《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析.docx

《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析.docx

《《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析.docx（53页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析

第四章微分中值定理和导数的应用

[单选题]

1、

曲线

的渐近线为（　）。

A、仅有铅直渐近线 

B、仅有水平渐近线 

C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 

D、无渐近线 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

本题考察渐近线计算.

因为

，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]

2、

在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（　）

A、4 

B、2 

C、3 

D、1 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】

，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1.

[单选题]

3、

，则

待定型的类型是（　）.

A、

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】

由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln（1-x）趋于无穷，所以是

型.

[单选题]

4、

下列极限不能使用洛必达法则的是（　）.

A、

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.

[单选题]

5、

在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（　）.

A、1 

B、2 

C、e 

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题]

6、

如果在

内

，且

在

连续，则在

上（　）.

A、

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

在

内

，说明

为单调递增函数，由于

在

连续，所以在

上f（a）＜f（x）＜f（b）.

[单选题]

7、

的单调增加区间是（　）.

A、（0，+∞） 

B、（-1，+∞） 

C、（-∞，+∞） 

D、（1，+∞）

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】

若求单调增加区间就是求

的区间，也就是2x-2>0，从而x>1.

[单选题]

8、

（　）.

A、-1 

B、0 

C、1 

D、∞ 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

[单选题]

9、

设

，则

（　）.

A、是

的最大值或最小值

B、是

的极值

C、不是

的极值

D、可能是

的极值

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】

由

，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D.

[单选题]

10、

的凹区间是（　）.

A、（0，+∞） 

B、（-1，+∞） 

C、（-∞，+∞） 

D、（1，+∞）

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

若求凹区间则就是求

的区间，即6x+6>0，即x>-1.

[单选题]

11、

的水平渐近线是（　）.

A、x=1，x=-2 

B、x=-1

C、y=2 

D、y=-1

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.

[单选题]

12、

设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为

，则P=4时的边际需求为（　）.

A、-8 

B、7 

C、8 

D、-7 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】

，

当P=4时，Q=-8.

[单选题]

13、

设某商品的需求函数为

，其中

表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性

（　）.

A、

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

由弹性定义可知，

[单选题]

14、

设函数

在a处可导，

，则

（　）.

A、

B、5

C、2

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】

因为f（x）可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.

所以

[单选题]

15、

已知函数

（其中a为常数）在点

处取得极值，则a=（　）.

A、1 

B、2 

C、0 

D、3 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

在点

处取得极值，

[单选题]

16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？

（　）.

A、9.5 

B、9 

C、8.5 

D、7 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】

设销量为Q，则Q=120+20（10-P）·2=520-40P

利润

此时即取得最大值.

[单选题]

17、若在（a,b）上

，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（　）

A、增加且凹的 

B、减少且凹的 

C、增加且凸的 

D、减少且凸的 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

[单选题]

18、

求极限

=（ ）.

A、2 

B、

C、0 

D、1 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

[单选题]

19、

函数

在区间

上的极大值点

=（ ）.

A、0 

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

令

，

当

时，

当

时，

当

时，函数有极大值.

[单选题]

20、

设某商品的供给函数为

，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性

（ ）.

A、

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

[单选题]

21、

某产品产量为q时总成本C（q）=1100+

，则q=1200时的边际成本为（　）

A、0 

B、

C、1 

D、2 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

，q=1200时的边际成本为2.

[单选题]

22、

已知函数f（x）=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=（　）

A、0 

B、1 

C、2 

D、3 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

，

得到a=1.

[单选题]

23、

极限

=（　）

A、-

B、0 

C、

D、1 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，

.

[单选题]

24、曲线y＝x3的拐点为（　）．

A、（0，0） 

B、（0，1） 

C、（1，0） 

D、（1，1） 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】

y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．

参见教材P108～109．（2015年4月真题）

[单选题]

25、曲线

的水平渐近线为（　）．

A、y＝0 

B、y＝1 

C、y＝2 

D、y＝3 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

因为

，所以直线y＝1为曲线

的水平渐近线．

参见教材P110～111．（2015年4月真题）

[单选题]

26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（　）．

A、（－∞，－1） 

B、（－1，1） 

C、（1，＋∞） 

D、（－∞，＋∞） 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

y＇＝3x2－3

y＇＝0时，x＝±1．

在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；

在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；

在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．

因此选B．

参见教材P100～101．（2015年4月真题）

[单选题]

27、已知函数

（其中a为常数）在

处取得极值，则a＝（　）．

A、0 

B、1 

C、2 

D、3

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】

∵ 在

处，取得极值点，

∴ 

解得a＝0．

参见教材P102～104。

（2014年4月真题）

[单选题]

28、设函数

，则下列结论正确的是（　）．

A、f（x）在（0，＋∞）内单调减少 

B、f（x）在（0，e）内单调减少 

C、f（x）在（0，＋∞）内单调增加 

D、f（x）在（0，e）内单调增加

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】

解得x＝e，

当0＜x＜e时，y＇＞0

∴ f（x）在（0，e）内单调增加，选择D．

参见教材P100～101。

（2014年4月真题）

[单选题]

29、曲线

的水平渐近线为（　）．

A、y＝1 

B、y＝3 

C、x＝1 

D、x＝3

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

因此选择B．

参见教材P110～111。

（2014年10月真题）

[单选题]

30、设函数f（x）可导，且

＝0，则x0一定是函数的（　）．

A、极大值点 

B、极小值点 

C、驻点 

D、拐点  

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

本题考查驻点的定义，

驻点：

函数的一阶导数为0的点．

因此选择C．

参见教材P102～104。

（2014年10月真题）

[单选题]

31、下列函数在区间（-∞，+∞）上单调减少的是（　）。

A、

B、

C、

D、

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】A

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

为指数函数，它在（-∞，+∞）上是单调递减的，故A正确，B、C、D在整个R上是非单调函数。

参见教材P100。

[单选题]

32、已知

是函数

的驻点，则常数

（　）。

A、-3 

B、-2 

C、-1 

D、0 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】 因为

是函数

的驻点，因此

，而

，代入可得a=-1。

参见教材P92。

[单选题]

33、

设函数

可导，且

，则

在

处（　）.

A、一定有极大值    

B、一定有极小值    

C、不一定有极值     

D、一定没有极值 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】C

【您的答案】您未答题

【答案解析】

导数为零不一定是极值点，还需要判断两侧导数的正负，故本题选C。

参见教材P102。

[单选题]

34、

曲线

的拐点为（　）.  

A、（0，1） 

B、（1，0） 

C、（0，2） 

D、（2，0） 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】

得

，代入

所以在（1，0）处二阶导数为0，二阶导数在（1，0）两端符号相反，所以（1，0）是曲线的拐点。

参见教材P107。

[单选题]

35、曲线

的铅直渐近线为（　）.

A、x=-1 

B、x=1 

C、y=-1 

D、y=1 

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】B

【您的答案】您未答题

【答案解析】x-1=0，解得x=1。

[单选题]

36、函数

的单调减少区间为（　）.

A、（－∞，－1） 

B、（5，+∞） 

C、（－∞，－1）与（5，+∞） 

D、（－1，5）

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】D

【您的答案】您未答题

【答案解析】 

，得到－1＜x＜5.参见教材P100。

[解答题]

37、

函数

在区间［0，1］上满足拉格朗日中值定理的中值

=_________．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

【答案解析】

在区间［0，1］上，由拉格朗日中值定理可得：

，

即

[解答题]

38、

函数

在区间［-1,1］上的最小值为_________．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

【答案解析】

，在［-1,1］上，

故

单调递减，故

.

[解答题]

39、

求曲线

的凹凸区间及拐点．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

，

，

令

，

所以上凸区间为

；

上凹区间为

；

拐点为

【您的答案】您未答题

[解答题]

40、

证明当x>0时，

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

令

，

所以

，当x>0时

为单增函数，

所以当x>0时，有

即

【您的答案】您未答题

[解答题]

41、

求极限

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

42、

求

的单调区间，极值，凹凸区间，拐点

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

43、

某厂生产某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品，成本增加10万元。

该产品产产销平衡且产品需求函数为x=1000-50P（x产量，P为价格）。

该厂生产多少单位产品所获利润最大？

最大利润是多少？

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】设生产x个单位产品的利润为L，成本为C，收益为R，则

【您的答案】您未答题

[解答题]

44、

证明：

方程

在区间[0，1]上不可能有两个不同的根.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

45、设某商品的市场需求函数为

，则需求价格弹性函数为.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】需求价格弹性函数为

.

【您的答案】您未答题

[解答题]

46、求极限

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

47、

求函数

的极值.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

令

，

当x=0或x=2时，

不存在,

且

所以极大值为

【您的答案】您未答题

[解答题]

48、

证明不等式：

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

设

，

所以

（x>0）单调递增，

【您的答案】您未答题

[解答题]

49、设产品的利润函数是L（x），求生产x0个单位产品的边际利润.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】生产x个单位产品的边际利润为

，故生产x0个单位的边际利润为

.

【您的答案】您未答题

[解答题]

50、加工一个容积v=16π（米3）的有盖圆柱形容器，求它的高h和半径r分别是多少米时，可使容器的表面积最小.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

∴驻点是r=2,这时h=4

∴只有一个驻点，这个驻点是最小值点，即r=2,h=4时表面积最小，最小面积是：

A

（2）＝2π（4+8）=24π（米2）

【您的答案】您未答题

[解答题]

51、证明：

方程

在区间[0，1]上不可能有两个不同的根.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

52、求函数f（x）=lnsinx在区间

上满足罗尔定理的点ξ.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】满足罗尔定理的点也就是f’（ξ）=0的点，

f’（ξ）=cotξ，所以在区间

上，令cotξ=0的点为π/2

【您的答案】您未答题

[解答题]

53、求极限

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

54、证明：

当x>0时，

.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

[解答题]

55、求极限

.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

【您的答案】您未答题

[解答题]

56、

求函数y=

的单调区间.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

定义域是全体实数.

令

，

所以

为单减区间，

为单增区间.

【您的答案】您未答题

[解答题]

57、

求函数f（x）=ln（x2+1）在区间[-1，2]上的最大值和最小值.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

，令

，

最大值为

，最小值为0.

【您的答案】您未答题

[解答题]

58、

求曲线y=

的水平和铅直渐近线.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

所以

为垂直渐近线

所以

为水平渐近线

【您的答案】您未答题

[解答题]

59、求曲线y＝x3－3x2－1的拐点．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】（1，－3）

【您的答案】您未答题

【答案解析】

y＇＝3x2－6x

y＂＝6x－6

令y＂＝0，即6x－6＝0

解得x＝1，此时y＝13－3×12－1＝－3

x＜1时，y＂＝6x－6＜0

x＞1时，y＂＝6x－6＞0

因此点（1，－3）是曲线的拐点．

参见教材P108～109。

（2014年4月真题）

[解答题]

60、已知极限

，求常数k的值．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】2

【您的答案】您未答题

【答案解析】

∴ k＝2．

参见教材P102～104。

（2014年4月真题）

[解答题]

61、求极限

．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

【答案解析】

参见教材P95～99。

（2014年4月真题）

[解答题]

62、

设某厂生产收音机Q台时的总成本为C（Q）＝2000＋10Q（元），销售价格为P＝800－Q（元），假定产销平衡．

（1）求利润函数L（Q）；

（2）问该厂生产多少台时可获得最大利润？

并求获得最大利润时的价格．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

（1）L（Q）＝－Q2＋790Q－2000

（2）该厂生产395台时可获得最大利润，最大利润时的价格为405元．

【您的答案】您未答题

【答案解析】

（1）利润函数

L（Q）＝PQ－C

＝（800－Q）Q－（2000＋10Q）

＝－Q2＋790Q－2000

（2）

L＇（Q）＝（－Q2＋790Q－2000）＇＝－2Q＋790

令L＇（Q）＝0

即－2Q＋790＝0

解得 Q＝395（台）

L＂（Q）＝［L＇（Q）］＇＝（－2Q＋790）＇＝－2＜0

因此Q＝395是极大值点，

由于Q＝395是惟一的驻点，

因此Q＝395时L（Q）取最大值．

也就是说产量为395台时，该公司可获得最大利润．

获得最大利润时的价格为

P＝800－Q＝800－395＝405（元）

参见教材P112～116。

（2014年4月真题）

[解答题]

63、求曲线y＝x3＋9x＋15的凹凸区间与拐点．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

凹区间为（0，＋∞）；

凸区间为（－∞，0）；

拐点为（0，15）．

【您的答案】您未答题

【答案解析】

函数的定义域为（－∞，＋∞）

y＇＝3x2＋9，

y＂＝6x．

令y＂＞0，即6x＞0，

解得x＞0，

所以凹区间为（0，＋∞）．

令y＂＜0，即6x＜0，

解得x＜0，

所以凸区间为（－∞，0）．

当x＝0时，y＝03＋9×0＋15＝15

则拐点为（0，15）．

参见教材P107～109。

（2014年10月真题）

[解答题]

64、求极限

．

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】0

【您的答案】您未答题

【答案解析】

参见教材P95～99。

（2014年10月真题）

[解答题]

65、某厂生产某产品Q吨时总成本为

（万元）．问当产量Q为多少时，产品的平均成本最低？

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】4吨

【您的答案】您未答题

【答案解析】

设产品的平均成本

（万元）

令

即

等式左右两边同时乘以Q2，得

解得 Q＝4（吨）

因此Q＝4是极小值点

由于Q＝4是惟一的驻点，因此Q＝4时L（Q）取最小值．

也就是说产量为4吨时，产品的平均成本最低．

参见教材P112～116。

（2014年10月真题）

[解答题]

66、求曲线

的凹凸区间。

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 凹区间为

，凸区间为

【您的答案】您未答题

【答案解析】 因为

，因此可得

，令

，则

，因此凹区间为

，凸区间为

。

参见教材P107。

[解答题]

67、求极限

。

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】 

【您的答案】您未答题

【答案解析】

。

参见教材P52。

[解答题]

68、

求极限

.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】1

【您的答案】您未答题

【答案解析】

参见教材P95。

[解答题]

69、

求函数

的单调区间.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

增区间为：

，

；减区间为

【您的答案】您未答题

【答案解析】

的定义域为

.

令

，得

因

时，

；

时，

时，

故

的单调增加区间为

与

；单调减区间为

.

参见教材P100。

[解答题]

70、求曲线

的凹凸区间与拐点.

【从题库收藏夹删除】

【正确答案】

拐点

【您的答案】您未答题

[解答题]

71、设某商品的需求函数为

，其中p为价格（万元/吨），Q为需求量（吨）.

（1）求总收益函数R（p）;

（2）问价格为多少时总收益最大？

并求最大总收益.