十六节课汇总.docx
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十六节课汇总
第一节列方程解应用题
月日姓名
【妙招秀】
列方程解应用题的一般步骤。
（1）弄清题意，找出已知条件和所求问题。
（2）依题意确定等量关系，设未知数x。
（3）根据等量关系列出方程。
（4）解方程。
（5）检验，写出答案。
【学一学】
例1填空
1．学校原有图书3500本，又买来x本，现在一共有（）本。
2．学校共有学生a人，其中男生有240人，女生有（）人。
3．学校图书馆有故事书x本，连环画比故事书多200本，连环画有（）本；两种书共有（）本。
4．一辆汽车每小时行a千米，从甲城开到乙城共用了7小时，甲、乙两城之间的距离有（）千米。
5．妈妈买回3千克菜花，她付出5元，找回了0.5元，每千克菜花多少元？
等量关系：
（）－（）＝找回的钱
设每千克菜花X元．列方程是：
（）
例2粮店运来大米、面粉共3700kg，已知运来的面粉比大米的2倍多100kg，运来大米、面粉各多少千克？
（和倍）
例3植树节四、五、六年级共植树140棵，六年级植树是五年级的2倍，五年级植树是四年级的2倍，问四、五、六年级各植树多少棵？
（和倍）
例4一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9人，如果每船坐18人，则剩余1只船，求有多少只船？
（盈亏）
例5甲乙两列火车同时从相距1000km的两地开出，相对而行，6小时后两车还相距130km，甲车每小时行85km，乙车每小时行多少千米？
（行程）
例6一次数学竞赛共15道题，每做对一道题得8分，做错一道题倒扣4分，李小明所有题都做了，但只得72分，问他做对了几道题？
（鸡兔）
例7今年,祖父的年龄是小明的年龄的6倍,几年后,祖父的年龄是小明年龄的5倍,又过几年后,祖父的年龄将是小明的4倍,求祖父今年多少岁?
（年龄）
（第三届”华杯赛”复赛试题）
例8一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数字比十位上的数字大7，个位上的数字是十位的数字的3倍。
求这个三位数？
（数位）
【练一练】
1．填空
A．小明有10元钱，买钢笔用去a元，还剩下（）元。
B．食堂买来200千克豆油，吃了a天，还剩下b千克，平均每天吃（）千克。
C．李师傅每小时生产a个零件，比张师傅每小时多生产2个，张师傅8小时生产（）个。
D．五一班图书有故事书50本，是艺术类书的2倍还多4本，艺术类的书有多少本？
等量关系：
（）＋（）＝故事书50本．
设艺术类的书有x本，列方程是（）．
2．学校买来5个篮球和6个足球共用了510元，已知每个篮球48元，问每个足球多少元？
3．三国食品厂加工1800个人参果，悟空加工的个数是沙僧的3倍，沙僧加工的个数是八戒的2倍，问悟空、沙僧、八戒各加工多少个？
4．六（3）班同学合买一件纪念品赠送给校外辅导员，每人出6角，多出4元7角，每人出5角，就要差3角，这个班有多少个学生？
5．两棵樱花树相距100米，甲、乙两人各从一棵树下背向而行,10分钟后两人相距900米，甲每分钟走55米，问乙每分钟走多少米？
6．父亲今年的年龄是儿子年龄的8倍，6年以后父子两人的年龄和是48岁，儿子今年几岁？
7．某商店以每双6.5元购进一批凉鞋，售价为7.4元，卖到还剩5双时，除成本外还获得44元毛利。
这批凉鞋共有多少双？
8．某日停电,房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛,两支蜡烛可点燃的时间不同,一支可点燃3小时,另一支可点燃3小时5小时,当送电时吹灭蜡烛,发现其中一支剩下长度是另一支剩下长度的3倍?
（南京市第一届”兴趣杯”初赛题）
9．两人同时从甲地出发到乙地,一人用匀速3小时走全程,另一人用4小时走全程,经过几小时,其中一人所剩路程长是另一人所剩路程长的2倍?
（2001年小学数学奥林匹克决赛卷）
课后作业
月日姓名成绩
1．填空
a．王师傅1小时生产c个机器零件，8小时生产（）个机器零件。
b．甲数比乙数少a，甲数是b，乙数应是（）。
c．甲仓有粮食x包，乙仓的粮食比甲仓存粮的3倍还多120包，乙仓有粮食（）包。
d．一块三角形地，面积是280平方米，底是80米，高是多少米？
等量关系：
（）＝三角形面积
设高是X米，列方程是（）．
2．学校用912.6元买篮球和排球，买了6个篮球，每个84.5元，剩下的钱正好买6个排球，问每个排球多少元？
3．大宝、二宝、小宝三兄弟的年龄之和是22岁，大宝的年龄是二宝的3倍，二宝的年龄是小宝的2.5倍，问大宝、二宝、小宝各有多少岁？
4．用一根绳子测量一段路长，用这根绳子量18次，这段路还余9米，量20次，最后一次绳子又余4米。
求这段路长和绳长？
5．甲、乙两人骑车从某地反向而行，甲每小时行12km，乙每小时行13km，那么行几小时后两人相距100km？
6．一个三位数它的十位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字少4，它的各位数字之和的一半恰好等于十位数字，求这个三位数。
9．奶奶今年56岁，恰好是小芳年龄的7倍，几年后奶奶年龄是小芳年龄的3倍。
10．幼儿园老师给小朋友分苹果和梨，苹果数是梨的2倍。
梨每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。
有多少个小朋友？
多少个苹果？
多少个梨？
第二节数论综合之整除
月日姓名
【妙招秀】
1.在□中填入适当的数字。
579□能被13整除57□9能被13整除5□79能被13整除。
2.在□中填入适当的数字。
185□能被11整除485□能被11整除785□5能被11整除
3．任意一个三位数连写两次所得到的六位数，一定能被7、11、13同时整除，为什么？
4．四位数
能被18整除，要使这个四位数尽可能小，a和b各是什么数字？
5．要使六位数
能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C各是多少？
6．有一个六位数□1989□能被44整除，求这个六位数。
7．已知六位数x1993y能被45整除，求所有满足条件的六位数。
8．在2007□□□后面补上3个数字，组成一个七位数，使它们分别能被3、4、5、11整除，这个七位数最小是多少？
9．在□里填上恰当的数字，使七位数□1992□□能同时被9，25，8整除。
10．已知整数1a2a3a4a5a能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
11．如果六位数1992□□能被95整除，那么它的最后两位数是多少。
12．把三位数3ab连接重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数3ab3ab……3ab恰好是91的倍数。
试求ab＝？
13．下面这个41位数：
555…5□99…9（其中5和9各20个）能被7整除,那么中间方格内的数字是多少?
14．仓库里放有6个容积不同的货物。
分别装有20千克、21千克、23千克、12千克、14千克、17千克货物。
两个搬运工人运走了其中五箱货物，而且一个工人运走的货物的重量是另一个工人运走货物重量的3倍。
仓库剩下的货物是多少千克？
15．将自然数10，11，12，…，49从左至右依次排列成一个多位数101112…4849，求这个多位数除以11的余数？
16．把1至999这999个自然数依次写下来，得到一个多位数123456789…998999，求这个多位数是几位数，并求这个多位数除以9的余数。
17．将自然数1、2、3、4、5、6、7、9、8依次重复写下去组成一个1993位数，试问：
这个数能否被3整除？
18．有这样两个五位数，一个能被11整除，一个能被7整除。
它们的前四位都是9867，而末位数字不同。
求这两个五位数的和。
★．在小于5000的自然数中能被11整除并且数字和为13的数共有多少个？
★．两位小数□．□1每个数位上的数字都不同。
其中能被24除尽的共多少个？
第三节数论综合质数合数奇偶性
月日姓名
【妙招秀】
1．下面的四个算式中，每个方框代表一个整数，其中每个算式至少有一个奇数和一个偶数，问：
这12个整数中，共有几个偶数。
□+□=□□—□=□□×□=□□÷□=□
2．有15支球队进得比赛，如果要求每队比赛一场，能办到吗？
为什么？
3．桌上放着七只杯子，有三个杯口朝下，四个杯口朝上，每次同时翻转四个杯子，经过若干次翻转后，能否将七只杯子全变成杯口朝上？
4．在1，2，3，…，2006中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？
5．某市有1993名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答加1分，答错一道题扣1分。
甲乙两位核分员统计的全体总分分别是199288和199289，已知有一个人的结果是正确的。
请问这次竞赛所有同学的总分是多少？
6．名同学参加智力竞赛,竞赛共20道题,评分方法是:
基础分15分,答对一题加5分,不答加1分,答错1题倒扣1分,请问所有参赛同学得分的总和是奇数还是偶数?
7．书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱？
8．从零点起，每隔1米种一棵树，如果把三块“爱护花木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（单位：
米），这是为什么？
9．甲袋中放着1997个白球和1000个黑球，乙袋中放着2000个黑球。
小明每次从甲袋中随意摸出2个球放在外面。
如果摸出的2个球颜色相同，小明就从乙袋中取出1个黑球放到甲袋；如果摸出的2个球颜色不同，小明就将白球放回甲袋。
小明从甲袋中摸了2995次后，甲袋中还剩下几个球？
它们各是什么颜色？
10．有7盏灯，从1到7编号，开始时2、4、7编号的灯亮着，一个小朋友按从1到7，再从1到7，……的顺序拉开关，一共拉了400次．问此时哪几个编号的灯是亮的？
11．在1，9，8，3，……中从第五个数起，每个数字等于它前面四个数之和的个位数字．问在这列数字中会依次出现1，9，8，4吗？
12．有一列数：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
那么在前1000个数中，有多少个奇数？
13．用0，1，2，3，…，9十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能小，那么这五个两位数的和是多少？
14．下图是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.
（1）如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中？
说明理由.
15．是否存在这样的自然数
，满足关系式
？
（提示：
）
16．是否存在连续7个自然数都是合数？
17.已知a，b，c，d，都是不同的质数，a＋b＋c=d,那么a×b×c×d的最小值是多少？
.
18．若a+b=999，且
，
为1000以内的质数，则
，
是多少？
19．一个质数的2倍与另一个质数的3倍之和恰为100，这两个质数分别是多少？
☆1．若质数a、b、c满足a×b×c=5×（a+b+c），求3个质数之和。
☆2．音乐教室里有7排椅子，每排7把，每个椅子坐一个学生，老师每个月都要将每一个人的座位调换一次，张虎同学别出心裁，向老师建议，每个同学全体起来，再同时坐到邻座上去（前、后、左、右）来调换位置，老师可不可以换成？
第四节数列、数组
月日姓名
【妙招秀】
有些数列，如果我们按照一定的规律把它分成组，会发现一些非常有趣的现象。
最常见的就是自然数列的运用。
注意找准这组数与组号的联系。
【学一学】
例1自然数1，2，3，…排成一行分组，规定第n组含有n个自然数，即
（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，…）
（1）试问第十组的第一个数是几？
（2）试求第十组中所有自然数的和。
（3）试问100这个数位于哪一组中？
是第几个数？
例2自然数1，2，3，…按下图排成一个数阵，请回答下列问题：
136101521
2591420
481319
71218
1117
16
（1）第1行中自左至右的第8个数是几？
（2）自上至下第10行中的第8个数是几？
例3自然数按规律排成了下图的三角形数阵。
自然数2005排在从上往上数的第（）行，从左往右数的第（）个数。
1
23
654
78910
1514131211
161718192021
例4．如数表：
第1行12345……1415
第2行3029282726……1716
第3行3132333435……4445
………………………
第n行………………A……
第n＋1行………………B……
第n行有一个数A，它的下一行（第n＋1行）有一个数B，且A和B在同一竖列，如果A＋B=391，那么n=。
【练一练】
1．有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…
（1）试问第一个20这个数在此数列中是第几项？
（2）第100项是多少？
（3）求前100项的和。
2．一列数：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…其中自然数n出现n次，那么，这列数中的第1999个数除以5的余数是。
3．有一串数，第100行的第四个数是。
1，2
3，4，5，6
7，8，9，10，11，12
13，14，15，16，17，18，19，20
……
4．计算：
1996＋1995－1994－1993＋1992＋1991－1990－1989＋…＋4＋3－2－1，结果是。
5．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，…其中1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：
（1）第100个数是什么数？
（2）把第一个数至第52个数全部加起来，和是多少？
（3）如果从第一个数起顺次加和的结果为304，那么共有多少个数字相加？
6．自然数按规律排成了下图的三角形数阵。
自然数1024排在从上往下数的第（）行，从左往右数的第（）个数。
1
23
654
78910
1514131211
161718192021
第五节尾数与完全平方数
月日姓名
【妙招秀】
尾数问题常用到的结论：
（1）相邻两个自然乘积的个位数字只能是0，2，6。
（2）
时，n!
=1×2×3×…×n的个位数字是0。
（3）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
【学一学】
例1求3＋33＋333＋…＋
的和的末一位数是几？
末两位是几？
例2
的尾数是多少？
例346305乘以一个自然数a，积是一个完全平方数，则最小的a是几？
例4已知1！
=1
2！
=1×2
3！
=1×2×3
4！
=1×2×3×4
求1！
＋2！
＋3！
＋…＋2006！
＋2007！
＋2008！
的个位数字是几？
例5199加上一个两位数，使结果是完全平方数，这样的两位数一共有几个？
【练一练】
1．8＋88＋888＋…＋
和的个位是几？
末两位是几？
2．
的尾数是几？
3．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4．祖孙三人，孙子与爷爷的年龄之积是152，而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完全平方数，父亲的年龄是多少？
5．已知有1！
=1
2！
=1×2
3！
=1×2×3
求1！
＋2！
＋3！
＋…＋100！
的个位数字？
课后作业
月日姓名成绩
1．求
的个位数是几？
2．求
的尾数是几？
3．2205乘以一个自然数a，乘积是一个完全平方数，则a最小为多少？
4．6＋66＋666＋…＋
的个位数是几？
5．下面是一个算式：
1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6这个算式的得数能否是某个数的平方？
第六节余数问题
月日姓名
【妙招秀】
1．如果a被b除得余数是r,那么a－r能被b整除。
如：
42÷5=8……2，（42－2）能被5整除。
2．如果两个整数a与c被b除所得的余数相同，那么a－c能被b整除。
如
，（42－32）能被5整除。
3．设a与c被b除的余数分别是
、
，那么a与c的和（差、积）被b除的余数相同，如42÷4=10……2，71÷4=17……3，（42＋71）÷4与（2+3）÷4的余数相同，都余1。
【学一学】
例1王兰在计算有余数的除法时，把被除数137抄成173，结果商比原来多了3，而余数正好相同，请你算一算，这道题的除数是多少？
余数又是多少？
例2一个正整数去除229、152、86，它们的余数相同，这个数最大是多少？
例31616×324×456×2634的积被13除所得的余数是多少？
例48496×5460＋1894除以5的余数。
例5有列数如下：
4、5、9、14、23……问：
这列数的第1999个数除以3，余数是几？
☆6证明
是3的倍数。
【练一练】
1．小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，这题中的除数是几？
2．一个正整数K除334、266和215的余数相同，请问K的最大值是多少？
3．473×309×1999被7除的余数是几？
4．376×4657＋7322除以6的余数。
5．有一列数如下：
2、2、4、6、10、16……这列数的第100个数除以6的余数。
课后作业
月日姓名成绩
1．小周在计算有余数的除法时，把被除数44错写成56，结果商比原商多2，但余数恰好相同，那么该题余数是多少？
2．如果13511、13903、14589被自然数m除，所得的余数相同，那么m的最大值是。
3．乘积418×814×1616除以13所得的余数是。
4．4321×3153＋1894除以8的余数。
第七节数学竞赛中方法与技巧探究
（一）
月日姓名
一、【倒推、还原法】
倒推、还原是竞赛中经常考察的一种题型，体现了一种逆向思维的思想，由结果推初始情况，我们经常应用表格法和枚举法来解决问题。
1．A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相赠送，先由A给B、C，所给的豆数等于B、C原来各有的豆数，依同法再由B给A、C现有豆数，后由C给A、B现有豆数，互送后每人恰好各有64粒，问原来三人各有豆多少粒？
2．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。
这时四个组的书一样多。
这说明甲组原来有书多少本？
3．书架上、中、下三层共放着96本书，先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层，这时三层放书的本数相同．这个书加的上、中、下三层原来各放书多少本？
4．12加上24，减去20；再加上24，再减20；…如此下去，最少经过多少次运算便能得到52？
5．有一筐苹果，把它们分成3等份后还剩两个苹果，取出其中两份，将它们3等份后还剩两个苹果；然后再取出其中两份，又将这两份3等份后还剩两个苹果，问这筐苹果至少有多少个？
6．在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：
如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，就把它加上3，同样的运算进行了3次得出结果为27，原来输入的数可能是多少？
二、【假设法】
所谓假设法，就是假设题中的某几个数量相等，或假设要求的一个未知量是已知数量，把复杂问题化为简单问题处理，再进行推算，以求出原题的答案。
假设思想方法是一种重要的数学思维方法，掌握它能使要解决的问题更形象、更具体，从而丰富解题的思路。
在解题时，有些题目数量关系比较隐蔽，如果对某些条件作出假设，则往往能顺利找到解题途径。
在解题时，有些题目数量关系比较隐蔽，如果对某些条件作出假设，则往往能顺利找到解题途径。
当直接解一些题目似乎无从下手时，可对问题提出假设性答案，然后进行推算，当所得结果与题目的条件出现差异时，再进行调整，直至与题目的条件符合，从而得出正确答案。
1．松鼠妈妈采松子，晴天每天采20个，雨天每天采12个，它一连8天采了112个松子，问这几天中晴天、雨天各多少天？
2．一名搬运工从批发部搬运500只瓷碗到商店，货主规定：
运到一只完好的瓷碗得运费3角，打破一只瓷碗赔9角，结果他领到运费136.80元。
则在运输中搬运工打破了______只瓷碗。
3．水果店卖出83千克苹果和65千克梨，一共卖得582.6元，每千克苹果的售价比每千克梨贵0.6元。
每千克苹果和每千克梨的售价各是多少元？
4．小李和小张做同一种零件，小李每小时做的比小张少3个，小李做了9小时，小张做了7小时，小李做零件的总数比小张多3个。
小李做了多少个零件？
5．第一车间和第二车间做同一种零件，第一车间每人做60个，第二车间每人做70个，一共做了8440个这种零件。
已知第一车间比第二车间多28人，两个车间一共有多少人？
6．五
（2）班学生在校办工厂糊纸盒，原计划糊制1200个，实际每时糊的纸盒是原计划的1.2倍，结果提前4时完成任务，问原计划糊纸盒几时？
7．有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍，现从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。
求黑、白棋子各有多少个？
8．有一妇女在河边洗碗，掌管桥梁的官吏路过这里，问她：
“你怎么洗这么多碗？
”，妇女回答：
“家里来了客人”。
官吏又问：
“有多少个客人？
”妇女回答：
“2个人共一碗饭，3个人共一碗羹，4个人共一碗肉，一共65只碗”。
问共有多少客人？
（选自《孙子算经》）
9．传说九头鸟有九头一尾，九尾鸟有九尾一头．现有头580个，有尾900个，问两种鸟各有多少个？
第八节数学竞赛中方法与技巧探究
（二）
月日姓名
三、【赋值法】
数学中有一类题目，初看仿佛条件，很难解答，如果多了某一个条件，题目就easy了，这
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