Mathlab是一门高级语言.docx
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Mathlab是一门高级语言
Matlab模型
Mathlab是一门高级语言，风格有点象C语言，但语法更简单，易学易用，由于自带很多科学计算工具箱，比较适合科学计算。
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1.假定某种生命蛋白质是由四种氨基酸组合而成的。
这四种氨基酸的分子量分别为：
57，71，97，101。
实验测定蛋白质的分子量为800。
试问这种蛋白质的组成有哪几种可能？
〔讲评〕
生：
这是一个不定方程问题：
800=57×x1+71×x2+97×x3+101×x4
x1,x2,x3,x4为整数。
师：
我们可以用枚举的方法求出所有可能的x1,x2,x3,x4，x1可能的取值为0到15，x2可能的取值为0到11，x3可能的取值为0到8，x4可能的取值为0到7。
（参考：
m1.m）
2.当推销员从I城出发,经过每个城市一次且仅一次,最后回到I城,问按怎样的路线走,使总的行程路线最短.四个城市间的距离如下表:
I
II
III
IV
I
0
8
5
6
II
6
0
8
5
III
7
9
0
5
IV
9
7
8
0
〔讲评〕
师：
该问题可以用枚举法吗？
生：
可以，从I出发有3种选择，第二步只有2种选择，最后一步回I城。
师：
如何表示每一步的路长呢？
生：
设计一个4×4路长矩阵a,a（i,j）表示城i到城j的路长。
（参考：
m2.m）
3.某人从高为2000米载人热气球（此时气球静止）跳伞，重力加速度为g=10米/秒2，下落过程中，若打开降落伞，则空气阻力与速度的平方成正比：
f=0.0001mgv2（m为人伞的质量和），若一开始就打开降落伞，求落地时间。
〔讲评〕
生：
加速度a=10-0.001v2,变加速直线运动，没学过。
师：
在很短的时间内，变加速可不可以看做匀加速？
生：
可以，这样原运动过程可分割成很多段匀加速直线运动。
师：
难道跳伞的速度会无限的增大吗？
生：
当a=0时，速度就是常数了
讨论：
如果要控制落地时间，比如保证23秒时落地，求打开降落伞的时间，怎么办？
（参考：
m3.m）
4.求y=x2在区间[0,6]上的图像（曲线）长度。
〔讲评〕
师：
如何求曲线的长度？
生：
可将曲线分割成很多段，每段近似为直线段，这样曲线的长度近似为折线的长度。
讨论：
如何判断你的结果的精确程度？
（参考：
m4.m）
5.细菌在实验室封闭容器中养殖，每天都测一次细菌的数量，第一天，细菌数量为500，第二天为1000（此时生长率为2），后来随着细菌数量的剧增，生长率越来越低，当细菌数目为10000时，生长率才1.1，也就是说，该天的二天细菌数不过11000。
如果生长率是细菌数目的线性函数，问细菌数目最后有没有可能达到一个稳定的水平，是多少？
〔讲评〕
师：
如何描述生长率和细菌数目的关系？
生：
细菌数目p=500时，生长率r=2,细菌数目p=10000时，生长率r=1.1,
很容易求出r,p间的关系：
r=-0.0000947×p+2.0472
师：
如何计算第n天的细菌数目？
生：
利用递推关系p（n）=p（n-1）×（-0.0000947×p（n-1）+2.0472）从第二天开始算
师：
如何判断细菌数目达到稳定水平？
生：
作图，或看看|p（n+1）-p（n）|是否越来越接近0
讨论：
上述递推关系中的常数0.0000947，2.0472对细菌数目稳定性的影响如何？
（参考：
m5.m）
练习：
.
某池塘内的鱼的生长有以下递推关系：
p（n+1）=0.01（200-p（n））p（n）。
p（n）是第n年池塘内鱼的数目（单位：
千尾）.当池塘内鱼的数目达到一定数目时，开始捕鱼，若每年16000尾,问池塘内的鱼能否达到某一稳定水平？
当池塘内鱼的数目达到什么水平时方可捕捞？
如果你是渔场经理，你的捕捞方案如何？
6.如图，线段旁边的数据表路长，箭头表路的方向，求节点1到节点9的最短路.
〔讲评〕
师：
如何用数据描述上图？
生：
用9×9矩阵a,a（i,j）表节点i,j间的路长
师：
a（4,1）,a（3,1）等于多少？
生：
无穷大。
师：
a（1,1）,a（2,2）等于多少？
生：
0
师：
如何找最短路径？
生：
枚举法，很简单！
师：
9个点，要算8！
＝40320次，若20个点，要算19！
>1017次,计算机要算瘫了。
通常采用Dijkstra算法，
第一步：
设从点i到j的最短路长f（i,j），就是这点i到j的路长a（i,j）。
f也是一个9×9的矩阵。
第二步，寻找“两边之和小于第三边”，即在（k=1,2,…9）中寻找使d（k）=a（i,k）+f（k,j）最小的k,对应的d（k）的值，作为“改良”的点i到j的最短路长f（i,j）
第三步，重复第二步的工作，考虑到最短路径最多8条边，所以，第二步的重复次数不会超过8
（参考：
m6.m）
7.下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。
3
2
6
3
1
7
2
7
〔讲评］
师：
这个问题用Lingo建模，非常简介，但是用Matlab也可以。
解决这种问题往往分两步：
第一步：
寻找从节点1到节点6的通道，并算出该通道的最大网速，并计算出该通道中各宽带剩下的带宽容量，例：
节点1，3，5，6通道，可获得网速2，节点1到3的容量变为0，节点3到5变为5，节点5到6变为5。
第二步：
重复第一步的工作，直到找不到从节点1到节点6的通道为止。
生：
如何寻找节点1到节点6的通道呢？
师：
通道就是路径，我们可以给容量不为0的宽带定义路长1，只要我们找到从节点1到节点6的最短路长，如果不是无穷大，那么相对应的路径就是一条通道。
（参考：
m7.m）
8.某伐木公司即将开始在同一地区的八大林区伐木,故须建造一伐木道路系统,以使每一林区皆与其他每一林区相通.任意两林区间距离间下表:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1.3
2.1
0.9
0.7
1.8
2.0
1.5
2
0.9
1.8
1.2
2.6
2.3
1.1
3
2.6
1.7
2.5
1.9
1.0
4
0.7
1.6
1.5
0.9
5
0.9
1.1
0.8
6
0.6
1.0
7
0.5
试决定在各林区间如何造路,才能以最短路长连通全部林区.
〔讲评］
生：
连通8个林区只需修7条道
师：
随便7条道都能连通8个林区吗？
生：
不能，7条道中不能有圈
师：
如何用Matlab描述上述问题？
生：
林区间的距离可用8×8矩阵a表示，a（i,i）等于无穷大
师：
如何找出7条道？
生：
从a中挑出7个最小的数
师：
如何判断是否有圈？
生：
为了避免有圈，我们采用扩展的方法
第一步：
找出最短的道路，设为a（i,j）,将节点i,j存在数组p（已连通的林区）中，其它节点存在数组u（没连通的林区） 中
第二步：
从p到u中找最短的道路，也就是从子矩阵a（p,u）中找出最小值a（m,n）,将n从u中调入p中
第三步：
重复第二步，直到找到7条道
（参考：
m8.m）
练习：
一个小城市有六个小区。
市长JohnLion拟建设电话系统使得六个小区能相互通信。
假设小区1和小区4间不能架设电话线，问电话线的最短长度为多少？
5
5
5
3
7
7
3
4
5
9.12小时内,一小时测量一次室外温度.数据如下表:
小时
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度
5
8
9
15
25
29
31
30
22
25
27
24
试估计下列时间的温度:
9.3,3.2,6.5,7.1,11.7.
〔讲评］
师：
做出温度时间的散点图：
我们可以用折线拟合温度时间曲线：
根据以上的折线求某时间的温度，数学上叫做线性插值，可通过Matlab工具：
interp1实现
我们还可以用光滑的曲线拟合温度时间曲线：
根据以上的曲线求某时间的温度，数学上叫做样条插值，也可通过Matlab工具：
interp1实现
（参考：
m9.m）
10.一敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方1海里处，我舰向敌舰发射自动制导鱼雷，敌舰速度为0.42海里/分钟，鱼雷速度为敌舰速度的2倍，试问过多久敌舰被击中？
〔讲评］
生：
鱼雷的轨迹应是一条如上图的曲线，而且速率恒定。
师：
如何计算追击时间？
生：
可以，这样原运动过程可分割成很多段匀速直线运动。
也就是将曲线用折线拟合
（参考：
m10.m）
11.人们对某平板上的温度分布估计感兴趣,给定的温度值取自平板表面均匀分布的（5×3）
格栅.
长
宽
1
2
3
4
5
1
82
81
80
82
84
2
79
63
61
65
81
3
84
84
82
85
86
试估计各点的温度.
〔讲评］
师：
做出温度
分布图：
根据以上的图形求某点的温度，可通过Matlab工具：
interp2实现，称作2维线性插值．
我们还可以用光滑的曲面拟合温度分布，也可通过Matlab工具：
interp2实现，称作2维样条插值．
（参考：
m11.m）
12.航空公司经常会碰到订了票的乘客由于种种原因并没有登机,因而造成飞机上有空座位.航空公司为了提高收入常采用多订票的方法.假设订了票而由于种种原因并没有登机的乘客数服从二项分布,乘客未登机的概率为0.04.机上座位数为16.卖出一个座位赚225元.订了票由于机上已座满而被拒载的乘客除了退票外还可得100元的补偿.问航空公司订多少张票为宜.
〔讲评］
师：
二项分布:
随机数:
n次试验成功的次数.
实验是满足下列条件的:
每一次试验只有两种可能:
成功和失败.
成功的概率是常数p.
每一次实验是独立的,实验可以无限制的重复.
两个函数:
binopdf（x,n,p）：
计算成功次数为x（x为非负整数）的概率
例:
binopdf（3,4,0.6）=0.3456.
binocdf（x,n,p）：
计算成功次数小于或等于x（x为非负整数）的概率
例:
binocdf（3,4,0.6）=0.8704=sum（binopdf（0:
3,4,0.6））.
生：
本问题实际上就是计算当预订机票为n（n大于或等于16）时的期望收入
师：
如何发现期望收入最大的n?
生：
设p（n）为订票数为n时的期望收入，当p（n）>p（n-1）且p（n）>p（n+1）时，我们就发现了最好的n
（参考：
m12.m）
13.为了检验X射线的杀菌作用,用200千伏的X射线来照射细菌,每次照射6分钟.照射次数记为t,共照射15次,各次照射后所剩细菌数y见下表:
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
y
252
211
197
160
142
116
104
90
76
60
46
32
21
10
3
试求y与t的关系.
[讲评]
师：
做出y,t的散点图：
y,t间有近似的线性关系：
y=b
（2）×t+b
（1）
求b
（2）,b
（1）可利用Matlab工具：
regress
（参考：
m13.m）
注释:
线性回归
假设y与n个自变量x
（1）,x
（2）,x（3）,…x（n）之间有下列关系：
y=b
（1）+b
（2）*x
（1）+b（3）*x
（2）+…b（n+1）*x（n）.
b
（1）,b
（2）,b（3）,…b（n+1）是常数。
为了使形式上更规范一些通常我们将上式改写为：
y=b
（1）*x
（1）+b
（2）*x
（2）+b（3）*x（3）+…b（n）*x（n）.
其中自变量x
（1）是常数1。
我经常要根据测出的数据y,x（1:
n）来估计b（1:
n）的值。
参考：
helpregress
例如：
x=1.12500.23207.16000.08598.9050
0.92000.26808.80400.08657.3880
0.83500.27108.10800.08525.3480
1.00000.23706.37000.08388.0560
1.15000.19206.44100.08216.9600
0.99000.20205.15400.07925.6900
0.84000.18405.89600.08126.9320
0.65000.20005.33600.08065.4000
0.64000.18005.04100.07843.1770
0.58300.16505.01200.07934.4610
0.57000.15104.82500.07873.9010
0.57000.17104.39100.07805.0020
0.51000.24304.32000.07234.6650
0.55500.14703.70900.07494.6420
0.46000.28603.96900.07444.8400
0.27500.19803.55800.07254.4790
0.51000.19604.36100.05774.2000
0.16500.21003.30100.07183.4100
0.24400.32702.96400.07253.3600
0.07900.33402.77700.07192.5990
y'=1.55630.89760.74820.71600.31300.36170.1139
0.1139-0.2218-0.154900-0.0969-0.2218
-0.3979-0.1549-0.2218-0.3979-0.5229-0.0458
（参考：
m13e.m）
练习：
给定一个函数y=f（x）图像上的点：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
1.78
2.24
2.74
3.74
4.45
5.31
6.92
8.85
10.97
试估计函数的解析式。
14.给定一长方体,长为:
10cm,宽为:
14.5cm,高为19cm.长方体将为切割成长为:
3cm,宽为:
2cm,高为4cm的小长方体.小长方体的六个面与大长方体的六个面平行.已知小长方体的左侧面与大长方体的左侧面相距6cm,小长方体的正面与大长方体的正面相距7cm,小长方体的底面与大长方体的底面相距9cm.每平方厘米的切割费用为1元,如何切割费用最低.
［讲评］
生：
该问题可用枚举法实现，可用1，2，3．．．6表示前后，左右，上下6个方向，第一次切割有6种可能，第二次切割有5种可能．．． 第六次切割只有1种可能，总共有6！
＝720种情况
师：
如何计算切割面积？
生：
考虑到前后面是平行的，切割的面积是由长和高决定的，而左右切割的面积是由宽和高决定的，上下切割面积是由长宽决定，所以前后，左右，上下的标号需配对，即：
1，4表前后，2，5表上下，3，6表左右．
（参考：
m14.m）
15.某店拟出售甲商品，每单位甲商品成本为50元，售价70元。
如不能售出必须减价为40元，减价后一定可以售出。
已知售货量服从普洼松分布，根据以往经验，平均售出数为6单位。
问该店订购量应为多少单位？
〔讲评］
师：
普洼松分布（Poisson）
随机数：
单位时间（区域）或一定阶段某事件发生的次数。
期望值和方差都是常数λ。
两个函数:
1.poisspdf（x,λ）:
计算发生次数为x（x为非负整数）的概率
例:
poisspdf（3,6）=0.0892.
2.poisscdf（x,λ） 计算发生次数小于或等于x（x为非负整数）的概率
例:
poisscdf（3,6）=0.1512=sum（poisspdf（0:
3,6））.
（参考：
m15.m）
16.有一种同系繁殖的动物,某种属性的基因为:
DD（优）,dd（劣）,Dd（杂）.试预测后代的属性.
〔讲评］
师：
假设Dd,Dd,配对，后代可能出现DD,dd,Dd，对应概率分别为1/4，1/4，1/2．这些后代能配对成：
DDDD,DDdd,DDDd,dddd,ddDd,DdDd,对应的概率分别为：
DDDD:
1/4×1/4=1/16,DDdd:
1/4×1/4×2=1/8（因为ddDD）
DDDd:
1/4×1/2×2=1/4（因为DdDD）同理;ddDd,1/4
dddd:
1/4×1/4=1/16,DdDd:
1/2×1/2=1/4
请同学们填写下表：
DDDD
DDdd
dddd
DdDd
Dddd
DDDd
DDDD
1
0
0
0
0
0
DDdd
0
0
0
1
0
0
dddd
0
0
1
0
0
0
DdDd
1/16
1/8
1/16
1/4
1/4
1/4
Dddd
0
0
1/4
1/4
1/2
0
DDDd
1/4
0
0
1/4
0
1/2
利用上表就可建立一代一代间的状态转移关系
（参考：
m16.m）
17.凭直觉,下列国家之间相对生产力如下表,试作出六国生产力的排序:
中国
法国
日本
俄罗斯
美国
英格兰
中国
1
1/3
1/8
3
1/9
1/4
法国
3
1
1/3
4
1/5
1/2
日本
8
3
1
9
1/2
2
俄罗斯
1/3
1/4
1/9
1
1/9
1/8
美国
9
5
2
9
1
3
英格兰
4
2
1/2
8
1/3
1
〔讲评］
师：
心理感觉指数取:
1—9的整数:
1:
相差不大;3:
有点不同;5:
显然不同;7:
差异较大;9:
异常不同;2,4,6,8,分别介于1,3;3,5;5,7;7,9.之间.
心理感觉矩阵a:
a（i,j）=如果i强于j,则取心理感觉指数,否则取心理感觉指数的倒数.
求出a的最大特征值（可通过Matlab函数eig（a）实现）所对应的特征向量m，原对象的排序就变为相对应向量m的分量（往往是取模，有时折算成分值）的排序
上述排序的方法，叫做层次分析法
（参考：
m17.m）
18.有三所中学:
A,B,C,你将为你的朋友选择一所就读.有六个方面需要考虑:
学习,友谊,生活,职业培训,升学,音乐.六个方面心理感觉指数如下表:
学习
友谊
生活
职业培训
升学
音乐
学习
1
4
3
1
3
4
友谊
1/4
1
7
3
1/5
1
生活
1/3
1/7
1
1/3
1/5
1/6
职业培训
1
1/3
3
1
1
3
升学
1/3
5
5
1
1
3
音乐
1/4
1
6
1/3
1/3
1
三所中学在各方面的心理感觉指数如下表:
学习
友谊
A
B
C
A
B
C
A
1
1/3
1/2
A
1
1
1
B
3
1
3
B
1
1
1
C
2
1/3
1
C
1
1
1
生活
职业培训
A
B
C
A
B
C
A
1
5
1
A
1
9
7
B
1/5
1
1/5
B
1/9
1
1/5
C
1
5
1
C
1/7
5
1
升学
音乐
A
B
C
A
B
C
A
1
1/2
1
A
1
6
4
B
2
1
2
B
1/6
1
1/3
C
1
1/2
1
C
1/4
3
1
〔讲评］
师：
此问题是层次分析法的应用
生：
先算出学习，友谊，生活，职业培训，升学，音乐的排序得分（权重），再算出A,B,C在6方面的排序得分，分别乘以对应权重并求和就是A,B,C的综合排序的分
（参考：
m18.m）
19.有一家自行车铺,老板有5中存储方案:
方案
订货点
订货数
1
125
150
2
125
250
3
150
250
4
175
250
5
175
300
（1）订货和收货的时间间隔为3天（订货和收货都在早上）
（2）每辆自行车每天存储费为$0.75,每天每辆自行车的缺货费为$1.80.订货费$75.
（3）每天自行车的销售量服从0到99的均匀分布.
现老板存有115辆自行车,还没有订货,试帮老板选出一种最佳的方案.
〔讲评］
师：
销售量服从0到99的均匀分布就是说销售量是从0到99这100个整数中等可能的随机挑出的1个数，这个数可通过Matlab函数:
unifrnd（0,99）,因为销售量是整数，所以再对unifrnd（0,99）进行四舍五入：
round（unifrnd（0,99））
处理这种问题通常是建立一个自行车铺模型，模拟营业一定的天数，根据模拟结果，决定最佳方案．
早上开门：
检验是否有货到
随机制造销售量，计算存储量，根据存储量，订货点，和订货记录，决定是否订货
注：
为了得到更可靠的结果，模拟的过程可重复若干次，取结果的平均值
（参考：
m19.m）
20.一售票处只有一个窗口，每分钟购票人数服从参数为0.2的普哇松分布.售一张票耗时服从均值为
3.2分钟,标准差为0.6的正态分布.求平均队长及平均每人等候时间.
［讲评］
师：
同学们做实验，在测量过程中的测量值，往往服从正态分布，给定仪器和操作者的前提下，当测量次数接近无穷时，这时的平均值就是真实值u，标准差σ，主要衡量每次测量值偏离真实值的程度
正态分布随机数（测量值）是实数，它的取值由u和σ控制。
如下图为
概率密度函数图像（Matlab函数:
normpdf）（图中u=3.2,σ=0.6）,阴影部分面积（可通过Matlab函数:
normpdfnormcdf算出）表示随机数小于或等于2的概率
正态分布的随机数可通过Matlab函数:
normrnd（3.2,0.6）生成
普洼松分布（Poisson）
随机数：
单位时间（区域）或一定阶段某事件发生的次数。
期望值和方差都是常数λ。
相邻两事件的时间间隔也是随机数，服从参数为1/λ（平均时间间隔）的指数分
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