同济大学高等数学教案第四章微分方程.docx

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同济大学高等数学教案第四章微分方程

高等数学教学教案

第四章微分方程

授课序号01

教学基本指标

教学课题

第四章第一节微分方程的概念

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

微分方程的基本概念

教学难点

特解，通解

参考教材

同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》

安玉伟等《高等数学定理方法问题》

作业布置

课后习题微积分标准化作业

大纲要求

了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

教学基本内容

一、基本概念：

1、微分方程：

含有未知函数及其它的导数与自变量之间的关系式称为微分方程（其中自变量、未知函数可以在方程中不出现，但未知函数的导数必须出现）.

2、微分方程的阶：

微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.

一阶微分方程的一般形式为

.

二阶微分方程的一般形式为

.

阶微分方程的一般形式是:

其中为自变量，是未知函数.在方程中必须出现，而其他变量可以不出现.

3、微分方程的解：

把函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解.更确切地说，设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，有

则称函数为微分方程（10）在区间上的解.

微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数.一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解.含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）.

4、微分方程的初值问题：

许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.

二、定理与性质：

三、主要例题：

例1一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这曲线的方程

例2列车在平直线路上以（相当于）的速度行驶，当制动时列车获得加速度.开始制动后多少时间列车才能停住?

列车在这段时间里行驶了多少路程?

例3已知放射性物质镭的裂变规律是：

裂变速度与余存量成比例.记在某一时刻镭的余存量为克，试确定镭在任意时刻的余存量.

例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.根据冷却定律：

物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程

（1）

其中为比例常数.这就是物体冷却的数学模型.

例4设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律：

物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度成正比，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程

其中为重力加速度常数.这就是自由落体运动的数学模型.

例5试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.

例6求曲线族满足的微分方程，其中为任意常数.

例7验证函数（C为任意常数）是方程

的通解,并求满足初始条件的特解.

授课序号02

教学基本指标

教学课题

第四章第二节一阶微分方程

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

可分离方程，一阶线性方程

教学难点

方程类型判别

参考教材

同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》

安玉伟等《高等数学定理方法问题》

作业布置

课后习题微积分标准化作业

大纲要求

掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

会解齐次方程方程，了解用变量代换求方程的思想。

教学基本内容

一、基本概念：

1、设有一阶微分方程,如果其右端函数能分解成,即有,从而能够写成

（1）

的微分方程称为可分离的微分方程.

2、如果一阶微分方程中的函数可化为，则称此方程为齐次方程.齐次方程通过变量替换转化为可分离变量方程求解.

3、形如

（2）

的方程称为一阶线性微分方程.其中函数，是某一区间上的连续函数.一阶线性方程的当方程

（2）成为

（3）

这个方程称为一阶齐次线性方程.相应地，方程

（2）称为一阶非齐次线性方程.

二、定理与性质：

定理1（一阶非齐次线性方程的解的结构）一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一阶非齐次线性方程的一个特解之和.

三、主要例题：

例1求微分方程的通解.

例2求微分方程的通解.

例3求满足的特解.

例4已知当时，求

例5求微分方程的通解.

例6求解微分方程满足初始条件的特解.

例7求解微分方程

例8利用变量代换法求方程的通解.

例9求方程的通解.

例10求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

，.

例11求方程的通解.

授课序号03

教学基本指标

教学课题

第四章第三节二阶微分方程

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

可降阶微分方程，二阶线性齐次，简单非齐次

教学难点

二阶线性非齐次

参考教材

同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》

安玉伟等《高等数学定理方法问题》

作业布置

课后习题微积分标准化作业

大纲要求

理解二阶线性微分方程解的结构。

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

教学基本内容

一、基本概念：

型

型

型

2、函数组的线性相关与线性无关

设为定义在区间上的个函数，如果存在个不全为零的常数，使得

在区间上恒成立，则称个函数在上线性相关，否则称线性无关，或者说要使在区间上恒成立，则必有

.

4、二阶线性方程

二阶线性常系数微分方程的一般形式是

，

（1）

其中、是常数，是自变量的函数，函数称为方程

（1）的自由项.当时,方程

（1）成为

.

（2）

这个方程称为二阶齐次线性微分方程.相应地，方程

（1）称为二阶非齐次线性微分方程.

二、定理与性质：

定理1如果函数与是方程

（2）的两个解,则

（3）

也是方程

（2）的解，其中是任意常数

定理2如果与是方程

（2）的两个线性无关的特解，

就是方程

（2）的通解，其中是任意常数.

定理3设是方程

（1）的一个特解，而是其对应的齐次方程

（2）的通解，则

就是二阶非齐次线性微分方程

（1）的通解.

*定理4设与分别是方程

与

的特解，则是方程

的特解.

二阶齐次线性方程的解：

特征方程的根

通解中的对应项

是重根

是重共轭复根

求解二阶线性常系数非齐次微分方程通解的步骤：

（1）写出特征方程，并求出特征根；

（2）求出对应齐次方程的通解；

（3）根据与特征根关系确定特解形式并代入原方程后确定其中系数,从而得到；，其中按不是、是单、是重特征根而选取，为次待定系数的多项式.

（4）写成.

三、主要例题：

例1求方程满足的特解.

例2求微分方程的通解.

例3求微分方程

的特解.

例4求微分方程的通解.

例5求微分方程满足初始条件的特解.

例6证明在内线性相关.

例7对于二阶线性微分方程

，

验证是它的解,并证明是原方程的通解，而是原方程的解但不是通解.

例8已知是某二阶齐次线性微分方程的三个特解.

（1）求此方程的通解；

（2）求此微分方程满足的特解.

例9已知是二阶变系数线性非齐次微分方程的线性无关的三个特解，试写出该方程的通解.

例10求方程的通解.

例11求方程的通解.

例12求方程的通解.

例13求微分方程

满足初始条件

的特解.

例14求方程的通解.

例15求下列微分方程的通解.

（1）

（2）

例16已知一个四阶常系数齐次线性微分方程的四个线性无关的特解为

求这个四阶微分方程及其通解.

例17下列方程具有什么样形式的特解?

（1）

（2）

（3）

例18求方程的一个特解.

例19求方程的通解.

例20求解定解问题.

授课序号04

教学基本指标

教学课题

第四章第四节微分方程的实际案例

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

一阶二阶实际案例

教学难点

一阶二阶实际案例

参考教材

同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》

安玉伟等《高等数学定理方法问题》

作业布置

课后习题微积分标准化作业

大纲要求

会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

教学基本内容

一、基本概念：

二、定理与性质：

三、主要例题：

一、一阶微分方程的实际案例

例1设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间的变化规律.

例2设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零,求降落伞下落速度与时间的关系.

例3设河边点O的正对岸为点A,河宽,两岸为平行直线,水流速度为,有一鸭子从点A游向点O,设鸭子（在静水中）的游速为,且鸭子游动方向始终朝着点O,求鸭子游过的迹线的方程.

例4如果设某商品在时刻的售价为,社会对该商品的需求量和供给量分别是的函数.一般情况下,商品供给量是价格的单调递增函数,商品需求量是价格的单调递减函数,为简单起见,分别设该商品的供给函数与需求函数分别为

（2）

其中均为常数,且

当供给量与需求量相等时,由

（1）可得供求平衡时的价格

并称为均衡价格.

二、二阶微分方程的实际案例

例5质量为的质点受力的作用沿轴作直线运动.设力仅是时间的函数:

在开始时刻时随着时间的增大,此力均匀的减少,直到时,如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律.

例6墙上有两个钉子，连接着一条绳子，绳子仅受到重力作用而下垂，称之为悬链线，试推导此曲线方程.

例7一个离地面很高的物体，受地球引力作用，由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间.（不计空气阻力）

例8一链条悬挂在钉子上，起动时一端离开钉子米，另一端离开钉子米，求链条全部滑过钉子所需时间.