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容斥原理

牛吃草问题专题训练

　　一、牛吃草问题介绍

　　在著名科学家牛顿写的《算术》一书中，有一道非常有名的题目：

有一片牧场，已知牛27头，6天把草吃尽；牛23头，9天把草吃尽．如果有牛21头，几天能把草吃尽？

后来人们把这道题叫做“牛顿问题”．

　　表面上看，这似乎是归一问题，只要算出一头牛多少天草吃尽就可以了．其实不然，这里有一个很重要的不同：

牧场上的草是不断地生长着的．

　　解决“牛吃草”问题的基本步骤：

　　1．把每头牛每天的吃草量看作一个单位；

　　2．求出牧场上牧草每天生长出来的量为多少（以每头牛每天吃草量为标准）；

　　3．求出原来牧场上牧草的数量是多少（以每头牛每天吃草量为标准）；

　　4．安排固定数量的牛去吃新生长出来的草；

　　5．剩下的牛吃掉牧场上原有的草所需要的时间（即全部牛吃掉牧场上草所需时间）。

　　二、例题精讲

　　例1、牧场上长满牧草。

每天匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．问供25头牛可吃几天？

　　解：

设每头牛每天的吃草量为“1”．

　　10头牛20天吃的草量：

10×20=200

　　15头牛10天吃的草量：

15×1O=150

　　每天新生的草量：

（200-150）÷（20-10）=5

　　原有草量：

200-5×20=100

　　可设想25头牛中有5头牛专吃新生的草，其他的牛吃原有的草，全部牧场的草可吃天数：

100÷（25-5）=5（天）

　　答：

可供25头牛吃5天．

　　说明：

本题的难点在于牧草总量未定，并且随着时间的增长而增长．第一步先求出每天生长量；第二步求出原有草量；第三步设想用几头牛去专吃新生的草；剩下的牛去吃原有的草．所用天数即为所求．

　　例2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内．如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完．如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

　　分析：

前两步与例1的解法相同．最后算出2小时需淘出的水=原有水量+两小时漏进的水量．再除以2小时，即得需要安排的人数．

　　解设每个人每小时的淘水量为“1”．

（1）每小时漏进船的水量：

（5×8-10×3）÷（8-3）=2

（2）船内原有的水量：

10×3=2×3=24

　　（3）安排淘水的人数：

（24+2×2）÷2=14（人）

　　答：

需安排14人淘水．

　　说明：

从以上两个例题可以看出，解决问题的关键在于求出单位时间内增加的量和原有的量．

　　例3、某车站在检票前若干分钟就开始排队，假如每分钟来的旅客人数一样多．若同时开4个检票口，从开始检票到等候检的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，需20分钟．如果同时开7个检票口，那么需多少分钟？

　　分析：

等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”、“检票口”相当于“牛”，可用牛吃草问题的解法解决．

　　解：

设1个检票口1分钟检票的旅客人数为“1”．

（1）每分钟新来旅客：

（4×30-5×20）÷（30-20）=2

（2）检票开始前排队人数：

4×30-2×30=60

　　（3）同时打开7个检票口检完票所需时间：

　　60÷（7-2）=12（分）

　　答：

12分钟就无人排队了．

　　小结牛吃草问题涉及三种数量，原有的草、新长出的草、牛吃的草．牛吃草问题解法上大体分三步．一、求新生草量；二、求有草量；三、给出问题的解．

　　三、专题特训

　　1．一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根进水管不断地往池里放水，平均每分钟进水量相等．如果开放三根排水管，45分钟可把池中水放完．如果开放五根排水管，25分钟可把池中水排完．如果开放八根排水管，几分钟排完水池中的水？

　　2．某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队．检票开始后每分钟有10人前来排队检票．一个检票口每分钟能让25人检票进站．如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队．如果有两个检票口。

那么检票开始后多少分钟就没有人排队？

　　3．某游乐场在开门前400人排队等候。

开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进10个游客．如果开放4个人口，20分钟就没有人排队．现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？

　　4．一个大水坑，每分钟从四周流掉（四壁渗透）一定数量的水．如果用5台水泵，5小时就能抽干水坑的水；如果用10台水泵，3小时就能抽干水坑的水．现在要1小时抽干水坑的水，问要用多少台水泵？

　　5．画展9点开门，但早有人排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开了3个入场口，9点9分就不再有人排队．如果开5个入场口，9点5分就没人排队．问第一个观众到达的时间是8点几分？

　　6．两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底．白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每天爬20分米，另一只爬15分米．黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度都是相同的．结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底．求井深．

　　7．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年或可供80亿人生活300年．假设地球每年新生成的资源是一定的，为了使资源不致减少，地球上最多生活多少人？

　　8．自动扶梯以均匀速度往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上梯．已知男孩每秒钟走3级梯级，女孩每秒钟走2级梯级．结果男孩用了4秒钟到达梯顶，女孩用了5秒钟到达梯顶．问扶梯共有多少级？

　　9．有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长．这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天．现有若干头牛吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完．求原有牛的头数．

　　10．11头牛10天可吃完5公顷草地上的草．12头牛14天可吃完6公顷全部牧草．问8公顷草地可供19头牛吃多少天（假设每块草地每公顷每天牧草长得一样快）？

　　　　　　　　　　　　　　　　答案与解析

参考答案

　　1．45×3=135，5×25=125

　　（135-125）÷（45-25）=0.5（根）

　　135-45×0.5=112.5

　　112.5÷（8-0.5）=15（分）

　　答：

如果开放八根排水管，15分钟排完池中的水．

　　2．8×25-10×8=120（人）

　　120÷（50-10）=3（分）

　　答：

检票开始后3分钟就没有人排队．

　　3．4×20×10=800（个）

　　（800-400）÷20=20（个）

　　100÷（6×10-20）=10（分）

　　答：

开门后10分钟就没有人排队．

　　4．10×3-5×5=5，5÷（5-3）=2.5，

　　2.5×3+3×10=37.5，（37.5-2.5）÷1=35（台）

　　答：

要有35台水泵．

　　5．（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5，3×9-0.5×9=22.5

　　22.5÷0.5=45（分），9：

00—0：

45=8：

15．

　　答：

第一个观众到达的时问是8点15分．

　　6．[（20-15）×5-15+15]×6=150（分米）．

　　答：

井深为150分米．

　　7．[（80×300-100×100）÷（300-100）]÷1=70（亿）

　　答：

最多生活70亿人．

　　8．（3-2）×4×5÷（5-4）=20（级）

　　答：

该扶梯有20级．

　　9．（17×30-19×24）÷（30-24）=9

　　[9×（6+2）+240+4×2]÷8=40（头）

　　答：

原有牛40头．

　　10．11×10÷5=22

　　（12×14÷6-22）÷（14-10）-1.5

　　（22-1.5×10）×8÷（19-1.5×8）=8（天）

　　答：

8公顷草地可供19头牛吃8天．

容斥原理专题训练

　　一、什么是容斥原理？

　　森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：

“我有翅膀，我算鸟类．”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类．狮子大王又派大象去统计兽类的种数，蝙蝠又跑去说：

“我没有羽毛，我应该算兽类．”大象又把蝙蝠算为兽类，统计出森林中共有70种兽类．最后狮子大王问：

森林中共有鸟类和兽类多少种？

狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：

“森林中鸟类与兽类共计150种．”这个统计对吗？

　　大家肯定会说：

“不对，因为在这个统计中，蝙蝠被算了两次．”正确的答案是多少呢？

应该是80+70-1=149种．

　　这个故事反映了一个事实，那就是被称为“容斥原理”的数学原理，很多数学题都与容斥原理有关．

　　二、例题精讲

　　【例1】一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺代表队的有25人，并且每个人都至少参加了一个队，这个班两队都参加的有几个人？

　　分析：

通常可以画一个图帮助思考（如图所示），画两个相交的圆圈，其中一个圆表示体育代表队，另一个圆表示文艺代表队，那么两圆的内部共有42人，而体育代表队的圆中有30人，文艺代表队的圆中有25人，但30+25=55＞42，这是因为两队都参加的人被计算了两次，因此55-42=13，即是两队都参加的人数．

　　解：

（30+25）-42=13．

　　答：

两队都参加的有13个人．

　　【例2】李老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人．

（1）第2题对第l题不对的有几个人？

（2）两题都不对的有几个人？

　　分析：

本题涉及以下几类：

（1）第1题对但第2题不对的人；

（2）第2题对但第l题不对的人：

（3）两题都对的人；（4）两题都不对的人．如图所示，可用一个长方形表示全班的人，其内画两个相交的圆，一个圆表示第l题对的人；另一个圆表示第2题对的人；两圆相交的公共部分表示两题都对的人；长方形内、两圆之外的部分表示两题都不对的人，据此进行计算．

　　解用A表示“第1题对第2题不对的人数”；

　　用B表示“第2题对第1题不对的人数”；

　　用C表示“两题都对的人数”；

　　用D表示“两题都不对的人数”．

　　据题意A+B+C+D=40，

（1）

　　A+C=30．

（2）

　　A+D=12．（3）

　　C=20．（4）

　　比较

（2）、（4），可得A=10，（5）

　　比较（3）、（5），可得D=2，（6）

　　比较

（1）、（4）、（5）、（6），可得B=8．

　　答：

第2题对第1题不对的有8人，两题都不对的有2人．

　　说明“两题至少有1题做对的人数：

第1题做对的人数（+）第2题做对的人数（－）两题都做对的人数．”这通常表示的是简单的容斥原理．

　　【例3】如图所示，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米．求阴影部分的总面积．

　　分析：

注意到三角形ABD、三角形ACD面积的和比所求的阴影部分多算了三角形AED与三角形DOG面积的和，而这两个三角形的面积和可由三角形AFD的面积减去四边形OEFG的面积得到．故得解．

　　解：

三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于AD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米）．

　　阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）-（三角形AFD面积-四边形OEFG面积）

　　=（60+60）-（60-9）

　　=69（平方厘米）

　　说明本题也可以如例2那样先细分再拼起来计算，如图所示分别用几个字母表示各个三角形，则

　　Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=（Ⅰ+m+Ⅱ+Ⅲ+n+p）-（m+n+p）

　　=[（Ⅰ+m）+Ⅱ+（Ⅲ+n）+p]-[（m+n+p+Ⅱ）-Ⅱ]

　　=（30+30+30+9）-（60-30）

　　=99-30=69

　　答：

阴影部分面积和为69平方厘米．

　　三、专题特训

　　1．一个班有学生45人，参加数学兴趣小组有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个组，这个班两组都参加的有多少人？

　　2．有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的运动员有多少人？

　　3．1，2，3，…，99，100这100个自然数中，能被3整除或能被4整除的数共有多少个？

　　4．如图所示，四个圆两两相交，它们把四个圆分成13个区域，如果在这些区域中分别填上1～13这13个数，然后把各圆中的数各自相加，最后把这四个圆的和相加得总和，那么总和最小可能是多少？

　　5．某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？

　　6．60名同学，参加乒乓球赛的40人，参加足球赛的45人，参加篮球赛的48人，已知三项都参加的22人，问至多有几个人三项都未参加？

　　7．参加大型团体操的同学共240名，他们面对教练站成一排，自左至右按1，2，3，4，…依次报数，教练让每个同学记住自己报的数并做以下动作：

先让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是5的倍数的学生向后转，最后让报数是7的倍数的学生向后转，问此时还有多少学生面对教练？

　　8．4枚棋子放在4×4方格中，要求每行每列都放一个且只放一个．同时不允许放在有斜线的方格内，问有多少种放法（如图所示）？

　　9．200盏变色灯，编为1至200号，每个灯都由一个开关控制，如果某灯扳动开关一次灯变黄色，再扳动开关一次，灯变绿色，再扳动开关灯又变红，如此循环变色，开始时，灯全部为红，现把所有编号为2的倍数的灯的开关扳动一次，再把编号为3的倍数的开关扳动一次，再把编号为5的倍数的开关扳动一次，求此时共有多少盏灯为黄色？

　　10.在1，2，3，…，1998这1998个数中，既不能被8整除，又不能被12整除的数共有多少个？

　　　　　　　　　　　　　　　　答案与解析

参考答案

　　1．30+22-45=7（人）

　　2．25+20-（40-10）=15（人）

　　3．能被3整除的数有[

]=33个，能被4整除的数有[

]=25个，能被12整除的数有[

]=8个，

　　∴33+25-8=50个．

　　4．1×4+（2+3+4+5）×3+（6+7+8+9）×2+10+11+12+13=152．

　　5．男生共120+80-75=125名，女生共260-125=135名．

　　女生两门竞赛都参加的有120+80-135=65名．

　　只参加数学竞赛而未参加语文竞赛的女生共计有80-65=15名．

　　6．4人.解：

如图1所示，

　　∴a+b+c+d+e+f+（b+c+d）=67

　　∴a+b+c+d+e+f+22=67-（b+c+d）+22=89-（b+c+d）

　　设有x人三项都未参加，则60-x=89-（b+c+d）

　　∴x=（b+c+d）-29

　　但b+c≤18，b+d≤23，d+c≤26．

　　∴2（b+c+d）≤67b+c+d≤33.5

　　即b+c+d≤33．

　　于是x≤33-29=4，即至多4人三项都未参加．

　　实际上，取a=e=0，f=1，b=8，c=10，d=15，可得4人三项均未参加．

　　7．如图2所示：

　　报3的倍数的人数=80名

　　报5的倍数的人数=48名

　　报7的倍数的人数=34名

　　报15的倍数的人数=16名

　　报21的倍数的人数=11名

　　报35的倍数的人数=6名

　　报105的倍数的人数=2名

　　∴共有240-（80+48+34）+2（16+11+6）-4×2=136名同学面向教练．

　　8．没有限制的放法共4×3×2×1=24种．

　　有一个放入斜线格后，有3×2×1=6种；

　　有二个放入斜线格后，有2×1=2种；

　　有三个放入斜线格后，有1种；

　　有四个放入斜线格后，1种；

　　∴24-6×4+2×6-1×4+1=9种．

　　又解第一行有3种放法，第一行放好后，第二行或第三、第四行仍有3种放法，前两行放好后，第三、四行只有1种放法，故得3×3=9种放法．

　　9．扳动过1次开关的灯是黄色，扳动过2次开关的灯是绿色，扳动过3次及没有扳动过开关的灯是红色．1～200的数中，2的倍数共100个，3的倍数共66个，5的倍数共40个，6的倍数共33个，10的倍数共20个，15的倍数共13个，30的倍数共6个．由图3可知，黄灯共53+26+13=92盏．

　　10.∵1998÷8=249.75即在这1998个数中有249个数能被8整除（小数后的数位可以不算出来）．

　　又∵1998÷12=166.5，即在这1998个数中有166个数能被12整除．

　　又∵8与12的最小公倍数为24，而1998÷24=83.25。

故在这1998个数中，能被24整除的数有83个．

　　∴在这1998个数中，能被8或12整除的数共有249+166-83=332（个）．

　　∴在这1998个数中，有1998-332=1666个数既不能被8整除又不能被12整除．

　　答：

这样的数共1666个．

容斥原理专题训练（集合）

　　一、知识梳理

　　集合定义：

把具有某种性质的同类事物放在一起组成的整体叫集合。

每个事物就叫集合的元素。

通常用A、B、C、…表示集合。

集合所含元素的个数常用|A|、|B|、|C|…示。

　　例如：

A={2，4，6，8}|A|=4

　　把属于A或属于B的所有元素组成的集合叫A与B的并集。

记作：

A∪B,读作：

“A并B”。

　　把属于A且属于B的所有元素组成的集合叫A与B的交集。

记作：

A∩B，读作：

“A交B”。

　　容斥原理：

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

　　两个集合的容斥关系公式：

A∪B＝A+B－A∩B

　　三个集合的容斥关系公式：

A∪B∪C＝A+B+C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

　　二、例题精讲

　　例1已知A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}。

求A∩B，A∪B，|A∪B|，|A∩B|。

　　解：

集合A中有5个元素，集合B中有5个元素，应用集合的定义，可求：

　　　　A∩B={4，5}

　　　　A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}

　　　　|A∪B|=8

　　　　|A∩B|=2

　　例2一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

　　分析：

依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

　　解：

15+12-4=23

　　例3在1至100的自然数中是5的倍数或6的倍数的数有多少个？

　　分析：

依题意，先找出100以内5和6的倍数的个数，再减去100以内5和6的公倍数的个数，5和6的最小公倍数是30。

　　解：

5的倍数有：

[100÷5]=20

　　　　6的倍数有：

[100÷6]=16

　　　　30的倍数有：

[100÷30]=3

　　　　5的倍数或6的倍数有：

20+16-3=33（个）

　　三、专题特训

　　1、某班有50人，会游泳的有27人，会体操的有18人，都不会的有15人。

问既会游泳又会体操的有多少人？

　　2、运动会共有58面金牌，目前甲队已得10面，乙队已得11面，丙队已得13面。

如果甲想稳获金牌数第一，那么甲至少还要得多少金牌？

　　3、一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，求两种都参加的有多少人？

　　4、下图是在一个正方形形内做了两个扇形，如果正方形的边长是a，求阴影部分的面积。

　　5、一次数学考试满分100分，有6位同学的平均分是91，这六位同学得分各不相同，其中有一位同学得65分，那么得分排在第三的同学至少得多少分？

　　6、儿童节，全班50人到游乐场玩，有35人坐了海盗船，27人坐了过山车，6名同学因身体缘故，只玩了其它游戏。

问既坐了海盗船又坐了过山车的同学有多少人？

　　7、电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。

两个频道都没看过的有多少人？

　　8、某校六

（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：

三项都参加的有多少人？

　　9、在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。

问：

共有几个小朋友去了冷饮店？

　　10、有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。

如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？

参考答案

　　1、解：

参加游泳或体操的：

50-15=35（人）

　　　　　既会游泳又会体操的：

27+18-35=10（人）

　　　答：

既会游泳又会体操的有10人。

　　2、解：

58-10-11-13=24（面）

　　　　　甲10面，乙11面，丙13面。

　　　　　甲先超丙需要再获4面，即甲14面。

　　　　　剩余的24-4=20中甲至少获一半确保第一，结果甲至少再获4+10=14面。

　　3、解：

参加合唱或能加美术的：

42－5＝37（人）

　　　　　两种都参加的：

30＋25－37＝18（人）。

　　4、解：

两个扇形面积和减去一个正方形面积

5、解：

列表，

　　　　　91×6-100-99-65=282，282÷3=94

　　　　　所以第三至少得95分。

　　6、解：

坐海盗船或过山车的:

50-6=44（人）

　　　　　坐海盗船又坐过山车的:

35+27-44=18（人）

　　　　　答:

坐了海盗船又坐了过山车的同学有18人。

　　7、解：

看过2频道或8频道的62+34-11＝85（人）

　　　　　两个频道都没看过的100-85=15（人）

　　8、分析：

参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数12人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的