北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练.docx

1、北大版高等数学第四章 微分中值定理与泰勒公式答案 第四章总练18.设函数f(x)在(-,+)内可导,且a,b是方程f(x)=0的两个实根.证明方程f(x)+f(x)=0在(a,b)内至少有一个实根.证设 g(x)=ef(x),g(a)=g(b)=0,g在 a,b连续, 在(a,b)可导),.x根据Rolle定理, 存在 c(a,b),使得g(x)=e(f(x)+f(x)=0,即f(x)+f(x)=0.x19.决定常数A的范围,使方程3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.解P(x)=3x-8x-6x+24x,P(x)=12x-24x-12x+24=12(x-2x-x+2)=12x(x-

2、2)-(x-2)=12(x-2)(x-1)=12(x-2)(x-1)(x+1)=0,.x1=-1,x2=1,x3=2.P(x1)=-19,P(1)=13,P(2)=8.根据这些数据画图，由图易知当在区间(-P(1),-P(2)=(-13,-8)时3x-8x-6x+24x+A有四个不相等的实根.43232224323243220.设f(x)=1-x+x22-x33+ +(-1)nxnn.证明:方程f(x)=0当n为奇数时有一个实根,当n为偶数时无实根.证当x0时f(x)0,故f 只有正根,当n=2k-1为奇数时,limf(x)=+,x-limf(x)=-,存在a,b,a0,f(b)0.x+根据连

3、续函数的中间值定理,存在x0(a,b),使得f(x0)=0. f(x)=-1+x-x+ -x实根唯一.当n=2k为偶数时,f(x)=-1+x-x+ +x22k-122k-2=x2k-1+1-x-10),当x0时,f严格单调递减,故=-x2k+1-x-1=0,x=1.0x1,f(x)1,f(x)0,f(1)是x0时的最小值,f(1)0,故当n为偶数时f(x)无实根.21.设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u(x)与v(x)在区间a,b上都连续,且uv-uv在a,b上恒不等于零.证明u(x)在v(x)的相邻根之间必有一根,反之也对.即有u(x)与v(x)的根互相交错地出现.试句举处满足上述条

4、件的u(x)与v(x).证设x1,x2是u(x)的在a,b的两个根,x10时函数f(x)=arctanxtanhx单调递增,且arctanx0(当x0时coshx1),由Taylor公式,对于x0有g(x)=g(x)3!3x0,f(x)0,f严格单调递增.0有arctanxtanhx.23.证明:当0x2时有2xsinx0(cosx+secx=cosx+1cosx2,x(0,/2).f(0)=f(0)=0,根据Taylor公式,f(x)=f(x)2x0,sinxtanx-x0,22xsinx1+x,x0.(2)x-(3)x-xx2x230.sinx0.ex6x证(1)e=1+x+(2)ln(1

5、+x)=x-x22x1+x,x0.1x0.x222(1+x)+12ln(1+x)=x-23(1+x)3xx-32,x0.(3)f(x)=x-sinx,f(0)=0,f(x)=1-cosx0,仅当x=2n时f(x)=0,故当x0时f严格单调递增,f(x)f(0)=0,x0.xg(x)=sinx- x-,6xg(x)=cosx- 1-,g(x)=-sinx+x0,x0.g当x0时2严格单调递增,g(x)g(0)=0,x0.25.设xn=(1+q)(1+q) (1+q),其中常数q0,1).证明序列xn有极限.nn2n23证xn单调递增.lnxn=qlnxni=1ln(1+q)ii=1q=iq-qn

6、+11-qq1-q, .xn有上界.故xn有极限.xn=ee1-q26.求函数f(x)=tanx在x=/4处的三阶Taylor多项式,并由此估计tan(50)的值.22224解f(x)=secx,f(x)=2secxtanx,f(x)=4secxtanx+2secx.f(4)=1,f(4)=2,f(4)=4,f(4)=16.8f(x)=1+2 x-+2 x-+ x-+o x-.443442338tan(50)=tan +1+2+2+ 1.191536480.436363633627.设0ab,证明(1+a)ln(1+a)+(1+b)ln(1+b)0上凸,(1+a)(1+a+b)ln(1+a)+

7、(1+b)(1+a+b)ln(1+b)11+x,f(x)=-1(1+x)2230,(1+a)a(1+b)bln 1+(1+a+b)(1+a+b)(1+a+b)a(1+a+b)bln 1+=ln(1+a+b).(1+a+b)(1+a+b)28.设有三个常数a,b,c,满足abc,a+b+c=2,ab+bc+ca=1.证明：0a32114,b1,1c.333证考虑多项式f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x-2x+x-abc.2f(x)=3x-4x+1=(3x-1)(x-1)=0,x1=13,x2=1.13x11时f(x)0,f严格单调递减.当x1时f(x)0,f严格单调递增,当如果f(0)

8、=f(1)=-abc0,f将至多有两个144实根.如果f()=f()=-abc0,f也将至多有两个3327144根(见附图).而f实际有根a,b,c.故f(0)=f(1)=-abc0.3327考虑到严格单调性,于是f114在(0,),(,1),(1,)各有一实根,正是a,b,c,故结论成立.33329.设函数f(x)的二阶导数f(x)在a,b上连续,且对于每一点xa,b,f(x)与f(x)同号.证明:若有两点c,da,b,使f(c)=f(d)=0,则f(x)0,xc,d.2证由于f(x)与f(x)同号,(f(x)f(x)=f(x)+f(x)f(x)0,g(x)=f(x)f(x)单调, 2g(c

9、)=g(d)=0,故f(x)f(x)0,xc,d.(f(x)=2f(x)f(x)0,xc,d.f(x)C,xc,d.f(c)=0,故f(x)0,xc,d,即f(x)0,xc,d.30.求多项式P3(x)=2x-7x+13x-9在x=1处的Taylor公式.解P3(x)=6x-14x+13,P3(x)=12x-14,P3(x)=12.232222P3(1)=-1,P3(1)=5,P3(1)=-2,P3(1)=12.P3(x)=-1+5(x-1)-(x-1)+2(x-1).31.设Pn(x)是一个n次多项式.(1)证明:Pn(x)在任一点x0处的Taylor公式为Pn(x)=Pn(x0)+Pn(x

10、0)+ +1n!Pn(n)23(x0).(a)0(k=1,2, n).证明Pn(x)的所有实根都不(2)若存在一个数a,使Pn(a)0,Pn超过a.证(1)Pn(x)是一个n次多项式.(k)(1)证明:因为Pn(x)是一个n次多项式,Pn根据带Lagrange余项的Taylor公式Pn(x)=Pn(x0)+Pn(x0)(x-x0)+ +=Pn(x0)+Pn(x0)(x-x0)+ +1n!Pn1n!(n+1)(x)0,x(-,+).故在任一点x0处,Pn(n)(x0)(x-x0)+nn1(n+1)!Pn(n+1)(c)(x-x0)n+1(n)(x0)(x-x0).1n!Pn(n)n(2)Pn(x)=Pn(a)+Pn(a)(x-a)+ +故Pn(x)的所有实根都小于a.(a)(x-a)Pn(a)0(xa),32.设函数f(x)在(0,+)上有二阶导数,又知对于一切x0,有|f(x)|A,|f(x)|B其中A,B为常数.证明:|f(x)|证任意取x(0,+),h0.f(x+h)=f(x)+f(x)h+f(x)=1h(f(+h)-f(x)-2AhB2+B2h(*).f(c)2h.x(0,+).h,2f(c)2 |f(x)|2Ah当=h时(*)右端取最小值.在(*)中取h=即得|f(x)|