【解题策略】通过作辅助线构造直角三角形,设未知数,运用勾股定理列方程,休现了几何知识代数化的解题方法和数形结合的思想.
体验中考
1、分析直角三角形中已知两边长求第三边长,显然要用勾股定理,不过第三边不一定是斜边,所以要分情况讨论.①当第三边为斜边时,32+42=52,第三边长为5;②当4为斜边长时,42-32
=7,所以第三边长为7.故填5或7.
11
2、分析在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=BC=×6=3(cm).在Rt△ABD中,
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AD2=AB2-BD2=52-32=16,∴AD=4(cm).故填4.
规律·方法解决等腰三角形中线段长的问题常利用“三线合一”转化为直角三角形,然后利用勾股定理求解.
1.2能得到直角三角形吗
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用.
2、进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.
3、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.
【重点难点】
1、探索并掌握直角三角形的判别条件.
2、运用直角三角形判别条件解题.
知识概览图
勾股定理的逆定理内容:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形
勾股数:
满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数
新课导引
【问题链接】小明的爸爸为了画直角三角形,找来了长度分别为12cm,40cm的两条线,采用固定三边的方法,画出了两个图形,如下图所示,小明的爸爸所画的两个三角形是直角三角形吗?
怎样判定一个三角形是直角三角形呢?
点拨它们都是直角三角形.判定方法就是本节要学习的内容了.
教材精华
知识点1勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
拓展
(1)勾股定理与其逆定理的关系:
勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线垂直的方法之一,二者的条件和结论刚好相反.
(2)勾股定理的逆定理的延伸:
如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;如果a2+b2c2,那么这个三角形是锐角三角形.
(3)勾股定理的逆定理的应用:
应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形.在实际应用时,可用较小两边长的平方和与较长边长的平方作比较(数较大时,运用平方差公
式计算较为简便),若它们正好相等,则三角形为直角三角形,且较长边所对的角为直角.
知识点2勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
拓展
(1)对于任意两个正整数m,n(m>n>0),m2+n2,m2-n2和2mn这三个数就是一组勾股数,可见勾股数组有无数组.
(2)常见的勾股数组有:
①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,12,13;⑥9,2,15。
应熟记.
(3)3,4,5既是勾股数,又是三个连续整数,它们非常特殊,不要认为凡是三个连续整数都是勾股数.
(4)每组勾股数的相同正整数倍也是勾股数.
课堂检测
基础知识应用题
1、判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.若是,请指出哪个角是直角.
(1)在△ABC中,AC=12,AB=20,BC=16;
(2)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=6;
(3)一个三角形三边长a,b,c满足a2-b2=c2.
2、若△ABC的三边长a,b,c满足条件a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,试判断△ABC的形状.
综合应用题
3、如图1-24所示,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=12,
AD=13,∠B=90°,求四边形ABCD的面积.
4、如图1-25所示,在正方形ABCD中,E是BC边的中点,F在AB上,且BF=AB.4
(1)请你判断EF与DE的位置关系,并说明理由;
(2)若此正方形的面积为16,求DF的长.
5、甲、乙两艘轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲船每小时航行16海里,乙船每
小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里,如果知道甲船沿东北方向航行,你能知道乙船沿哪个方向航行吗?
探索创新题
6、古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数,你认为对吗?
如果对,你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
体验中考
1、如图1-27所示,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,在点A′处.
(1)
试说明B′E=BF;
2、已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为(
A.21B.15C.6D.以上答案都不对
学后反思
附:
课堂检测及体验中考答案课堂检测
1、解:
(1)因为AC2+BC2=122+162=400,AB2=400,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ABC是直角三角形,AB边所对的∠C是直角.
(2)因为AC2+BC2=32+42=25,AB2=36,所以AC2+BC2≠AB2,
所以△ABC不是直角三角形.
(3)因为a2-b2=c2,所以a2=b2+c2,所以这个三角形是直角三角形,且长为a的边所对的角是直角.
【解题策略】因为题目中所给条件是与三角形的边长有关的,所以可利用勾股定理的逆定理进行判断.注意要计算两条较小边长的平方和是否等于较长边长的平方.
2、分析由条件等式来判断三角形的形状,就是将已知的条件等式变形,再根据它的结构特点,得出a,b,c的关系,从而判断三角形的形状.
解:
由已知得a2+b2+c2-12a-16b—20c+200=0,
∴(a2-12d+36)+(b2-16b+64)+(c2-20c+100)=0,
∴(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0.
∵(a-6)2≥0,(b-8)2≥0,(c-10)2≥0,
∴a-6=0,b-8=0,c-10=0,∴a=6,b=8,c=10,
∴a2+b2=62+82=36+64=100=102=c2,
∴△ABC是直角三角形.
【解题策略】在此类题中,要判断的三角形一般都是特殊的三角形,如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形.解这类题时,要善于把已知的条件等式变形(配方或因式分解等),另外注意全面考虑问题.
3、分析由AB=3,BC=4,∠B=90°,想到连接AC,则Rt△ABC的面积可求,且可求出AC的长.在△ACD中,三边长已知,利用勾股定理的逆定理判断可知其是直角三角形,面积可求.
解:
连接AC.∵∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC2=AB2+BC2=25,∴AC=5.
在△ACD中,AC2+CD2=52+122=25+144=169,
而AD2=132=169,∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°.
11
∴S△ABC=×3×4=6,S△ACD=×5×12=30,
22
∴四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD=36.
【解题策略】本题综合运用了勾股定理及其逆定理.将不规则图形转化为规则图形是常用的解题方法.在这里,一方面要熟记常用的勾股数;另一方面要注意:
如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系,那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是不是直角三角形.
4、分析平面内不重合的两直线的位置关系有两种:
平行和相交,EF和DE都过E点,说明它们相交,若只考虑相交还不够,需考虑相交的特殊情况——垂直,从图中观察EF与DE是垂直的,设正方形边长为a,利用勾股定理,用含a的代数式分别表示DE2,EF2,DF2,再利用勾股定理的逆定理判定△DFE为直角三角形,由此得到DE⊥EF.
解:
(1)EF⊥DE.理由如下:
设正方形边长为a,
311
则AD=DC=a,AF=a,BF=a,BE=EC=a.
442
在Rt△DAF中,DF2=AD2+AF2=a2+(3a)2=a2+9a2=25a2.
41616
在Rt△CDE中,DE2=CD2+CE2=a2+(1a)2=a2+1a2=5a2.
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在Rt△EFB中,EF2=FB2+BE2=(1a)2+(1a)2=1a2+1a2=5a2.
4216416
∵DE2+EF2=5a2+5a2=25a2=DF2,
41616
∴△DFE为直角三角形,∠DEF=90°,∴EF⊥DE.
(2)∵正方形的面积为16,
∴a2=16.
225225
∵DF2=a2=×16=25,∴DF=5.
1616
【解题策略】此题考查的是勾股定理与其逆定理的综合运用,也可以用相似三角形的知识去解.
5、分析根据题意画出图1-26,由于甲船的航向已知,若能求出两船航向所成的角,就能知
道乙船的航向了.
解:
如图1-26所示,PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30(海里).因为242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,
所以∠QPR=90
即乙船沿西北方向航行.
同理,乙船也可能沿东南方向航行.
所以乙船沿西北或东南方向航行.
【解题策略】由勾股定理的逆定理,我们得到了∠QPR的度数,从而求得了乙船的航向.
6、分析显然c最大,只要验证a2+b2=c2是否成立即可.
解:
对,理由如下:
当m>1且m为整数时,c-a=m2+1-2m=(m-1)2>0,则c>a,又c-b=(m2+1)-(m2-1)=2>0,则c>b,从而得知c最大.
a2+b2=(2m)2+(m2-1)2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1=(m2+1)2=c2,即a2+b2=c2.又由题意知a,b,c均为正整数,所以a,b,c为勾股数.
当m=2时,a=4,b=3,c=5;
当m=3时,a=6,b=8,c=10;
当m=4时,a=8,b=15,c=17;
体验中考
1、解:
(1)由题意得B′F=BF,∠B′FE=∠BFE,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠B′EF=∠BFE,∴∠B′FE=∠B′EF,∴B′F=B′E.∴B′E=BF.
(2)a,b,c三者存在的一种关系是a2+b2=c2.理由如下:
连接BE,则BE=B′E,由
(1)知B′E=BF=c,由已知AE2+AB2=BE2.
∵AE=a,AB=b,∴a2+b2=c2.
【解题策略】a,b,c三者之间的关系不唯一,还可以是:
a,b,c三者存在的一种关系是a+b>c.理由如下:
连接BE,则BE=B′E,由
(1)知B′E=BF=c,∴BE=c,在△ABE中,AE+AB
>BE,∴a+b>c.
2、分析此题分两种情况.△ABC为钝角三角形.当∠BAC为钝角时,可利用勾股定理求出BD=15,CD=6,所以BC=BD+CD=21.当∠ACB为钝角时,D在BC的延长线上,可利用勾股定理求出BD=15,CD=6,所以BC=BD-CD=9.故选D.
1.3蚂蚁怎样走最近学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.
2、学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念.
3、在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
【重点难点】
1、探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理,并用它们解决生活实际问题.
2、利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理,解决实际问题.知识概览图
三边关系一勾股定理验证
直角三角形应用
直角三角形的判定一勾股定理的逆定理一应用
新课导引
【问题链接】如右图所示,一架25米长的云梯AB斜靠在一子底端B距墙脚O为7米,若梯子的顶端沿墙下滑4米到C,则梯水平方向上是否也滑动4米呢?
点拨】图中有两个直角三角形,运用勾股定理可建立这两个直角三角形的边的关系.梯子
在滑动前后的长度是不变的.在Rt△AOB中,∠AOB=90°,BO=7,AB=25,AO2=AB2-BO2=
252-72=576,∴AO=24,∴CO=AO-AC=24-4=20.在Rt△COD中,OD2=DC2-OC2=252-202=225,∴OD=15,∴BD=OD-OB=15-7=8(米),∴梯子的底部在水平方向上滑动了8米.
教材精华
知识点应用勾股定理解决实际问题
(1)解决两点距离问题:
正确画出图形,已知直角三角形两边长,利用勾股定理求第三边长.
(2)解决航海问题:
理解方向角等概念,根据题意画出图形,利用勾股定理或其逆定理解题.
(3)解决实际问题中两线段是否垂直的问题:
以已知两线段为边构造一个三角形,根据三边的长度,利用勾股定理的逆定理解题.
(4)解决折叠问题:
正确画出折叠前、后的图形,运用勾股定理及方程思想解题.
(5)解决梯子问题:
梯子架到墙上,梯子、墙、地面可构成直角三角形,利用勾股定理等知识解题.
(6)解决侧面展开问题:
将立体图形的侧面展开成平面图形,利用勾股定理解决表面距离最短的问题.
规律方法小结运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时,应具体问题具体分析,灵活运用所学的知识.其中利用勾股定理列方程是常用方法之一.
课堂检测
基础知识应用题
1、有一圆柱形油罐,底面周长是12米,高是5米,现从油罐底部A点环绕油罐建梯子,正好到A点的正上方B点,则梯子最短需多少米?
2、节日庆典,需用彩灯装饰人民广场内的圆柱形建筑物,已知它的高为5米,底面周长为2
米,用彩灯环绕6周正好到达建筑物的顶端,则彩灯的长度至少是多少米?
综合应用题
3、如图1-37所示,将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,求△BED的面积.
4、在一棵