（2）对F'y）求导得〃的概率密度在函数g（x）可导且严格取调时，〃的概率密度为厶（y）=.〃（/心））W'（y）|‘
其中X=/2（y）是严格单•调可微函数y=g（x）（与〃=g（G对应的普通函数）的反函数c至于y的取值范碉，原那么上将由厶（x）中用的取值范困及•爲（y）中的y的允许范围讨论确定。
可见，连续型场合下.〃的概率密度完全由的概率密度确定。
3.连续型随机向虽的函数的分布P97如卷积公式
卷积公式：
设a；卩）的联合密度函数为fix,y）.求X+Y的密度函数。
<（z）=J：
fix,z一x}dx
如果X^Y是相互独立的随机变址.那么有
fXz）=匚fx（X）fy（z-x）dx=匚厶（n-y）fY（y）dy（卷积公式）
4・随机向址的数字特征P101协方差协方差矩阵相关系数
设（尤，F）为二维随机变虽，
cov（XK）=EUX-EX）（7-57）1=EXY-EXEYp=cov（T^2
4dx/dy
第四草数理统计的根底知识
4.1总体与样木
一、总体与总体分布
定义4・1在统计学中称随机变虽（或向虽）X为总体，并把随机变虽（或向址）X的分布称为总体的分布。
2.样本与样木分布
称（尤〞尤三••…兀）为总体X的简収随机样木，假设尤〞J2...,Xn是独立同分布的随机变此且与总体X同分布。
样木中所含分址的个数n称为该样木的容虽。
以大写的英文字表示随机变虽，而以相应的小写英文字母X」•表示它的观察值•并称样木
（X〞九•…，乙）的一组具体的观察值（山，A%...,JVJ为样木值°
设总体X的分布函数为尸〔X〕•那么由定义4・2〔尤〞兀・・・「Y丿的分布函数为
F=X\、X.y...yXn〕=口F〔xJ称之为样木分布。
"2=1
假设总体X为连续型随机变址，其密度函数为f〔X〕,那么样木的密度函数为
n
佥（X,...yX）=IIfix）°
~1=1
三、统汁推断问題简述即借助总体X的一个样木〔尤卫尤2・・・，尤・丿・对总体X的未知分布进行推断，我们把这类问題统称为统计推断问题。
统计量
一、统汁虽的定义
定义4・3设CY〞Xz...,Xn〕为总体X
样木的统il-So如Sh=尤1+*2+・・・+尤〃X=S./n
二、常用的统计址
1.样木均值称样本的算术平均值为样木均值，记为戸，即X=-〔X,+X2+・・・+尤占〕
2•样木方差
更多时候用修正样木方差
〞标准差S侣学3
4.样木原点矩
]n
Ak=.k>1并称月立为样木的k阶原点矩。
n2-1
5.样木中心矩
1GJ
Bk=-V.-X〕.A>1.并称乞为样木的k阶中心矩。
刀気「
三、枢轴虽
的样木函数称为枢轴量。
匕_pGcy-“）
b°
如总体*'Ar〔//>,其中冼，“未知.〔尤1八丫2••…兀〕为总体/的一个样木，令
上述函数u中虽然含有未知参数“•但总有/tAr〔0,l〕,故u是一枢轴虽.
可以对"作统计推断。
常用的统汁分布
一、分位数定义设随机变址X的分布函数为尸〔X〕.对给定的实数G〔0<<7<1〕，如果实数化，满足
p\x>化｝=e即1一代=6或尸亿〕=1一4那么称&，为随机变址X的分布的水平a的上侧分位数。
或直接称为分布函数F〔x〕的水平&的上侧分位数。
定义设X〔X〕，对给定的实数Q〔0<6Z<1〕,
如果正实数乙满足尸测>7；｝=a,即尸〔人〕-尸〔一厶〕=1一a那么称7；为随机变址X的分布的
水平Q〔x〕的水平a的分位数。
二、旷分布
在第二例2.29：
假设X"Ar（O,l）.那么的密度函数为fCy）=>0.<4.17）
命题设X2...,Xn是n个相互独立的随机变址，且扎'押（0,1）,i=l,2,-,n,那么
X=尤；+X；+・・・+X；）
的密度函数为十、1〔4.18〕
Z-〔.r;n〕=—T-,-Y>0・
2^r〔-〕
2
其中r〔a〕=广Xa-le-sdx{a>0〕是厂〔伽马〕函数。
定义4.6一个随机变虽X称为服从以n〔4・18〕给出，记作
X~Z2（n）.
（命题4・1证明）由（4・17）知，当n=l时，（4.18）成立，使用数学归纳法，设n球时，（4.18）成立，令§=/；+/；+・・・+X：
7]=y=X+由归纳假设及（4・17）知：
4,77的密度函数分别为
1£-1亠1丄-I
fXx）=x2e'、x>0•為（y）=yze2,y>0.
5-k11
22T（-）22H-）
22
3z>o时.y的密度函数可按下
£（z）=[矣（N-y）fn（y）dy=
-i
z乙
22巩£±1）
2
…°「（Z-yYyzdy=
丝&1Jo
22r（-）r（-）
22
=令丄一fa-令r=d
—k1Qz
22r〔-〕r〔l〕
22
其中倒数第二个等式中使用了贝塔函数的定义：
5〔a〕=£Xp-\1一xy-^dxkp>0,Q>0〕以及贝塔函数和伽马函数的关系：
r（a）r（z>）r（a+b）
命題4.2
（1）假设X〜Z2（zzz）.Y'Z2（/?
）,且X与Y相互独立，那么X+F、才5+n）c
⑵假设/'旷〔刀〕，那么空=nyDX=2n□
1〔巴〕〔巴却訂〔1+巴』严叫x>0
吩冷〕…门
其中B（a）=£Xp^（l-xY^dx（p>0,q>0）是B函数。
定义4・7如果一个随机变址X的密度函数由4・20给出.那么称其服从第一自由度为m.第二自由度为n的F"尸〔加，27〕。
而且由命題4・3可得到：
X'尸〔码刀〕，那么才7'尸〔刀，口〕。
〔命题4・3证明〕I刘为X'才S〕，/'Z：
〔/3〕.由定义4・6知.X与Y的密度函数分别为
al<力1
—-1r1—-1一一y
〔x〕=zzezyx>0・£〔y〕=zze2,y>0.设
2齐〔鋼2淞〕
22
Y
ZQ=r,从而Z=-Zo,由于X,Y皆为非负的随机变虽且相互独立，由第三章的例可知•匀
1m
z>o时，随机变虽Z°的密度函数可按下式汁算:
°刁〔1+』宁=]h〔i+z〕佇，再由于Z=-Z°,当Z>0时，即知随
咛咛B暑〞
定义如果一个随机变址X的密度函数由
〔〕给出.那么称其为服从自由度为n的广分布，记作
X~t（n）
〔命题4.4证明〕T的密度函数也是对称函数〔习题四的第5题〕。
其次，以fT⑴与车|C〕分别表示为卩|
现设尸=,",那么尸~F〔hn〕•且由命题也3F的密度函数为
g=——-1〔兰〕％+h竽,X>o.再注意到|打=丄==存•由练习2-5的第9^1n^nnnyjY/n
2f2
题可知.M11>0时.应有：
1_£厂上
-（-）2（1+-）2
nnn
t>。
时，（4・23）式是成立的，再由于£〞Ux<0时，（4.23）式也成立。
抽样分布
定理4・1设总体X~,V（//,CT2）,CVPX2..・，乙）是容址为n的一个样札〒与S，分别为此样
木的样木均值与样木方差，那么有：
（1）X、Ng—）;
（2）n—1S:
~z2（n-1）:
（3）X与n（7"
S'相互独立。
（证明在P146
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