利用希尔伯特变换实现单边带调制.docx
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利用希尔伯特变换实现单边带调制
希尔伯特变换与单边带幅度调制
摘要:
本文主要分析和讨论了希尔伯特变换、单边带调制及利用希尔伯特变换进行的单边调制的方法，并用MATLAB进行了实验和仿真。
仿真的结果验证了前面理论分析部分的正确性。
关键词：
希尔伯特变换单边带调制MATLAB
引言
希尔伯特变换（Hilbert）在通讯等领域有着非常广泛的应用，它是信号分析与处理的重要工具，可以用来进行信号的调制与解调、对信号功率的测量、对窄带信号的检测、实现对瞬时频率的估计等，并且它可以用来统一的描述各种模拟调制方式（DSB、SSB、AM、FM）的原理，揭示这些方式之间的内在联系，简化理论分析。
希尔伯特变换是一种将信号相移90度的运算，与其他变换不同，它是属于相同域的变换。
它有着一些很好的性质，如正交性、卷积特性等。
特别的，对于任意的一个因果系统，它的实部和虚部、模与幅角，都存在着一定的希尔伯特变换关系。
继而，由希尔伯特变换得出的任一信号的解析信号，其频率响应总是因果的，即其频率响应仅含有正频率项。
单边带调制（英文是Single-sidebandmodulation，缩写为SSB），是一种可以更加有效的利用电能和带宽的调幅技术。
单边带调制与残留边带调制（VSB）有密切的关系。
调幅技术输出的调制信号带宽为源信号的两倍。
单边带调制技术可以避免带宽翻倍，同时避免将能量浪费在载波上，不过因为设备变得复杂，成本也会增加。
单边带调制技术是原有频率分量的相对关系保持不变的调制技术，也可看作是调幅（AM）的一种特殊形式。
调幅信号频谱由载频fc和上、下边带组成，被传输的消息包含在两个边带中，而且每一边带包含有完整的被传输的消息。
因此，只要发送单边带信号，就能不失真地传输消息。
显然，把调幅信号频谱中的载频和其中一个边带抑制掉后，余下的就是单边带信号的频谱。
一种生成单边带调制信号的方法是将其中一个边带通过滤波去除，只留下上边带或者下边带。
而且载波一般也需要经过衰减或者完全滤除（抑制）。
这通常称为抑制单边带载波。
假如原调制信号的两个边带是对称的，那么经过这一变换后，并不会造成任何的信息遗失。
因为最终的射频放大器只发射一个边带，这样有效输出功率就会比普通的调幅方式大。
因此单边带调制具有使用带宽小、节省能量的优点，但是它无法被普通的调幅检波器解调。
单边带调制的实现方法有很多种，其中常用的一种就是利用希尔伯特变换，对调制信号进行频移，系统中包括载波信号和两个频移后的调制信号。
两个频移后的调制信号分别在载波信号的两侧，其中频率较低的那个信号是频率反转后的信号。
原理分析
在单边带幅度调制中，可以保留上边带，也可以保留下边带。
信号单边带调制可以提高信道的利用率。
信号单边调制（SSB）有上边带（USB）和下边带（LSB）两种，一般利用希尔伯特变换来实现。
1利用希尔伯特实现单边带调制的原理框图如下所示：
2
图1利用希尔伯特变换实现单边带调制框图
图中H（jw）为希尔伯特变换器。
2单边带幅度调制的时域表达式为
ｙUSB（t）=
x（t）cos（wct）-
xh（t）sin（wct）
ｙLSB（t）=
x（t）cos（wct）+
xh（t）sin（wct）
式中：
xh（t）为信号x（t）的希尔伯特变换。
3希尔伯特变换器的时域特性h（t）为
对上式进行傅里叶变化，可得希尔伯特变换器的频率特性H（jw）为：
由以上可知，希尔伯特变换器的幅度响应为︱H（jw）︱=1,相
位响应为φ（w）=-
sgn（w），因此，希尔伯特变换器是一个全通系统，称为90度相移器。
4希尔伯特变换器的输入与输出之间的关系在时域可表示为：
xh（t）=x（t）*h（t）=x（t）*
=
x（t）=xh（t）*[-h（t）]=xh（t）*（-
）=-
对上式进行傅里叶变换，便可知希尔伯特变换器的输入x（t）与输出xh（t）在频域具有以下关系：
Xh（jw）=X（jw）H（jw）=X（jw）[-jsgn（w）]
X（jw）=Xh（jw）[-H（jw）]=Xh（jw）[jsgn（w）]
5如果调制信号的频谱为X（jw），则对ｙUSB（t）及ｙLSB（t）的时域表达式两边进行傅里叶变换可得下式：
YUSB（jw）=
=
利用上面Xh（jw）与X（jw）的关系，将Xh（jw）用X（jw）替换得：
YUSB（jw）=
YLSB（jw）=
=
=
所以，单边带一条信号的频谱为：
YUSB（jw）=
X（j（w-wc））+
X（j（w+wc））
︱w︱≥wc
YLSB（jw）=
X（j（w-wc））+
X（j（w+wc））
︱w︱≤wc
到此，便可实现利用希尔伯特变换对任一调制信号进行的单边带幅度调制。
实验与仿真
利用希尔伯特变换实现对信号的单边带调制，并用MATLAB进行仿真。
⒈程序如下：
function[M,m,df]=fftseq（m,ts,df）
%[M,m,df]=fftseq（m,ts,df）
%[M,m,df]=fftseq（m,ts）
fs=1/ts;
ifnargin==2
n1=0;
else
n1=fs/df;
end
n2=length（m）;
n=2^（max（nextpow2（n1）,nextpow2（n2）））;
M=fft（m,n）;
m=[m,zeros（1,n-n2）];
df=fs/n;
function[M,m,df1,f]=T2F（m,ts,df,fs）
[M,m,df1]=fftseq（m,ts,df）;
f=[0:
df1:
df1*（length（m）-1）]-fs/2;
M=M/fs;
%已知调制信号被调信号
%当0echoon
t0=.15;%信号的持续时间
ts=0.001;%抽样间隔
fc=250;%载波频率
snr=10;%用dB表示信噪比
fs=1/ts;%抽样频率
t=[0:
ts:
t0];%时间向量
df=0.2;%所需的频率分辨率
Lt=length（t）;
snr_lin=10^（snr/10）;%信噪比
%被调信号
m=[ones（1,t0/（3*ts））,-2*ones（1,t0/（3*ts））,zeros（1,t0/（3*ts）+1）];
L=2*min（m）;
R=2*max（abs（m））;
pause
clf
figure
（1）
subplot（5,2,1）;
plot（t,m（1:
length（t）））;
axis（[0t0-R/2R/2]）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'调制信号'）;
pause%按任意键可看到调制信号的曲线
c1=cos（2*pi*fc*t）;
c2=sin（2*pi*fc*t）;
subplot（5,2,5）;
u1=m（1:
Lt）.*c1（1:
Lt）+hilbert（m（1:
Lt））.*c2（1:
Lt）;
plot（t,u1）;
axis（[0t0-RR]）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'单边带信号-下边带'）;
subplot（5,2,6）;
[U1,u1,df1,f]=T2F（u1,ts,df,fs）;
plot（f,fftshift（abs（U1）））;
xlabel（'f'）;
ylabel（'单边带信号-下边频谱'）;
pause
subplot（5,2,9）;
u2=m（1:
Lt）.*c1（1:
Lt）-hilbert（m（1:
Lt））.*c2（1:
Lt）;
plot（t,u2）;
axis（[0t0-RR]）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'单边带信号-上边带'）;
subplot（5,2,10）;
[U2,u2,df1,f]=T2F（u2,ts,df,fs）;
plot（f,fftshift（abs（U2）））;
xlabel（'f'）;
ylabel（'单边带信号-上边频谱'）;
pause
⒉仿真结果如下图所示：
仿真结果中显示了调制信号、单边带信号下边带及其频谱、单边带信号上边带及其频谱。
总结
希尔伯特变换在信号分析与处理中发挥着非常重要的作用，利用它可以很简便的得到信号的幅值、相位、频率等信息，它也因此在通信等很多场合得到了广泛的应用。
单边带调制的传输带宽不会大于消息带宽，为调幅的一半；载频被抑制；节省功率，大大减小了电台相互间的干扰。
此外，单边带传输受传播中频率选择性衰落的影响也较调幅为小，而且没有门限效应等。
这些优点就使单边带技术的应用远远超出了短波通信的范围。
所以，应用希尔伯特变换进行的单边带调制也有着非常明显的优点，在通信技术飞速发展的今天，它是一个相当重要的工具。
参考文献
[1]胡广书．现代信号处理教程．清华大学出版社，2004
[2]陈怀琛，吴大正，高西泉.MATLAB及在电子信息课程中的应用.电子工业出版社，2006
[3]陈后金.信号分析与处理实验.高等教育出版社，2006
[4]吴大正.信号与线性系统分析（第4版）.高等教育出版社，2005
[5]钱同惠.信号分析与处理.机械工业出版社，2006
[6]张葛祥，李娜.MATLAB仿真技术与应用.清华大学出版社，2003
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