高考数学理总复习讲义 坐标系.docx

1、高考数学理总复习讲义 坐标系第一节坐标系1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可. (2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为.由

2、极径的意义知0时，当极角的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径0，极角可取任意角.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.极坐标：有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，).一般不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.3.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：这就是极坐标与直角坐标的互化公式.把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点

3、的极坐标将不唯一.4.简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(0)小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()(2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线.()答案：(1)

4、(2)(3)(4)二、选填题1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A.B.C.cos sin D.cos sin 解析：选Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.2.在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是()A. B.C.(1,0) D.(1，)解析：选B由2sin ，得22sin ，化成直角坐标方程为x2y22y，化成标准方程为x2(y1)21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为.3.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是()A.sin 1 B.sin C.cos 1 D.cos 解

5、析：选A先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为xcos 2cos ，ysin 2sin 1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y1，再化为极坐标为sin 1.4.若点P的直角坐标为(3，)，则点P的极坐标为_.解析：因为点P(3，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.答案：5.在极坐标系中A，B两点间的距离为_.解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|OA|OB|6.法二：A，B的直角坐标为A(1，)，B(2,2).|AB|6.答案：6考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 基础自学过关题组练透1.在平面直角坐标系中

6、，已知伸缩变换：(1)求点A经过变换所得点A的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程.解：(1)设点A(x，y)，由伸缩变换：得点A的坐标为(1，1).(2)设P(x，y)是直线l上任意一点.由伸缩变换：得代入y6x，得2y62x，即yx，yx为所求直线l的方程.2.将圆x2y21变换为椭圆1的一个伸缩变换公式：(，0)，求，的值.解：将变换后的椭圆1改写为1，把伸缩变换公式：(，0)代入上式，得1，即2x22y21，与x2y21比较系数，得所以名师微点伸缩变换后方程的求法及注意点(1)平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，整理得yh(x)即

7、为所求.(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解.考点二 极坐标与直角坐标的互化 师生共研过关典例精析在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin(0,02).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标.解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，故圆O的直角坐标方程为x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方

8、程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，转化为极坐标为，故直线l与圆O的公共点的极坐标为.解题技法1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos 及ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧.2.极角的确定方法由tan 确定角时，应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意：当x0时，角才能由tan 按上述方法确定.当x0时，tan 没有意义，这时可分三种情况处理：当x0

9、，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，y0时，可取.过关训练已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：(1)由2知24，所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2，所以222，所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.考点三 极坐标方程的应用 师生共研过关典例精析(2019安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2(y2)24.

10、以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.M为曲线C1上异于极点的动点，点N在射线OM上，且|ON|OM|20，记点N的轨迹为C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C1，C2的位置关系.解(1)曲线C1的直角坐标方程是x2(y2)24，即x2y24y.将xcos ，ysin 代入，得24sin .故曲线C1的极坐标方程为4sin .设N(，)，M(1，)，由|ON|OM|20，即120，得1.又14sin ，所以4sin ，所以sin 5.故曲线C2的极坐标方程为sin 5.(2)由得sin2，无实数解，因此曲线C1和曲线C

11、2没有公共点，易知曲线C1是圆，曲线C2是直线，所以C1与C2相离.解题技法利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可.提醒在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.过关训练(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y

12、k|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆.由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共

13、点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点.综上，所求C1的方程为y|x|2. 1.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程； (2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积.解：(1)因为

14、xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN的面积为.2.(2019黄冈调研)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|OP|4，动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求AOB面积的最大值.解：(1)设P的极坐标为(，)(0)，Q的极坐标为(1，

15、)(10)，由题意知，|OP|，|OQ|1.由|OQ|OP|4得C2的极坐标方程为2cos(0)，化简得cos sin ，因此C2的直角坐标方程为221，但不包括点(0,0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题意知，|OA|2，B2cos，于是AOB的面积S|OA|BsinAOB2cos2.当0时，S取得最大值.所以AOB面积的最大值为.3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan

16、02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.所以a1.4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2(y1)21.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴

17、建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.解：(1)x2(y1)21即x2y22y0，因为2x2y2，sin y，所以圆C的极坐标方程为22sin ，即2sin .(cos sin )5即cos sin 5，因为cos x，sin y，所以直线l的直角坐标方程为yx5.(2)曲线C：x2(y1)21是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A(x0，y0)到直线l：yx5的距离最小，所以圆C在点A处的切线与直线l：yx5平行.即直线CA与l的斜率的乘积等于1，即(

18、)1.因为点A在圆上，所以x(y01)21，联立可解得x0，y0或x0，y0.所以点A的坐标为或.又因为圆上点A到直线l：yx5的距离最小，所以点A的坐标为，点A的极径为 ，极角满足tan 且为第一象限角，则可取.所以点A的极坐标为.5.(2019山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：，l2：，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求AOB的面积.解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x3)2(y4)225，即x2y26x8y0.曲线C的极坐标方程为6cos 8sin .(2)设A，B.把代入6cos 8sin ，得143，A.把代入6cos 8sin ，得234，B.SAOB12sinAOBsin12.6.(2018福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解：(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，