北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.docx

北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.docx

《北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练

18.设函数f（x）在（-∞,+∞）内可导,且a,b是方程f（x）=0的两个实根.证明方程f（x）+f'（x）=0在（a,b）内至少有一个实根.

证设g（x）=ef（x）,g（a）=g（b）=0,g在[a,b]连续,在（a,b）可导）,.

x

根据Rolle定理,存在c∈（a,b）,使得g'（x）=e（f（x）+f'（x））=0,即f（x）+f'（x）=0.

x

19.决定常数A的范围,使方程3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.解P（x）=3x-8x-6x+24x,P'（x）=12x-24x-12x+24

=12（x-2x-x+2）=12[x（x-2）-（x-2）]=12（x-2）（x-1）=12（x-2）（x-1）（x+1）=0,.

x1=-1,x2=1,x3=2.P（x1）=-19,P

（1）=13,P

（2）=8.

根据这些数据画图，由图易知当在区间（-P

（1）,-P

（2））=（-13,-8）时3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.

4

3

2

3

2

2

2

4

3

2

3

2

432

20.设f（x）=1-x+

x

2

2

-

x

3

3

++（-1）

n

x

n

n

.证明:

方程f（x）=0当n为奇数时有一个

实根,当n为偶数时无实根.

证当x≤0时f（x）>0,故f只有正根,当n=2k-1为奇数时,limf（x）=+∞,

x→-∞

limf（x）=-∞,存在a,b,a0,f（b）<0.

x→+∞

根据连续函数的中间值定理,存在x0∈（a,b）,使得f（x0）=0.f'（x）=-1+x-x+-x实根唯一.

当n=2k为偶数时,f'（x）=-1+x-x++x

2

2k-1

2

2k-2

=

x

2k-1

+1

-x-1

<0（x>0）,当x>0时,f严格单调递减,故

=

-x

2k

+1

-x-1

=0,x=1.

01,f'（x）>0,f

（1）是x>0时的最小值,f

（1）>0,故当n为偶数时f（x）无实根.

21.设函数u（x）与v（x）以及它们的导函数u'（x）与v'（x）在区间[a,b]上都连续,且uv'-u'v在[a,b]上恒不等于零.证明u（x）在v（x）的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u（x）与v（x）的根互相交错地出现.试句举处满足上述条件的u（x）与

v（x）.

证设x1,x2是u（x）的在[a,b]的两个根,x1

u'v-uv'v

uv

在[a,b]连续,w（x1）=w（x2）=0,由Rolle定理,存在c∈[x1,x2],使得

（c）=0,即（u'v-uv'）（c）=0,此与u'v-uv'恒不等于零的假设矛盾.故v（x）

在[x1,x2]上有根.

例如u=cos（x）,v=sinx,u'v-uv'=-1≠0,sinxcosx的根交错出

现.

22.证明:

当x>0时函数f（x）=

arctanxtanhx

单调'递增,且arctanx<

π

（tanhx）.

tanhxarctanx

-2'22sinhxcoshx-（1+x）arctanx⎛arctanx⎫证f'（x）==⎪=2222

tanhxtanhx（1+x）tanhxcoshx⎝⎭1=sinh2x-（1+x）arctanx（1+x）tanhxcoshx

=

g（x）

（1+x）tanhxcoshx

.

g（0）=0.

g'（x）=cosh2x-1-2xarctanx,g'（0）=0,g''（x）=2sinh2x-2arctanx-g'''（x）=4cosh2x-

41+x

2x1+x

g''（0）=0,

21+x+

22

-2⨯

（1+x）-2x（1+x）

=4cosh2x-

21+x

-

2（1-x）1+x

=4cosh2x-

4x

1+x

>0（当x>0时coshx>1）,

由Taylor公式,对于x>0有g（x）=

g（θx）3!

3

x>0,f'（x）>0,f严格单调递增.

<

limf（x）=lim

x→+∞

x→+∞

arctanxtanhx

=

π

故对于x>0有

arctanxtanhx

π

.

23.证明:

当0

2时有2xsinx

22f'（x）=cosxtanx+sinxsecx-2x=sinx+sinxsecx-2x,

22f''（x）=cosx+secx+2sinxsecxtanx-2=（cosx+secx-2）+2sinxsecx-2>0

（cosx+secx=cosx+1

cosx≥2,x∈（0,π/2））.

f（0）=f'（0）=0,根据Taylor公式,

f（x）=f''（θx）

2x>0,sinxtanx-x>0,22x

sinx

x（x∈（0,π/2））.

24.证明下列不等式:

（1）e>1+x,x≠0.

（2）x-

（3）x-xx2x230.

0.

eθx6

x证

（1）e=1+x+

（2）ln（1+x）=x-

x22x>1+x,x≠0.1x0.x222（1+θx）

+12ln（1+x）=x-23（1+θx）3x>x-32,x>0.

（3）f（x）=x-sinx,f（0）=0,f'（x）=1-cosx≥0,仅当x=2nπ时f'（x）=0,故当x>0时f严格单调递增,f（x）>f（0）=0,x>0.

⎛x⎫g（x）=sinx-x-⎪,6⎭⎝

⎛x⎫g'（x）=cosx-1-⎪,g''（x）=-sinx+x>0,x>0.g当x>0时2⎝⎭

严格单调递增,g（x）>g（0）=0,x>0.

25.设xn=（1+q）（1+q）（1+q）,其中常数q∈[0,1）.证明序列xn有极限.

nn2n23

证xn单调递增.lnxn=

q

lnxn∑i=1ln（1+q）

︒xn=e

22224解f'（x）=secx,f''（x）=2secxtanx,f'''（x）=4secxtanx+2secx.

f（π

4）=1,f'（π

4）=2,f''（π

4）=4,f'''（π

4）=16.

⎛⎛π⎫π⎫8⎛π⎫π⎫⎫⎛⎛

f（x）=1+2x-⎪+2x-⎪+x-⎪+ox-⎪⎪.

⎝4⎭4⎭3⎝4⎭4⎭⎪⎝⎝⎝⎭

233

π⎫π8⎛π⎫⎛π⎛π⎫︒

tan（50）=tan+≈1+2⨯+2+⎪⎪⎪≈1.191536480.

4363636336⎝⎭⎝⎭⎝⎭

27.设00上凸,（1+a）（1+a+b）

ln（1+a）+

（1+b）（1+a+b）

ln（1+b）11+x

f''（x）=-

1（1+x）

2

23

<0,

⎛（1+a）a（1+b）b⎫

（1+a+b）（1+a+b）⎭⎝

⎛（1+a+b）a（1+a+b）b⎫

（1+a+b）（1+a+b）⎭⎝

28.设有三个常数a,b,c,满足

a

0

3

2

114

证考虑多项式f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）=x-2x+x-abc.

2

f'（x）=3x-4x+1=（3x-1）（x-1）=0,x1=

13

x2=1.13

当x<

13

或x>1时f'（x）>0,f严格单调递增,当

如果f（0）=f

（1）=-abc≥0,f将至多有两个

144

实根.如果f（）=f（）=-abc≤0,f也将至多有两个

3327

144

根（见附图）.而f实际有根a,b,c.故f（0）=f

（1）=-abc<0,并且f（）=f（）=-abc>0.

3327考虑到严格单调性,于是f

114

在（0,）,（,1）,（1,）各有一实根,正是a,b,c,故结论成立.

333

29.设函数f（x）的二阶导数f''（x）在[a,b]上连续,且对于每一点x∈[a,b],f''（x）与f（x）同号.证明:

若有两点c,d∈[a,b],使f（c）=f（d）=0,则f（x）≡0,x∈[c,d].

2

证由于f''（x）与f（x）同号,（f（x）f'（x））'=f'（x）+f（x）f''（x）≥0,g（x）=f（x）f'（x）单调,2

g（c）=g（d）=0,故f（x）f'（x）≡0,x∈[c,d].（f（x））'=2f（x）f'（x）≡0,x∈[c,d].

f（x）≡C,x∈[c,d].f（c）=0,故f（x）≡0,x∈[c,d],即f（x）≡0,x∈[c,d].30.求多项式P3（x）=2x-7x+13x-9在x=1处的Taylor公式.解P3'（x）=6x-14x+13,P3''（x）=12x-14,P3'''（x）=12.

2

3

2

222

P3

（1）=-1,P3'

（1）=5,P3''

（1）=-2,P3'''

（1）=12.P3（x）=-1+5（x-1）-（x-1）+2（x-1）.31.设Pn（x）是一个n次多项式.

（1）证明:

Pn（x）在任一点x0处的Taylor公式为Pn（x）=Pn（x0）+Pn'（x0）++

1n!

Pn

（n）

2

3

（x0）.

（a）≥0（k=1,2,n）.证明Pn（x）的所有实根都不

（2）若存在一个数a,使Pn（a）>0,Pn超过a.

证

（1）Pn（x）是一个n次多项式.

（k）

（1）证明:

因为Pn（x）是一个n次多项式,Pn根据带Lagrange余项的Taylor公式Pn（x）=Pn（x0）+Pn'（x0）（x-x0）++=Pn（x0）+Pn'（x0）（x-x0）++

1n!

Pn

1n!

（n+1）

（x）≡0,x∈（-∞,+∞）.故在任一点x0处,

Pn

（n）

（x0）（x-x0）+

n

n

1（n+1）!

Pn

（n+1）

（c）（x-x0）

n+1

（n）

（x0）（x-x0）.1n!

Pn

（n）

n

（2）Pn（x）=Pn（a）+Pn'（a）（x-a）++故Pn（x）的所有实根都小于a.

（a）（x-a）≥Pn（a）>0（x≥a）,

32.设函数f（x）在（0,+∞）上有二阶导数,又知对于一切x>0,有|f（x）|≤A,|f''（x）|≤B其中A,B为常数.证明:

|f'（x）|≤证任意取x∈（0,+∞）,h>0.f（x+h）=f（x）+f'（x）h+f'（x）=1

h（f（+h）-f（x））-

2A

h

B

2+B2h（*）.f''（c）2h.x∈（0,+∞）.h,2f''（c）2|f'（x）|≤2Ah当=h时（*）右端取最小值

.在（*）中取h=即得|f'（x）|≤