高考数学《新高考创新题型》之13矩阵行列式含精析.docx

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高考数学《新高考创新题型》之13矩阵行列式含精析

2020 年高考数学（新高考创新题型）

之 13.矩阵行列式（含精析）

一、选择题。

1．已知 ab

4 6

24 26 +

2008 2010 = （

）

A． 2008B．—2008C．2010 D．—2010

二、填空题。

3．圆 C：

x2+y2=1 经过伸缩变换

（其中 a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b 的取值

都是随机的．）得到曲线 C′，则在已知曲线 C′ 是焦点在 x 轴上的椭圆的情形下，C′的离

心率的概率等于_________.

4．将正整数1,2,3, 4,, n2（ n ≥ 2 ）任意排成n 行 n 列的数表.对于某一个数表，计算各行

和各列中的任意两个数 a, b （ a > b ）的比值

a

b

，称这些比值中的最小值为这个数表的“特

征值”.若 a 表示某个 n 行 n 列数表中第 i 行第 j 列的数（ 1 ≤ i ≤ n ， 1 ≤ j ≤ n ），且满足

ij

ij

⎧i + （ j - i -1）n，  i < j,

，当 n = 3 时数表的“特征值”为_________.

⎩ y = t

5 ．各项都为正数的无穷等比数列

a

{ }，满 足 a = m, a = t , 且 ⎧⎨ x = m 是增广矩阵

n          2        4

⎛ 3 - 1 22 ⎫⎧ a x + a y = c

12

n

21222

_________.

三、解答题。

⎛ 1

ç

ç 5

5   9   13

10  15  20

117 ⎫

⎪

150 ⎪

ç 9152127

ç

ç 13202734

183 ⎪

⎪

216 ⎪

6．给出 30 行 30 列的数表

ç ⎪

ç

ç

，其特点是每行每列都

101074

按顺序构成数列

{ }

n ，存在正

使 1  s  t  成等差数列，试写出一组  （s, t ）  的值

整数 s、t （1 < s < t ）

b , b , b

7．变换 T1 是逆时针旋转

π

2

的旋转变换，对应的变换矩阵是 M1；变换 T2 对应的变换矩阵是

M2＝.

（1）求点 P（2,1）在 T1 作用下的点 P′的坐标；

（2）求函数 y＝x2 的图象依次在 T1，T2 变换的作用下所得曲线的方程．

8．将边长分别为 1、2、3、…、n、n+1、…（ n ∈ N * ）的正方形叠放在一起，形成如图所

示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1 个、第 2 个、……、第n 个阴影

部 分 图 形 . 设 前 n 个 阴 影 部 分 图 形 的 面 积 的 平 均 值 为 f （n） ． 记 数 列 {a

} 满足

n

a  = 1 , a

⎪⎩ f （an ）,当n为偶数

1

n+1

⎧⎪ f （n）,当n为奇数

=⎨

（1）求 f （n） 的表达式；

（2）写出 a , a 的值，并求数列{a

23

}的通项公式；

n

1

（3）记 b = a + s （s ∈ R ），若不等式 0

nn

b

n+1

0

b

n

b

n+1

0

b

n+2

b

n+1

> 0 有解，求 s 的取值范围.

⎛ 1

ç

ç

⎝ 0

⎫

⎪ 确定的压缩变换

1 ⎭

σ 与矩阵

⎛ 0

⎝1

-1⎫

⎪ 确定的旋转变换 R

90 进行复合，得到复合变换 R90 .σ ．

（Ⅰ）求复合变换 R .σ 的坐标变换公式；

90

（Ⅱ）求圆 C：

x2+ y2 =1 在复合变换 R .σ 的作用下所得曲线 C ' 的方程．

90

1  2

C

10 ． 如 图 ， 矩 形 O A B 和 平 行 四 边 形 OA B C 的 部 分 顶 点 坐 标 为 ：

1 11

1

A（-1,0）, B（-1,2）, A （ ,1）, C （2,0） ．

1

y

B

C

A1

B1

A

O

C1  x

（1）求将矩形 OABC 变为平行四边形 OA B C 的线性变换对应的矩阵 M ；

1 11

（2）矩阵 M 是否存在特征值？

若存在，求出矩阵M 的所有特征 值及其对应的一个特征向

量；若不存在，请说明理由．

11．如图，单位正方形 OABC 在二阶矩阵 T 的作用下，变成菱形 O A1B1C1．求矩阵 T；设双曲

线 F：

x2－y2=1 在矩阵 T 对应的变换作用下得到曲线 F´，求曲线 F´的方程．

12．如图，向 量 OA和OB 被矩阵 M 对应的变换作用后分别变成 OA/和OB/ ，

（1）求矩阵 M；

（2）求 y = sin（ x +

π

13．二阶矩阵 A，B 对应的变换对圆的区域作用结果如图所示.

（1）请写出一个满足条件的矩阵 A，B；

（2）利用

（1）的结果，计算C=BA，并求出曲线 x - y - 1 = 0 在矩阵 C 对应的变换作用下的

曲线方程.

14．如图所示，四边形 ABCD 和四边形 AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标

分别为 A（－1，2）、B（3，2）、C（3，－2）、D（－1，－2）、B′（3，7）、C′（3，3）．求将四

边形 ABCD 变成四边形 AB′C′D 的变换矩阵 M.

1．B

【解析】设第一个行列式中的四个数的平均值为 x , 第二个行列式中的四个数的平均值为

1

x , 以此类推，第 n 个行列式中的四个数的平均值为 x , 观察每个行列式，有第 i 个行列式的

2n

x -1

ii

ii

原式= （-8）⋅126 = -2008.

2004 - 4

8

+ 1 = 126 个。

故有：

3．

【解析】求出圆 C：

x2+y2=1 经过伸缩变换曲线 C′的方程，结合曲线 C′是焦点在 x 轴上的

椭圆，求出 a，b 满足条件，及 C′的离心率

满足条件，求出对应平面区域面积后，

代入几何概型公式，可得答案．

解：

x2+y2=1 经过伸缩变换可得曲线 C′，

故曲线 C′的方程为：

若线 C′是焦点在 x 轴上的椭圆则 a＞b

若 C′的离心率则 a＞2b

又由 0＜a＜2，0＜b＜2，

4． 4

3

⎛ 714 ⎫

ç⎪783

452

⎝⎭

比值的最小值分别为

7  4                      4

，  ， 2 ，再在其中取最小值为  .

5  3                      3

5．32

⎧3x - y = 22⎧ x = 8

24

1 - q

因此 q =

1

2

a

， a = 16 ，故无穷递缩等比数列{a } 的和为 S =  1 = 32 ．

1 n

6． （17,25）

10 1074

按顺序构成数列

{ }

n ，那么可

知其通项公式为

b - b

n n-1

= 2n + 5

，  利  用 累  加

法  可  知

b = （2n + 5 + 9）（n - 1） + 1 = （n + 7）（n - 1） + 1 = n2 + 6n - 6

n

， 由 于 存 在 正 整 数

s、t （1 < s < t ）

使 b1 , bs , bt 成等差数列，那么根据通项公式可知当 s=15,t=25 时能满足题

意，故可知得到一组 （s, t ） 的值 （17,25） ，答案为 （17,25） 。

7．

（1）P′（－1,2）

（2）y－x＝ y

2

【解析】掌握矩阵运算以及矩阵变换的规律,直接根据矩阵乘法的定义.矩阵的运算难点是乘

法运算，解题的关键是熟悉乘法法则,并且要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常见的矩

阵变换，明确矩阵变换的特点.对于矩阵乘法，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意

矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另对运算律的

在

灵活运用将有助于我们简化运算，但要十分注意的是，有些运算（如交换律和消去律） 矩

阵的乘法运算中并不成立．用矩阵解二元一次方程组，关键是把方程组转化为矩阵，而运算

中求矩阵的逆是重要的环节，在求逆之前首先必须熟悉公式再进行应用．

（1）

所以点 P（2,1）在 M 作用下的点 P′的坐标是 P′（－1,2）．

1

（2），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是

，则 M

＝           ⎧          ⎧x0 = y

x = y        y = y - x

，所以，所求曲线的方程是 y

－x ＝ y 2.

8．解：

（1）由题意，第 1 个阴影部分图形的面积为 22 - 12 ，第 2 个阴影部分图形的面积为

42 - 32 ，……，第 n 个阴影部分图形的面积为 （2n ）2 - （2n - 1）2 .（2 分）

- 12 ）+ （42 - 32 ）+ ⎡（2n ）2 - （2n - 1）2 ⎤

故 f （n） =

（2

2

n

⎣              ⎦

= 1 + 2 + 3 + 4 +

n

+ （2n - 1） + 2n

= 2n + 1

（2） a = 1 ， a = f 

（1） = 3 ， a = f （a ） = 2 ⨯ 3 + 1 = 7 ，

1232

当 n 为偶数时， a = f （n - 1） = 2n - 1 ，

n

当 n 为大于 1 的奇数时， a = f （a

nn-1

） = 2a

n-1

+ 1 = 2 [2（n -1） -1]+ 1 = 4n - 5 ，

⎧x ' = - y

⎪

9．（Ⅰ） ⎨

⎩2

【解析】（Ⅰ）由题意知，复合变换 R .σ 对应的矩阵为 AB ，根据矩阵的计算可求出

90

⎧x ' = - y

ç⎪

（

90

⎝ 2⎩2

⎧⎪ y = - x '

即 ⎨.

⎪⎩ x = 2 y '

⎛ 0 - 1⎫⎛ 1 0 ⎫

⎝1 0 ⎭

⎝

⎛ 0 - 1⎫ ⎛ 1 0 ⎫⎛ 0 - 1⎫

90

⎝⎝ 2

⎧x ' = - y

⎪

90

⎩2

（Ⅱ）设圆 C 上任意一点 P（ x, y） 在变换 R .σ 的作用下所得的点为 P ' （ x ' , y ' ） ，则由（Ⅰ）

90

⎧⎪ y = - x '

⎧x ' = - y

⎪

得 ⎨1，即 ⎨

⎩2

. 将其代入圆 C ：

x2+ y2 =1 得：

 （2 y ' ） 2 + （- x ' ） 2 = 1 ，所以曲

线 C ' 的方程是 x 2 + 4 y 2 = 1 .

⎛ 1⎫

10．

（1） M = ç 2

ç⎪

⎝ -10 ⎭

；

（2）不存在

【解析】

（1）矩 阵，是线性代数中的基本概念之一,一个 m ⨯ n 的矩阵就是 m ⨯ n 个数排成 m

行 n 列的一个数阵．由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一

些复杂的模型．矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分广泛， 掌握相乘

⎡ab ⎤ ⎡ x ⎤⎡ax + by⎤

⎢⎦⎣ y⎥ =⎢cx + dy ⎥

，列方程组求得；

（1）解：

设 M = ç   ⎪ ，依题意得 C （0, 2）

（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令 f （λ ）= 0 解方程可得特征值，再由特征值列

出方程组即可解得相应的特征向量．

⎛ ab ⎫

⎝ cd ⎭

⎛ 1 ⎫

⎝ cd ⎭⎝ 0 ⎭⎝ cd ⎭⎝ 2 ⎭⎝ 0 ⎭

⎧⎧1

⎪⎪

⎪⎪-1 ⎪

ç⎪

⎪⎪

⎪2d = 0⎪d = 0

（2）因为矩阵 M 的特征方程 f （λ） = λ +

1

1

2  -1

λ

1

= λ 2 + λ + 1 = 0 无解，

2

12⎥⎦

所以矩阵 M 没有特征值也没有特征向量 。

⎡2 1⎤

11．

（1）T= ⎢；

（2）x2-y2=3.

⎣

【解析】

（1）利用待定系数法，即可求矩阵 T；

（2）曲线 C 上任意一点 P（ x, y） ，根据矩阵变换公式求出对应的点 P ' （ x ' , y ' ） ，解出由 x ' , y '

表示 x, y 的式子，将点 P 的坐标代入曲线 C 的方程，化简即得曲线 C ' 的方程.

⎡ab ⎤⎡ab ⎤

（1）设 T= ⎢，由 ⎢

⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎧a = 2,

⎢0⎥ ⎣1⎦     ⎩c = 1.

⎡ab ⎤

由 ⎢

⎡0⎤ ⎡1⎤                   ⎡2 1⎤

⎢1⎥ ⎣2⎦ ⎩d = 2. ⎣

．

（2）设曲线 F 上任意一点 P（x，y）在矩阵 T 对应的变换作用下变为 P' （x'，y'），则

⎡21⎤

⎢⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦    ⎩

⎪ 3

⎧ 2x' - y'

x =      ,

22

因为 x2－y2=1，所以（2x´-y´） - （2y´-x´） =9，即 x´2-y´2=3，故曲线 F´的方程为 x2-y2=3.

12．

（1） M = ç   ⎪ ;

（2） y

⎛ 20 ⎫

⎝ 02 ⎭

/ = 2sin（

x /  π

2 + 3 ）

【解析】 1）由矩阵与变换的知识可知：

标变换公式 ⎨        对应的矩阵为：

ç⎪ ，

⎧x' = ax + by⎛ ab ⎫

（

⎩ y' = cx + dy⎝ cd ⎭

⎛ ab ⎫⎛ ab ⎫⎛ x ⎫⎛ x' ⎫

⎪ 可将点（x,y）变换为点 （ x⎪ç ⎪ = ç⎪ ；从而应用待

⎝⎝

定系数法，设出所要求的矩阵，再由已知条件代入即可列出方程组，解此方程组就可求出其

对应的矩阵；

（2）在函数 y = sin（ x + π

⎛ ab ⎫⎛ x ⎫⎛ x' ⎫⎧x' = ax + by

⎝ cd ⎭⎝ y ⎭⎝ y ' ⎭⎩ y

来，由于点 P（ x, y） 在函数 y = sin（ x +

π π

） 的图象上，将上式代入即得 y = sin（ x + ） 在 ϕ 作

3                               3

用后的函数解析式.

⎛ ab ⎫

⎝ cd ⎭

⎛ ab ⎫ ⎛1⎫⎛ 2 ⎫⎛ ab ⎫ ⎛ 1 ⎫⎛ 2 ⎫

⎝ cd ⎭ ⎝1⎭⎝ 2 ⎭⎝ cd ⎭ ⎝ 2 ⎭⎝ 4 ⎭

⎧ a + b = 2

⎪ c + d = 2

即：

 ⎨        , 解得

⎪⎩c + 2d = 4

⎧ a = 2

⎪ b = 0

⎨

⎪⎩d = 2

 从而有

M =ç   ⎪

⎛ 20 ⎫

⎝ 02 ⎭

（2）在 y = sin（ x + π

⎝ 02 ⎪ç y ⎪ç y' ⎪⎩ y' = 2 y⎪ y = 1 y'

x /π

y / = 2sin（+）

23

⎧ 1

2

⎩ 2

x'

，代入 y = sin（ x + π ） 后得：

3

⎛ 1

13．

（1） A = ç

ç 0

⎝

0 ⎫

2 ⎭

（

【解析】 1）由图形的变化可知二阶矩阵 A 对应的变换是横坐标不变，纵坐标变为原来一半

的变换，由此可得矩阵 A.矩阵 B 对应的变换是逆时针旋转 90 0的旋转变换，由此可得矩阵

B.

（2）由

（1）的结果，可得 C=BA，要求出曲线 x - y - 1 = 0 在矩阵 C 对应的变换作用下的曲

线方程.只需要在曲线 x - y - 1 = 0 上任取 一点，求出该点在矩阵 C 作用对应的点，再代入

已知的曲线方程 x - y - 1 = 0 即可得到结论.

⎡ 10⎤

⎥

⎢1⎥

⎣ 3⎦

⎡10⎤⎡10⎤ ⎡3 ⎤

−

⎣k

⎡ 10⎤

⎥ .

⎢

⎣ 3⎦