海淀区初二上期末数学.docx
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海淀区初二上期末数学
2016海淀区初二（上）期末数学
一．选择题（本大题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．x2÷x8=x﹣4B．a•a2=a2C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a3
3．（3分）石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001用科学记数法表示为（ ）
A．1×10﹣6B．10×10﹣7C．0.1×10﹣5D．1×106
4．（3分）在分式
中x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2B．x＜﹣2C．x≠0D．x≠﹣2
5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2
C．x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1）D．x2+y2=（x﹣y）2+2xy
6．（3分）如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是（ ）
A．AD=AEB．DB=AEC．DF=EFD．DB=EC
7．（3分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣5yB．98×102=（100﹣2）（100+2）=9996
C．
D．（3x+1）（x﹣2）=3x2+x﹣2
8．（3分）如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（ ）
A．62B．31C．28D．25
9．（3分）在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处
10．（3分）定义运算
=
，若a≠﹣1，b≠﹣1，则下列等式中不正确的是（ ）
A．
×
=1B．
+
=
C．（
）2=
D．
=1
二．填空题（本大题共24分，每小题3分）
11．（3分）如图△ABC，在图中作出边AB上的高CD．
12．（3分）分解因式：
x2y﹣4xy+4y= ．
13．（3分）写出点M（﹣2，3）关于x轴对称的点N的坐标 ．
14．（3分）如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 ．
15．（3分）计算：
﹣4（a2b﹣1）2÷8ab2= ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC，则∠A= °．
17．（3分）教材中有如下一段文字：
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：
两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“不正确”）
18．（3分）如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB=AC+CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？
小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图2，延长AC到E，使CE=CD，连接DE．由AB=AC+CD，可得AE=AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．
（1）判定△ABD与△AED全等的依据是 ；
（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：
．
三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）
19．（4分）分解因式：
（a﹣4b）（a+b）+3ab．
20．（4分）如图，DE∥BC，点A为DC的中点，点B，A，E共线，求证：
DE=CB．
21．（10分）解下列方程：
（1）
=
；
（2）
﹣1=
．
四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）
22．（4分）已知a+b=2，求（
+
）•
的值．
23．（5分）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：
AD=BE=CF．
24．（5分）列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约 千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米．小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值．
五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）
25．（7分）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有 条对称轴，非正方形的长方形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
26．（7分）钝角三角形ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB=α，∠ABC=β，过点A的直线l交BC边于点D．点E在直线l上，且BC=BE．
（1）若AB=AC，点E在AD延长线上．
①当α=30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，直接写出∠BAE= °，∠BEA= °；
②如图2，若∠BAE=2α，求∠BEA的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图3，若AB＜AC，∠BEA的度数与
（1）中②的结论相同，直接写出∠BAE，α，β满足的数量关系．
附加题：
（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）
27．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？
（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有 条对称轴；
（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？
如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；
（3）通过对
（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：
．
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．
1．【解答】A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；
故选：
D．
2．【解答】A、底数不变指数相减，故A错误；B、底数不变指数相加，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C正确；D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；
故选：
C．
3．【解答】0.000001=1×10﹣6，故选A．
4．【解答】由题意得：
x+2≠0，解得：
x≠﹣2，故选：
D．
5．【解答】A、2a2﹣2a+1=2a（a﹣1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C、x2﹣6x+5=（x﹣5）（x﹣1），是因式分解，故此选项符合题意；D、x2+y2=（x﹣y）2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选C．
6．【解答】∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A正确；
∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=EC，故D正确；
在△BDF和△CEF中
∴△BDF≌△CEF（ASA），
∴DF=EF，故C正确；
故选B．
7．【解答】∵（15x2y﹣5xy2）÷5xy=3x﹣y，
∴选项A不正确；
∵98×102=（100﹣2）（100+2）=9996，
∴选项B正确；
∵
﹣1=﹣
，
∴选项C不正确；
∵（3x+1）（x﹣2）=3x2﹣5x﹣2，
∴选项D不正确．
故选：
B．
8．【解答】如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
故选：
C．
9．【解答】连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，
故选：
A．
10．【解答】A、正确．∵
=
，
=
．
∴
×
=
×
=1．
B、错误．
+
=
+
=
．C、正确．∵（
）2=（
）2=
=
．D、正确．
=
=1．
故选B．
二．填空题（本大题共24分，每小题3分）
11．【解答】如图所示，CD即为所求．
12．【解答】x2y﹣4xy+4y，=y（x2﹣4x+4），=y（x﹣2）2．
13．【解答】∵M（﹣2，3），
∴关于x轴对称的点N的坐标（﹣2，﹣3）．
故答案为：
（﹣2，﹣3）
14．【解答】∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，
∴此题有两种情况：
①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，
②8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为20，
故答案为：
20
15．【解答】原式=﹣4a4b﹣2÷8ab2=﹣2a3b﹣4=﹣
，故答案为：
﹣
16．【解答】∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=2∠A=∠ABC，
设∠A为x，
可得：
x+x+x+2x=180°，
解得：
x=36°，
故答案为：
36
17．【解答】小明的说法正确．
理由：
如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB=DE，AC=DF，∠ACB=∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．
∵∠ACB=∠DFE，
∴∠ACG=∠DFH，
在△ACG和△DFH中，
，
∴△ACG≌△DFH，
∴AG=DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF．
（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．
故答案为正确．
18．【解答】
（1）SAS；
（2）∵△ABD≌△AED，
∴∠B=∠E，
∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E，
∴∠ACB=2∠E，
∴∠ACB=2∠ABC．
故答案为：
SAS，∠ACB=2∠ABC．
三．解答题（本大题共18分，第19题4分，第20题4分，第21题10分）
19．【解答】原式=a2﹣3ab﹣4b2+3ab=a2﹣4b2=（a﹣2b）（a+2b）．
20．【解答】证明：
∵DE∥BC，
∴∠D=∠C，∠E=∠B．
∵点A为DC的中点，
∴DA=CA．
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE≌△ACB．
∴DE=CB．
21．【解答】
（1）去分母得：
5x+2=3x，
解得：
x=﹣1，
经检验x=﹣1是增根，原方程无解；
（2）去分母得：
x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）=x+2，
解得：
x=
，
经检验x=
是分式方程的解．
四．解答题（本大题共14分，第22题4分，第23、24题各5分）
22．【解答】
=
=
=
，当a+b=2时，原式=
．
23．【解答】在等边三角形ABC中，∠A=∠B=60°．
∴∠AFD+∠ADF=120°．
∵△DEF为等边三角形，
∴∠FDE=60°，DF=ED．
∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180°，
∴∠BDE+∠ADF=120°．
∴∠BDE=∠AFD．
在△ADF和△BED中，
，
∴△ADF≌△BED．
∴AD=BE，同理可证：
BE=CF．
∴AD=BE=CF．
24．【解答】这段路长约60×
=3千米；
由题意可得：
．
解方程得：
a=15．
经检验：
a=15满足题意．
答：
a的值是15．
故答案为：
3
五．解答题（本大题共14分，第25、26题各7分）
25．【解答】
（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为：
1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图2所示．
（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．
26．【解答】
（1）①补全图1，如图所示．
∵AB=AC，BD=DC，
∴AE⊥BC，
∴EB=EC，∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠BAE=60°
∵BC=BE，
∴△BCE是等边三角形，∠DEB=∠DEC，
∴∠BEC=60°，∠BEA=30°
故答案为60，30．
②如图2中，延长CA到F，使得BF=BC，则BF=BE=BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠MAB=2α，∵∠BAN=2α，
∴∠BAM=∠BAN，
∴BM=BN，
在Rt△BMF和Rt△BNE中，
，
∴Rt△BMF≌Rt△BNE．
∴∠BEA=∠F，
∵BF=BC，
∴∠F=∠C=α，
∴∠BEA=α．
（2）结论：
∠BAE=α+β．理由如下，
如图3中，连接EC，
∵∠ACD=∠BED=α，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴
=
，
∴
=
，∵∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠BAD=∠DCE，
∠ABD=∠DEC=β，
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠BAE=∠BEC=∠BEA+∠DEC=α+β．
附加题：
（本题最高10分，可计入总分，但全卷总分不超过100分）
27．【解答】
（1）凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴，故答案为：
1，2，3或6；
（2）不可以．
理由如下：
根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．
如图1，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l1，l2，其中l1经过A和CD的中点．
若l2⊥l1，则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；
若l2不垂直于l1，则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．
所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．
（3）对称轴的条数是多边形边数的约数．
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