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1我们‖打〈败〉了敌人。
②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。
排列、组合问题基本题型及解法
同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.
一、相邻问题“捆绑法”
将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.
例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？
分析：
先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有
＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有
＝2种，所以共有6×2＝12种排法.
二、不相邻问题“插空法”
该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）.
例27个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？
.
分析：
先将其余5个同学先全排列，排列故是
＝120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有
＝2种方法.则共有
＝440种排法.
三、定位问题“优先法”
指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.
例36个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种.
分析：
优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有
种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有
种方法.则共
＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.
四、同元问题“隔板法”
例410本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？
分析：
在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：
××××××××××
一种插法对应于一种分法，则共有
＝84种分法.
五、先分组后排列
对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.
例5由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）
（A）210个（B）300个（C）464个（D）600个
分析：
由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有
个、
个、
个、
个、
个，合计300个，所以选B
例6用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?
【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有
种，其中0居首位的有
种，故符合条件的五位数共有
＝11040个.
【解法2】按元素分类：
奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8.
把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：
①不含0的；②含0的.
①不含0的：
由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有
个；
②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有
种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有
种排法.
综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有
＋
＝11040个.
六、间接法
如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”.
例7（97年高考题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（）
（A）144种（B）147种（C）150种（D）141种
分析：
从10个点中任取四点，总数为
.其中四点共面的有三种情况：
①共面的6个点中任意4点，共有4
种；②任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种；③相邻两面三角形中位线的4个端点共面，共有3种.所以适合条件的取法有
－4
－6－3＝141（种），因此选D.
七、交叉问题——韦恩图
例8由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？
【解】设A＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求
，画韦恩图如图，阴影部分
即
，从图中看出
.
又
，由性质2，有
即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知
.
即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知
，
所以
＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.
四. 定序问题用除法
对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。
解题方法是：
先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
解：
不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有：
（个）
五. 分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
解：
9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。
六. 复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。
在应用此法时要注意做到不重不漏。
例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
解：
从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：
（种）。
七. 多元问题用分类法
按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。
例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
解：
设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。
（1）若c＝0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，，），故有：
3×3－2＝7（条）。
（2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：
3×3×4＝36（条）。
从而符合要求的直线共有：
7＋36＝43（条）
八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。
例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
解：
可分两步进行：
第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：
（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有：
（种）。
因此共有36种方案。
九. 隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例9. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？
解：
6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：
（种）
2006年全国高考数学试题分类汇编——排列组合
1．[2006年高考全国卷Ⅰ（河南,河北,广西等）理第12题]
设集合
。
选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有
A．
B．
C．
D．
2．[2006年高考全国卷Ⅰ（河南,河北,广西等）理第15题，文第16题]
安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。
（用数字作答）
3．[2006年高考全国卷Ⅱ（吉林,黑龙江,内蒙,贵州,云南等）文第12题]
5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种（B）180种（C）200种（D）280种
4．[2006年高考北京卷文第4题]
在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有
（A）36个（B）24个
（C）18个（D）6个
5．[2006年高考北京卷理第3题]
在
这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A）36个（B）24个
（C）18个（D）6个
6．[2006年高考天津卷理第5题]
将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
7．[2006年高考天津卷文第16题]
用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有
个（用数字作答）．
8．[2006年高考重庆卷理第8题]
将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A）３０种 （B）９０种
（C）１８０种 （D）２７０种
9．[2006年高考重庆卷文第9题]
高三
（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
（A）1800（B）3600（C）4320（D）5040
10．（2006年高考辽宁卷理第15题，文第16题）
5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有________种．（以数作答）
11．[2006年高考山东卷理第9题，文第11题]
已知集集合A=｛5｝，B={1，2}，C＝｛1，3，4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
（A）33（B）34（C）35（D）36
12．[2006年高考湖南卷理第6题]
某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（）
A.16种B.36种C.42种D.60种
13．[2006年高考湖南卷文第6题]
在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是
A．6 B.12 C.18 D.24
14．[2006年高考湖北卷理第14题]
某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。
那么安排这6项工程的不同排法种数是。
（用数字作答）
15．[2006年高考湖北卷文第14题]
安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.（用数字作答）
16．[2006年高考福建卷文第8题]
从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有
（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种
17．[2006年高考陕西卷文第15题]
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种．
18．[2006年高考陕西卷理第16题]
某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有种．
19．[2006年高考江苏卷第13题]
今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
参考答案
1．B 2．2400 3．A 4．A 5．B 6．A
7．24 8．B 9．B 10．48 11．A 12．D
13．B 14．20 15．78 16．B 17．1320 18．600
19．1260
数量关系中排列组合问题的七大解题策略
排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这
部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。
解答排列组合问题，必须认真审题，明确是
属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用
基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。
一、排列和组合的概念
排列：
从n个不同元素中，任取m个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合：
从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题策略
1.特殊优先法
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：
先考虑
满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。
例：
从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿
者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）
（A）280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种
正确答案：
【B】
解析：
由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工
作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4,1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导
购、保洁三项不同的工作有A（5,3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有C（4,1）×A（5,3）=240
种，所以选B。
2．科学分类法
问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地
进行解答，避免重复或遗漏现象发生。
同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。
例：
某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有
（）种。
A.84 B.98 C.112 D.140
正确答案【D】
解析：
按要求：
甲、乙不能同时参加分成以下几类：
a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种；
b．乙参加，甲不参加，同（a）有56种；
c．甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C（8，6）=28种。
故共有56+56+28=140种。
3.间接法
即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。
为求完成某件事的方法种数,如果我们分
步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有
效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.
例：
从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
A．240 B．310 C．720 D．1080
正确答案【B】
解析：
此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男
生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。
4.捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体
参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
注意：
其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都
应用在不同物体的排序问题中。
例：
5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
A．240 B．320 C．450 D．480
正确答案【B】
解析：
采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A（6，6）=6x5x4x3x2
种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共
有：
A（6，6）×A（3，3）=320（种）。
5.插空法
所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相
邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。
注意：
a.首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。
b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。
c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
例：
若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两
端，则有多少排队方法？
A．9 B．12 C．15 D．20
正确答案【B】
解析：
先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不
站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。
6.插板法
所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1
的板插入元素之间形成分组的解题策略。
注意：
其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
例:
将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A．24 B．28 C．32 D．48
正确答案【B】
解析：
解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。
因此
问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空
里，即可顺利的把8个球分成三组。
其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之
间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。
因为每个盒子至少放一个球，因此
两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是
C（8，2）=28种。
（注：
板也是无区别的）
7．选“一”法，类似除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排
列数除以这几个元素的全排列数。
这里的“选一”是说：
和所求“相似”的排列方法有很多，我们只
取其中的一种。
例：
五人排队甲在乙前面的排法有几种？
A．60 B．120 C．150 D．180
正确答案【A】
解析：
五个人的安排方式有5!
=120种，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形（这里没有提到
甲乙相邻不相邻，可以不去考虑），题目要求之前甲在乙前面一种情况，所以答案是A（5,5）÷A（2,2）=60
种。
以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握。
最后，行测中数量关系的题目部分难度比
较大，答题耗时比较多，希望考试调整好答题的心态和答题顺序，在备考过程中掌握好技巧和方法，提
高答题的效率。
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