点A、B，求 OA + OB 的值.解：如图，过点 M作ME _ y轴，MF _ X轴，连 AM、BM由M (1, 1)知：四边形 OFME是正方形OE = OF = 4, EM = FM，又三 MBF = Z MAE , AEM BFM (AAS )，贝U AE = BF.OA + OB = AE + OE + OF BF = 8.圆中的外角问题往往与线段的差有关4、如图，O O

24、ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角/ ACQ，/ ACB = 90 .求证：(1) PA=PB ; ( 2) AC BC =、2 PC.证：(1)如图，连接 AP，则/ PCQ= / PAB又.PCQ= PCA，则.PAB = PCAPA =PB(2)连接 BP,由(1)得，PA = PB在 AC 上截取 AD = BC ,连 PD，又.PAD = . PBC PADPBC ( SAS)，贝U PD= PC又/ PCD= 45 ，则 PCD是等腰直角三角形,AC BC = CD = 、2 PC.5、如图，O O ABC的外接圆，弦 CP平分 ABC的外角 ACQ , - ACB = 1

25、20 .的值.解：如图，在 BC上截取BD = AC，连AP、BP、DPv Z PCB = Z PCQ = Z PBAAP = BP,又 乙 CAP = DBP CAPDBP (SAS)，贝U CP = DP又.ACB = 120 PCD= 30BC ACPC6、如图，A (4,0) , B(0,4) , O O1经过A、B、O三点，点 这P为OA上动点(异于O、y山PCPOA5求PBP6PA的值.解：如图，在BP上截取BC = AP/ A (4,0) , B(0,4)，贝U OA = OB = 4又.OAP= OBC OAP OBC ( SAS)圆的培优专题7与切线有关的角度计算切线与一个圆

26、 答案：1、70 ； 2、20 ； 3、80 ； 4、120 ； 5、130 ； 6、451、如图，AD切O O于A , BC为直径，若/ ACB = 20，则乙CAD =.2、如图，AP切O O于P, PB过圆心，B在O O上，若.ABP = 35，则.APB =.3、如图，PA、PB为O O的切线，C为ACB上一点，若 乙BCA = 50，则三APB =. OC = OP,且 COP= AOB=90，则4、如图，PA、PB为O O的切线，C为AB上一点,若 / BCA = 150 ，则乙 APB =.5、如图，点 O是厶ABC的内切圆的的圆心，若/ BAC = 80 ，则乙 BOC =.6

27、、如图，PA切O O于A，若PA= AB , PD平分-APB交AB于D,则.ADP =.（设元，列方程）切线与两个圆7、如图，两同心圆的圆心为 O,大圆的弦 AB、AC分别切小圆于D、E,小圆的DE的度数为110 ,则大圆的BC的度数为.第6题第5题第1题第2题第3题第4题8、 如图，O Oi和。2交于A、B两点，且点 Oi在O O2上，若/ D = 110，则/ C =9、 如图，O Oi和O 02外切于 D , AB过点D，若.AO2D = 100 , C为优弧BD上任则乙DCB =.答案：7、140 ; 8、40 ; 9、50 (过点D作两圆的切线)圆的培优专题8与切线有关的长度计算1

28、、 如图，在O O的内接 ACB中，/ ABC = 30 , AC的延长线与过点 D的切线BD交于点 D，若O O 的半径为 1, BD /OC，贝U CD = . ( CD = 丁 )2、 如图 ABC内接于O O , AB = BC ,过点 A的切线与 OC的延长线交于 D, BAC =75 ,CD = I 3，贝y AD = . (AD = 3)3、 如图，O O BCD的外接圆，过点 C的切线交BD的延长线于 A , . ACB = 75 ,-ABC = 45，则 CD 的值为.(CD = . 2 )第1题 第2题 第3题 第4题4、 如图，AB为O O的直径，弦 DC交AB于E，过C

29、作O O的切线交 DB的延长线于 M , 若 AB = 4,三 ADC = 45，乙 M = 75，贝U CD = . ( CD = 2,3 )5、 如图，等边 ABC内接于O O, BD BO O于B, AD BD于D, AD交O O于E,O O的半径为1,贝U AE = . ( AE = 1)6、 如图， ABC中，.C= 90 , BC = 5,0 O与ABC的三边相切于 D、E、F，若O O的半径为2,则厶ABC的周长为.(C= 30)7、 如图， ABC中，乙C= 90 , AC = 12, BC = 16,点 O在AB上，O O与BC相切于D ,连接 AD，贝U BD =.(示：过 D 作 DE _ AB，设 CD = DE = X , BD = 10)(1)求证：DE为O O的切线;O第5题 第6题 第7题解题策略：连半径，有垂直；寻