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1、anwnvtg排列、 .1 我们打败了敌人。 我们把敌人打败了。排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有6种，然后再将甲、乙二人全排列有2种，所以共有6212种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元

2、素形成的空位中（注意两端）.例2 7个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图00000“”表示空位，“0”表示5个同学）有2种方法.则共有440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有种排法.然后将其余5个排在余下的5个位置上，有种

3、方法.则共480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.四、同元问题“隔板法”例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： 一种插法对应于一种分法，则共有84种分法.五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）（A）210个 （B）300个 （C）464个 （D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种

4、类型，每一种类型分别有个、个、个、个、个，合计300个，所以选B例6 用0，1，2，3，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有种，其中0居首位的有种，故符合条件的五位数共有11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：不含0的；含0的.不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个；含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有种排法.综合和，由分类计数原理，

5、符合条件的五位数共有11040个.六、间接法如果一个问题直接考虑，比较复杂，很难得出结论，可考虑采用“间接法”.例7（97年高考题）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ）（A）144种 （B）147种 （C）150种 （D）141种分析：从10个点中任取四点，总数为.其中四点共面的有三种情况：共面的6个点中任意4点，共有4种；任一棱上的3点与其对棱中点共面的共有6种；相邻两面三角形中位线的4个端点共面，共有3种.所以适合条件的取法有463141（种），因此选D.七、交叉问题韦恩图例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位

6、数字不是3的自然数？ 【解】设A满足题设条件，且百位数字是3的自然数，B满足题设条件，且比20000大的自然数，则原题即求，画韦恩图如图，阴影部分即，从图中看出.又，由性质2，有即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知.即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知，所以78.即可组成78个符合已知条件的自然数.四.定序问题用除法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的

7、作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法。 例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？ 解：不考虑限制条件，组成的六位数有种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有： （个） 五.分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 例5.9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？ 解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。 六.复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽

8、象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（） A.150种B.147种C.144种D.141种 解：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法

9、共有：（种）。 七.多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。 例7.已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。 解：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。 （1）若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，），故有：3327（条）。 （2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。 从而符合要求的直线共有：73643（条） 八.排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排

10、列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因此共有36种方案。 九.隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。 例9.有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应

11、一种分配方案，故方案有：（种）2006年全国高考数学试题分类汇编排列组合12006年高考全国卷(河南,河北,广西等)理第12题 设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有 A B C D 22006年高考全国卷(河南,河北,广西等)理第15题，文第16题安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种。（用数字作答） 32006年高考全国卷(吉林,黑龙江,内蒙,贵州,云南等)文第12题5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A）150种 (

12、B)180种 (C)200种 (D)280种 42006年高考北京卷文第4题在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有 （A）36个 （B）24个（C）18个 （D）6个52006年高考北京卷理第3题在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A）36个 （B）24个（C）18个 （D）6个62006年高考天津卷理第5题将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A10种B20种C36种 D52种72006年高考天津卷文第16题用数字0，1，2

13、，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有个（用数字作答） 82006年高考重庆卷理第8题 将5名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有（A）种（B）种（C）种（D）种 92006年高考重庆卷文第9题高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）504010（2006年高考辽宁卷理第15题，文第16题）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中

14、至少有1名老队员，且1，2号中至少有1名新队员的排法有_种（以数作答） 112006年高考山东卷理第9题，文第11题已知集集合A=5，B=1，2，C1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)33 (B)34 (C)35 (D)36122006年高考湖南卷理第6题某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种132006年高考湖南卷文第6题在数字1,2，3与符号，五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是 A6

15、B. 12 C. 18 D. 24142006年高考湖北卷理第14题某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。（用数字作答） 152006年高考湖北卷文第14题安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 162006年高考福建卷文第8题从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 （A）108种（B）186种（C）216种（D）270种17

16、2006年高考陕西卷文第15题某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 182006年高考陕西卷理第16题 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 192006年高考江苏卷第13题今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）。 参考答案1B224003A4 A5B6A7248B9B104811A12D13B1420157816B17132018600191260数量关系中排列组合问题的

17、七大解题策略排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。 一、排列和组合的概念排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。二、七大解题策略1.特殊优先

18、法 特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）（A） 280种 （B）240种 （C）180种 （D）96种 正确答案：【B】解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=10种不同的选法，所以不

19、同的选派方案共有 C(4,1)A(5,3)=240种，所以选B。2科学分类法问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。例：某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有（）种。A.84 B.98 C.112 D.140正确答案【D】解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：a.甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C（8，5）=56种

20、；b乙参加，甲不参加，同（a）有56种；c甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C（8，6）=28种。故共有56+56+28=140种。3.间接法即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.例：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？A240 B310 C720 D1080正确答案【B】解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一

21、人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。4.捆绑法所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。例：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ A240 B320 C450 D480正确答案【B】解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次

22、是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6） A（3，3） =320（种）。5.插空法所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。例：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法？A9 B12 C15 D20正确答案【B】解析：先排好丙、丁、戊三个人

23、，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）A（2，2）=12种。6.插板法所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。注意：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。例:将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A24 B28 C32 D48正确答案【B】解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8

24、个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C（8，2）=28种。（注：板也是无区别的）7选“一”法，类似除法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 这里的“选一”是说：和所求“相似”的排列方法有很多，我们只取其中的一种。例：五人排队甲在乙前面的排法有几种？A60 B120 C150 D180正确答案【A】解析：五个人的安排方式有5!=120种，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形（这里没有提到甲乙相邻不相邻，可以不去考虑），题目要求之前甲在乙前面一种情况，所以答案是A(5,5)A(2,2)=60种。以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握。最后，行测中数量关系的题目部分难度比较大，答题耗时比较多，希望考试调整好答题的心态和答题顺序，在备考过程中掌握好技巧和方法，提高答题的效率。