法拉第电磁感应定律动生感生.docx

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法拉第电磁感应定律动生感生

法拉第电磁感应定律（动生感生）

学生姓名

年级

学科

物理

授课教师

日期

时段

核心内容

法拉第电磁感应定律

课型

一对一/一对N

教学目标

1．学会熟练运用左手定则、右手定则、楞次定律等知识点的运用；

2．学会区分感生电动势和动生电动势的区别以及联系；

3．会计算一般的感应电动势大小，并与欧姆定律等知识点相结合。

重、难点

电磁感应定律的运用

精准诊查

课首沟通

1．还记得如何判断感应电流的方向吗？

说说看

2．什么叫感生电动势？

什么叫动生电动势？

能说说它们的区别和联系吗？

3．怎样计算感应电动势？

知识导图

课首小测

1.（2011年珠海一模）如图所示，间距为L的平行金属导轨上有一电阻为r的金属棒ab与导轨接触良好。

导轨一端连接电阻R，其它电阻不计，磁感应强度为B，金属棒ab以速度v向右作匀速运动，则（）

A．回路中电流为逆时针方向

B．电阻R两端的电压为BLv

C．ab棒受到的安培力的方向向左

D．ab棒中电流大小为

【题型】多项选择题

【知识点】电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律；安培力

【参考答案】AC

【解析】根据右手定则可以判断感应电流是逆时针方向，再用右手定则判断其所受安培力向左，故选择AC，ab两端的电压不是感应电动势，而应该把ab当做电源来看，其两端电压是路端电压，所以B错误，电流应该用感应电动势除以总电阻，可以判断D错误，故选择AC

2.如图所示，电阻R＝1Ω、半径r1＝0.2m的单匝圆形导线框P内有一个与P共面的圆形磁场区域Q，P、Q的圆心相同，Q的半径r2＝0.1m．t＝0时刻，Q内存在着垂直于圆面向里的磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系是B＝2－tT．若规定逆时针方向为电流的正方向，则线框P中感应电流I随时间t变化的关系图象应该是下列选项中的（　　）

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；电磁感应中磁变类问题

【参考答案】C

【解析】有效面积是里边的小圆，其次根据B-t图像的斜率可判断电流方向及大小，故选择C

3．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a、b两点间的电势差绝对值最大的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律

【参考答案】B

【解析】注意一下，要把切割的那条边当做电源，对于B选项，是ab边切割，所以ab两边电压为路端电压，最大，故选择B

4．闭合回路由电阻R与导线组成，其内部磁场大小按B-t图变化，方向如图所示，则回路中（）

A．电流方向为顺时针方向B．电流强度越来越大

C．磁通量的变化率恒定不变D．产生的感应电动势越来越大

【题型】多项选择题

【知识点】电磁感应与图像；电磁感应中磁变类问题

【参考答案】AC

【解析】根据“增反减同”可以判断电流方向为顺时针方向，感应电动势的大小取决于磁通量的变化率，在图像中应该看斜率，斜率不变，感应电动势不会发生变化，故选择AC

5．关于感应电动势的大小，下列说法中正确的是，（）

A．跟穿过闭合电路的磁通量有关系

B．跟穿过闭合电路的磁通量的变化大小有关系

C．跟穿过闭合电路的磁通量的变化快慢有关系

D．跟电路的电阻大小有关系

【题型】单选题

【知识点】法拉第电磁感应定律

【参考答案】C

6.（2008年全国卷1）如图，一个边长为l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框．在t=0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域．以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正．下列表示i-t关系的图示中，可能正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律

【参考答案】C

7．如图所示，MN和PQ是固定在水平面内间距L＝0.20m的平行金属轨道，轨道的电阻忽略不计.金属杆ab垂直放置在轨道上.两轨道间连接有阻值为R0＝1.5Ω的电阻，ab杆的电阻R＝0.50Ω.ab杆与轨道接触良好并不计摩擦，整个装置放置在磁感应强度为B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向下.对ab杆施加一水平向右的拉力，使之以v＝5.0m/s的速度在金属轨道上向右匀速运动.求：

（1）通过电阻R0的电流;

（2）对ab杆施加的水平向右的拉力的大小;

（3）ab杆两端的电势差.

【题型】计算题

【知识点】电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律；安培力；欧姆定律

【参考答案】

（1）0.25A

（2）0..25N（3）0.375V

互动导学

知识梳理

导学一：

法拉第电磁感应定律

知识点讲解1：

感生电动势

1．内容：

电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。

2．公式：

（n指线圈匝数）

3．注意：

①要严格区分磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率。

②磁通量的变化率与匝数的多少无关。

③此公式在中学阶段只能用来计算某段时间内的平均感应电动势。

④若ΔΦ由磁场的变化引起，则ΔΦ/Δt常用SΔB/Δt来计算。

⑤若ΔΦ是由回路面积的变化引起时，ΔΦ/Δt常用BΔS/Δt来计算。

例题

1.下列几种说法中正确的是：

（）

A．线圈中的磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大

B．穿过线圈的磁通量越大，线圈中的感应电动势越大

C．线圈放在磁场越强的位置，线圈中的感应电动势越大

D．线圈中的磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势越大

【题型】单选题

【知识点】法拉第电磁感应定律；磁通量

【参考答案】D

【解析】感应电动势的大小

，可知其是由磁通量的变化率所决定，即变化快慢，故选择D

2.如图所示是穿过某闭合回路的磁通量随时间变化的四种情况，在t0时间内可使该回路产生恒定感应电流的是（）

A．

B．

C．

D．

【题型】多项选择题

【知识点】法拉第电磁感应定律；磁通量；电磁感应中的磁变类问题

【参考答案】CD

【解析】感应电动势仅由磁通量变化率决定，故选择斜率不变的选项CD

3.如图甲所示，A、B是两个同心圆，半径之比rA:

rB=2:

1，A、B是由相同材料，粗细一样的导体做成的，小圆B外无磁场，B内磁场的变化如图乙所示，求A、B中电流大小之比（不计两圆中电流形成磁场的相互作用）。

【题型】计算题

【知识点】法拉第电磁感应定律；磁通量；电磁感应中的磁变类问题

【参考答案】1:

2

【解析】有效面积是一样的，因为只有B中有磁场，由

可知感应电动势大小相等，I=E/R，可知电流仅与电阻有关，导线越长电阻越大，电流越小RA:

RB+2:

1，故IA:

IB=1:

2

【思维对话】学生常见的思维障碍有：

（1）区分不出磁通量、磁通量改变量以及磁通量改变率之间的关系

（2）计算电动势的时候，常常仅会套公式，不注意S应该是有效面积

针对以上的情况，建议采取以下的教学策略：

思维障碍点

（1）突破方法：

可以以类比的方式，从以前的功及功率，或者速度和加速度的区别进行讲解，让孩子区分这几个物理量，更好的理解公式

思维障碍点

（2）突破方法：

多出两道陷阱题目，让孩子错几次，能够更加好的让其记忆；也可以从磁通量的定义上去分析清楚，让其知道什么才是有效面积

我爱展示

1.一矩形线圈位于一变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面向里，如图甲所示。

磁感应强度B随t的变化规律如图乙所示。

以图甲所示中线圈上箭头所示方向的电流为正。

则以下关于线圈中产生的感应电流I随时间t变化的图像正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；法拉第电磁感应定律；；楞次定律；安培力；电磁感应中磁变类问题

【参考答案】B

2.（2011年广东理综）将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是（）

A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关

B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大

C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大

D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中磁变类问题；磁通量

【参考答案】C

知识点讲解2：

动生电动势

当导体在匀强磁场中切割磁感线时，电动势的表达式：

E=BLvsinθ。

而切割磁感线的那部分导体相当于电源。

该电源的正负极由楞次定律来确定，注意电源内部电流是由负极流向正极。

（1）此公式中的θ为速度与磁场方向间的夹角。

当v垂直于B时，也垂直于L，且L也垂直于B时，可简化为E=BLv。

（2）此公式一般用于匀强磁场（或导体所在位置的各点B均相同），且到个各部分的速度均相同的情况下。

若切割速度为瞬时值，则E为瞬时电动势。

该公式既可求瞬时电动势，也可求平均电动势。

（3）若导体棒绕某一固定转轴切割磁感线，虽然棒上各点的切割速度并不相同，但可用棒中点的速度等效替代切割速度，常用公式E=BLv中。

①转动轴与磁感线平行

如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直于纸面向外，长L的金属棒oa以o为轴在该平面内以角速度ω逆时针匀速转动。

求金属棒中的感应电动势。

②线圈的转动轴与磁感线垂直

如图所示，矩形线圈的长、宽分别为L1、L2，所围面积为S，向右的匀强磁场的磁感应强度为B，线圈绕图示的轴以角速度ω匀速转动从图示位置开始计时，则感应电动势的瞬时值为E=nBSωcosωt

结论：

感应电动势与线圈的形状和转动轴的具体位置无关（但是轴必须与B垂直）

（4）公式中的L为有效切割长度，即垂直与B、v且处于磁场中的直线部分长度；此公式是法拉第电磁感应定律在导体切割磁感线的具体表达式。

例题

1.如图所示，两根相距L的平行直导轨ab、cd，b、d间连有一固定电阻R，导轨电阻可忽略不计。

MN为放ab和cd上的一导体杆，与ab垂直，其电阻也为R。

整个装置处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于导轨所在平面（指向图中纸面内）。

现对MN施加一力使它沿导轨方向以速度v做匀速运动，用U表示MN两端电压大小，则（）

A．U=BLv/2，流过固定电阻R的感应电流由b到d

B．U=BLv/2，流过固定电阻R的感应电流由d到b

C．U=BLv，流过固定电阻R的感应电流由b到d

D．U=BLv，流过固定电阻R的感应电流由d到b

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律

【参考答案】A

【解析】用右手定则判断，可知电流方向是逆时针方向，故排除BD，根据E=BLv算出感应电动势，但是要注意MN两端电压并不是感应电动势，而应该是路端电压，所以再算电流I，再算出U，可知A对

2.一直升飞机停在南半球某处上空。

设该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B。

直升飞机螺旋桨叶片的长度为L，螺旋桨转动的频率为f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动。

螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如图所示。

如果忽略到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则（）

A．E=πfL2B，且a点电势低于b点电势

B．E=2πfL2B，且a点电势低于b点电势

C．E=πfL2B，且a点电势高于b点电势

D．E=2πfL2B，且a点电势高于b点电势

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律

【参考答案】A

【解析】根据

，

=2πf，代入可得E=πfL2B，排除BC，切割部分要看成电源，电源内部电流由负极流向正极，由此可判断出a点电势低于b点电势

3.如图所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右匀速直线运动，经过半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是（）

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律

【参考答案】A

【思维对话】学生常见的思维障碍有：

（1）会错误的把导体两端电压当做电动势来对待，也会错误的认为电流是由电势高的流向电势低的

（2）计算电动势的时候，常常仅会套公式，不注意L应该是有效长度

针对以上的情况，建议采取以下的教学策略：

思维障碍点

（1）突破方法：

此类问题一般都是由于学生不知道切割导线应该相当于电源所导致，所以在讲的时候可以多强调几次，把等效电路让学生画一画，这样学生才能记忆深刻

思维障碍点

（2）突破方法：

可以联系实际，告诉孩子什么叫切割，没有在磁场中的会不会切割？

在磁场中沿着磁场方向的会不会切割？

可以用一些笔或者绳子什么的作为道具，让学生自己体验一下

我爱展示

1.如图所示，一闭合直角三角形线框以速度v匀速穿过匀强磁场区域。

从BC边进入磁场区开始计时，到A点离开磁场区为止的过程中，线框内感应电流的情况（以逆时针方向为电流的正方向）是图中的（　）

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；楞次定律；电磁感应中切割类问题

【参考答案】A

【解析】刚进入磁场时，由楞次定律（根据增反减同）可判断产生的感应电流为逆时针方向，由E=Bvl可知，由于切割的有效线段越来越短，所以E也越来越小，I也是越来越小，可排除B和C选项；完全进入时由于磁通量不发生变化，感应电动势为0V，同理可判断线圈运动出磁场时感应电流为顺时针方向，并且越来越小，故A正确。

2.如图所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨接触点之间的距离为L，金属棒与导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和棒的电阻，则流过金属棒中的电流为（）

A．I＝

B．I＝

C．I＝

D．I＝

【题型】单选题

【知识点】电磁感应与图像；电磁感应中切割类问题

【参考答案】B

【解析】题中L的有效长度为

，故E＝Bv

。

据闭合电路欧姆定律得I＝

.

导学二：

电磁感应综合

知识点讲解1：

电磁感应结合基本电路

把切割导线或者感应的那部分导线当成电源，画出简单的等效电路图，运用欧姆定律求解

例题

1.如图所示，圆环a和圆环b半径之比为2:

1，两环用同样粗细的、同种材料的导线连成闭合回路，

连接两圆环电阻不计，匀强磁场的磁感强度变化率恒定，则在a环单独置于磁场中和b环单独置于磁场中两种情况下，M、N两点的电势差之比为（）

A．4:

1B．1:

4C．2:

1D．1:

2

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中磁变类问题；欧姆定律

【参考答案】C

我爱展示

1.如图所示，用一阻值为R的均匀细导线围成的金属环半径为a，匀强磁场的磁感应强度为B，垂直穿过金属环所在平面．电阻为

的导体杆AB，沿环表面以速度v向右滑至环中央时，杆的端电压为（）

A．BavB．

Bav

C．

BavD．

Bav

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中切割类问题；欧姆定律

【参考答案】C

【解析】当电阻为

的导体杆AB沿环表面以速度v向右滑至环中央时，这个回路的总电动势为：

E＝2Bav.并联的两个半圆环的等效电阻为

，杆的端电压为UAB＝E·

＝

Bav.

知识点讲解1：

电磁感应结合基本受力

把切割导线或者感应的那部分导线当成电源，产生电流，在磁场中就会受到安培力作用，由于安培力与电流大小有关，故就会发生变化，变大或者变小，我们可以通过受力分析，来分析其运动过程

例题

1.如图所示，电阻不计的平行金属导轨MN和OP放置在水平面内，MO间接有阻值为R＝3Ω的电阻，导轨相距d＝1m，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T，质量为m＝0.1kg，电阻为r＝1Ω的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好。

用平行于MN的恒力F＝1N向右拉动CD、CD受摩擦阻力f恒为0.5N，求：

（1）CD运动的最大速度是多少？

（2）当CD到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少？

（3）当CD的速度为最大速度的一半时，CD的加速度是多少？

【题型】计算题

【知识点】电磁感应中切割类问题；欧姆定律；安培力

【参考答案】

（1）8m/s

（2）3W（3）2.5m/s2

【解析】

（1）设CD棒运动速度为v，则：

导体棒产生的感应电动势为：

E＝Bdv

据闭合电路欧姆定律有：

I＝

则安培力为：

F0＝BdI

据题意分析，当v最大时，有：

F－F0－Ff＝0

联立得：

vm＝

＝8m/s

（2）棒CD速度最大时同理有：

Em＝BdvmIm＝

而PRm＝I

·R

联立得：

PRm＝

＝3W

（3）当CD速度为

vm时有：

E′＝Bdvm/2I＝

F′＝BId

据牛顿第二定律有：

F－F′－Ff＝ma

联立得：

a＝2.5m/s2

我爱展示

1.如图所示，水平放置的平行金属导轨MN和PQ，相距L=0.50m，导轨左端接一电阻R=0.20Ω，磁感应强度B=0.40T的匀强磁场方向垂直于导轨平面，导体棒ac垂直导轨放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计．当ac棒以v=4.0m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：

（1）ac棒中感应电动势的大小；

（2）回路中感应电流的大小和方向；

（3）维持ac棒做匀速运动的水平外力F的大小和方向．

【题型】计算题

【知识点】电磁感应中切割类问题；欧姆定律；安培力

【参考答案】

（1）0.80V

（2）4.0A，逆时针方向（3）0.80N，水平向右

【解析】

（1）根据法拉第电磁感应定律，ac棒中的感应电动势为E=BLυ=0.40×0.50×4.0V=0.80V

（2）根据闭合电路欧姆定律，感应电流大小为

由右手定则可知，回路中感应电流的方向为aMRPca（或逆时针方向）

（3）当ac棒向右匀速运动时，ac棒中有由c向a的电流，根据左手定则可知ac棒所受的磁场力F安水平向左．为维持ac棒做匀速运动，应施加一个与F安等值反向的水平外力F．即F=F安=BIL=0.40×4.0×0.50N=0.80N

能力展示

限时考场模拟：

30分钟完成

1.如图中，长为L的金属杆在外力作用下，在匀强磁场中沿水平光滑导轨匀速运动，如果速度v不变，而将磁感强度由B增为2B。

除电阻R外，其它电阻不计。

那么下面说法不正确的是（）

A．作用力将增为4倍

B．作用力将增为2倍

C．感应电动势将增为2倍

D．感应电流的热功率将增为4倍

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中切割类问题；欧姆定律；安培力

【参考答案】B

2.如图10所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从如图所示的位置匀速拉出匀强磁场。

若第一次用0.3s时间拉出，外力所做的功为W1，通过导线截面的电量为q1；第二次用0.9s时间拉出，外力所做的功为W2，通过导线截面的电量为q2，则（）

图10

A．

B．

C．

D．

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中切割类问题；欧姆定律；安培力

【参考答案】C

3.如图所示，xoy坐标系y轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为B，一个围成四分之一圆形的导体环oab，其圆心在原点o，半径为R，开始时在第一象限。

从t=0起绕o点以角速度ω逆时针匀速转动。

试画出环内感应电动势E随时间t而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。

【题型】作图题

【知识点】电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律

【参考答案】

4.（09年广东）如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线与阻值为2R的电阻R1连结成闭合回路。

线圈的半径为r1。

在线圈中半径为r2的圆形区域存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示。

图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0。

导线的电阻不计。

求0至t1时间内：

（1）通过电阻R1上的电流大小和方向；

（2）通过电阻R1上的电量q及电阻R1上产生的热量。

【题型】计算题

【知识点】电磁感应中磁变类问题；欧姆定律；楞次定律

【参考答案】

（1）

，通过电阻

上的电流方向为从b到a

（2）

，

【解析】

（1）由图象分析可知，0至

时间内

由法拉第电磁感应定律有

而

由闭合电路欧姆定律有

联立以上各式解得通过电阻

上的电流大小为

由愣次定律可判断通过电阻

上的电流方向为从b到a

（2）通过电阻

上的电量

通过电阻

上产生的热量

课后作业

1.（2011年惠州调研三）如图26甲所示，光滑导体框架abcd水平放置，质量为m的导体棒PQ平行于bc放在ab、cd上，且正好卡在垂直于轨道平面的四枚光滑小钉之间。

回路总电阻为R，整个装置放在垂直于框架平面的变化的磁场中，磁场的磁感强度B随时间t的变化情况如图26乙所示（规定磁感强度方向向上为正），则在0-t时间内，关于回路内的感应电流I及小钉对PQ的弹力N，下列说法中正确的是（）

图26

A．I的大小和方向都在变化B．I的大小和方向都不发生变化

C．N的大小和方向都不发生变化

D．N的大小发生了变化，方向也发生了变化

【题型】多项选择题

【知识点】电磁感应中磁变类问题；楞次定律；安培力

【参考答案】BD

2.如图甲所示，长直导线与闭合线框位于同一平面内，长直导线中的电流i随时间t的变化关系如图乙所示，在0～

时间内，长直导线中电流向上，则线框中感应电流的方向与所受安培力情况是（）

A．0～T时间内线框中感应电流方向为顺时针方向

B．0～T时间内线框中感应电流方向为先顺时针方向后逆时针方向

C．0～T时间内线框受安培力的合力向左

D．0～

时间内线框受安培力的合力向右，

～T时间内线框受安培力的合力向左

【题型】单选题

【知识点】电磁感应中磁变类问题；楞次定律；安培力

【参考答案】A

3.如图所示，导体框架的平行导轨间距d＝1m，框架平面与水平面夹角

＝30°，匀强磁场方向垂直框架平面向上，且B＝0.2T，导体棒ab的质量m＝0.2kg，R=0.1

，水平跨在导轨上，且可无摩擦滑动（g取10m/s2）

求：

（1）试分析ab棒的运动性质。

（2）ab下滑的最大速度

（3）以最大速度下滑时，ab棒上的电热功率。

【题型】计算题

【知识点】电磁感应中切割类问题；法拉第电磁感应定律；安培力；欧姆定律

【参考答案】

（1）做加速度减小的加速运动

（2）2.5m/s（3）2.5W

4.如图所示，abcd是由粗裸铜导线连接两个定值电阻组成的闭合矩形导体框，水平放置，金属棒ef与ab及cd边垂直，并接触良好，空间存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，已知电阻R1=2R，R3=3R，其它部分的电阻都可忽略不计，a