高考数学理总复习讲义 坐标系.docx

高考数学理总复习讲义 坐标系.docx

《高考数学理总复习讲义 坐标系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理总复习讲义 坐标系.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学理总复习讲义坐标系

第一节

坐标系

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），

称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

（1）极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

极坐标系的四要素：

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可.

（2）极坐标

①极径：

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.

由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）与极坐标（ρ，θ）建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.

②极角：

以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.

③极坐标：

有序数对（ρ，θ）叫做点M的极坐标，记为M（ρ，θ）.

一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.

④极坐标与直角坐标的重要区别：

多值性.

3.极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），则它们之间的关系为：

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置）和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一.

4.简单曲线的极坐标方程

曲线

极坐标方程

圆心为极点，半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ＜2π）

圆心为（r,0），半径为r的圆

ρ＝2rcosθ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsinθ（0≤θ＜π）

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α（ρ∈R）或θ＝π＋α（ρ∈R）

过点（a,0），与极轴垂直的直线

ρcosθ＝a

过点，与极轴平行的直线

ρsinθ＝a（0＜θ＜π）

[小题查验基础]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.（　　）

（2）若点P的直角坐标为（1，－），则点P的一个极坐标是.（　　）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.（　　）

（4）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线.（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

二、选填题

1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）

A.ρ＝

B.ρ＝

C.ρ＝cosθ＋sinθ

D.ρ＝cosθ＋sinθ

解析：

选A　∵y＝1－x（0≤x≤1），

∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1），

∴ρ＝.

2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.（1,0）D.（1，π）

解析：

选B　由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋（y＋1）2＝1，圆心坐标为（0，－1），其对应的极坐标为.

3.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是（　　）

A.ρsinθ＝1B.ρsinθ＝

C.ρcosθ＝1D.ρcosθ＝

解析：

选A　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cos＝，y＝ρsinθ＝2sin＝1，即（，1），过点（，1）且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.

4.若点P的直角坐标为（3，－），则点P的极坐标为______.

解析：

因为点P（3，－）在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.

答案：

5.在极坐标系中A，B两点间的距离为________.

解析：

法一：

（数形结合）在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.

法二：

∵A，B的直角坐标为A（1，－），B（－2,2）.

∴|AB|＝＝6.

答案：

6

考点一平面直角坐标系中的伸缩变换[基础自学过关]

[题组练透]

1.在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：

（1）求点A经过φ变换所得点A′的坐标；

（2）求直线l：

y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.

解：

（1）设点A′（x′，y′），由伸缩变换φ：

得∴

∴点A′的坐标为（1，－1）.

（2）设P′（x′，y′）是直线l′上任意一点.

由伸缩变换φ：

得

代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，

∴y＝x为所求直线l′的方程.

2.将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：

（λ，μ＞0），求λ，μ的值.

解：

将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：

（λ，μ＞0）代入上式，

得＋＝1，即2x2＋2y2＝1，

与x2＋y2＝1

比较系数，得所以

[名师微点]

伸缩变换后方程的求法及注意点

（1）平面上的曲线y＝f（x）在变换φ：

的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f（x），整理得y′＝h（x′）即为所求.

（2）解答该类问题应明确两点：

一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P（x，y）与变换后的点P′（x′，y′）的坐标关系，用方程思想求解.

考点二极坐标与直角坐标的互化[师生共研过关]

[典例精析]

在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝（ρ≥0,0≤θ＜2π）.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O的公共点的极坐标.

[解]　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.

（2）由

（1）知圆O与直线l的直角坐标方程，

将两方程联立得解得

即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为（0,1），

转化为极坐标为，

故直线l与圆O的公共点的极坐标为.

[解题技法]

1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法

（1）直角坐标方程化为极坐标方程：

将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可.

（2）极坐标方程化为直角坐标方程：

通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.

2.极角的确定方法

由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意：

当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定.当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：

当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.

[过关训练]

已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.

解：

（1）由ρ＝2知ρ2＝4，

所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.

因为ρ2－2ρcos＝2，

所以ρ2－2ρ＝2，

所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（2）将两圆的直角坐标方程相减，

得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.

化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，

即ρsin＝.

考点三极坐标方程的应用[师生共研过关]

[典例精析]

（2019·安徽名校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋（y－2）2＝4.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.M为曲线C1上异于极点的动点，点N在射线OM上，且|ON|·|OM|＝20，记点N的轨迹为C2.

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）根据极坐标方程，判断曲线C1，C2的位置关系.

[解]　

（1）曲线C1的直角坐标方程是x2＋（y－2）2＝4，

即x2＋y2＝4y.

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ2＝4ρsinθ.

故曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

设N（ρ，θ），M（ρ1，θ），由|ON|·|OM|＝20，

即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝.

又ρ1＝4sinθ，所以＝4sinθ，所以ρsinθ＝5.

故曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝5.

（2）由得sin2θ＝，无实数解，因此曲线C1和曲线C2没有公共点，易知曲线C1是圆，曲线C2是直线，

所以C1与C2相离.

[解题技法]

利用极坐标系解决问题的技巧

（1）用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.

（2）已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.

（3）根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可.

[提醒]　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.

[过关训练]

（2018·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

解：

（1）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝4.

（2）由

（1）知C2是圆心为A（－1,0），半径为2的圆.

由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝时，l2与C2没有公共点.

综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.

1.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：

x＝－2，圆C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

解：

（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

（2）将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.

2.（2019·黄冈调研）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos＝2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹为C2.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.

解：

（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ＞0），Q的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1＞0），

由题意知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝.

由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为ρ＝2cos（ρ＞0），化简得ρ＝cosθ＋sinθ，因此C2的直角坐标方程为2＋2＝1，但不包括点（0,0）.

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB＞0），

由题意知，|OA|＝2，ρB＝2cos，

于是△AOB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB

＝2cos·＝2≤.

当α＝0时，S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.

3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝4cosθ.

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解：

（1）消去参数t得到C1的普通方程为x2＋（y－1）2＝a2，则C1是以（0,1）为圆心，a为半径的圆.

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，

得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

（2）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，

由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，

从而1－a2＝0，解得a＝－1（舍去）或a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.

所以a＝1.

4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋（y－1）2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ＋sinθ）＝5.

（1）求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.

解：

（1）x2＋（y－1）2＝1即x2＋y2－2y＝0，

因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，

所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ.

ρ（cosθ＋sinθ）＝5即ρcosθ＋ρsinθ＝5，

因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，

所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5.

（2）曲线C：

x2＋（y－1）2＝1是以C（0,1）为圆心，1为半径的圆.设圆上点A（x0，y0）到直线l：

y＝－x＋5的距离最小，所以圆C在点A处的切线与直线l：

y＝－x＋5平行.

即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，

即×（－）＝－1.①

因为点A在圆上，所以x＋（y0－1）2＝1，②

联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.

所以点A的坐标为或.

又因为圆上点A到直线l：

y＝－x＋5的距离最小，

所以点A的坐标为，

点A的极径为＝，极角θ满足tanθ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝.

所以点A的极坐标为.

5.（2019·山西八校第一次联考）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）设l1：

θ＝，l2：

θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积.

解：

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25，

即x2＋y2－6x－8y＝0.

∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.

（2）设A，B.

把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋3，

∴A.

把θ＝代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋4，

∴B.

∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB

＝sin

＝12＋.

6.（2018·福州四校联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

解：

（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），得曲线C1的普通方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，