《统计学》贾俊平.docx

1、统计学贾俊平概率论与数呈统计1.连续型随机变址分布函数及其概率密度1.概率密度与它的基木性质设对于随机变址 的分布函数FZ 如果存在非负可枳函数fix),使得对任总的实数川都有Fx)=尸歹 0 (非负性)：(2) fX f(x)dx= (标准性): J-OC .对任何实数C,有Pf = c = 0：对任意的实数b(ab).有Pab = Jx)dx.且只要区间的端点不变.取值于开区间或闭区间或半开半闭区间的概率都是相等的。2.连续型随机变虽的数学期望和方差P473随机变量的矩与切比雪夫不等式4.常用的连续型分布常用的连续型分布有均匀分布.指数分布、正态分布等。(1)均匀分布假设随机变虽g取值在有

2、限区间(2 “ 、 a x0为常数。那么称歹服从参数为，ci的正态分布，简记为 r.v特别，当“=() 1=11 -二0 (%) = .e 2 -v +s o 此时称服从标准正态分布。简记为r.v. 4 1)。5 概率密度与分布函数的互求十概率密度给定时，运用逐段枳分可求得分布函数c即F(a) = Px) = d/，如此得到的分布函数是定义在整个实数轴上的连续函数。反之，当分布函数时.在的连续点上运用逐段微分可求得概率密度。即dx dx 可见，连续型随机变虽的概率密度和分布函数亦可以相互唯一确定。6.给定分布时的概率计算小结分布律时的概率计算公式是Pa b=工Pjax-b概率密度时的概率计算公

3、式是Pab = fx)dx(3)分布函数时的概淞汁算公式是Pa h = F(b) 一 F(a)(4)正态分布下的概率计算公式是P(a( 0时其数值可査标准正态分布函数数值表(以下简称正态分布表)直接得到：对于负实数小在公式 (切转化下.仍可査表求值。二随机变虽函数的分布随机变虽 的函数 = $在一定条件下仍是随机变虽:。 的分布可由 的分布确定。但在求的分布具体处理方法上，离散型和连续型是有区别的。1.离散型随机变址 的函数77 = g分布-Vi f AAA ps 那么半诸g(xz)(/ = 123,)的值互异时， 的分布律为gg gg g百 PiP a px 如果 心)(/ = 1,2,3，

4、)中有某些值相同时.那么将相应概率相加之后予以合并处理，必耍时重新排 序后写岀 的分布律。可见.在离散型场合下. 的分布律完全由 的分布律确定。2.连续型随机变址 的函数q = g分布设 为连续型随机变量.其概率密度为(%)，那么 = gC?)仍为连续型随机变虽.其概率密度的计 算步骤为:(1)根据 的概率密度(X).求出的分布函数FtJ(y) = Pfy = PS(y=闪忙 其中,Dy=x)y(2)对Fy)求导得的概率密度 在函数g(x)可导且严格取调时，的概率密度为 厶(y)= .(/心)W(y)|其中X = /2(y)是严格单调可微函数y = g(x)(与 =g(G对应的普通函数)的反函

5、数c至于y的取值范 碉，原那么上将由厶(x)中用的取值范困及爲(y)中的y的允许范围讨论确定。可见，连续型场合下.的概率密度完全由的概率密度确定。3.连续型随机向虽的函数的分布P97如卷积公式卷积公式：设a；卩)的联合密度函数为fix, y).求X + Y的密度函数。 1并称月立为样木的k阶原点矩。 n 2-15.样木中心矩1 G JBk = - V . - X . A 1.并称乞为样木的k阶中心矩。刀気 三、枢轴虽的样木函数称为枢轴量。匕 _ pGcy -“)b如总体* Ar/ ,其中冼，“未知.尤1八丫2 兀为总体/的一个样木，令上述函数u中虽然含有未知参数“但总有/ t Ar0,l,故u

6、是一枢轴虽.可以对作统计推断。常用的统汁分布一、分位数 定义设随机变址X的分布函数为尸X.对给定的实数G 0 7 化 = e即1 一代=6或尸亿=1 一 4那么称&，为随机变址X的分布的水平a 的上侧分位数。或直接称为分布函数Fx的水平&的上侧分位数。定义设XX，对给定的实数Q 0 6Z 7；= a,即尸人-尸一厶=1 一 a那么称7；为随机变址X的分布的水平Qx的水平a的分位数。二、旷分布在第二例 2. 29：假设X Ar(O,l).那么 的密度函数为 f Cy) = 0. 02r-2其中r a=广 Xa-le-sdxa 0是厂伽马函数。定义4.6 一个随机变虽X称为服从以n418给出，记作

7、X Z2(n).(命题41证明)由(417)知，当n=l时，(4.18)成立，使用数学归纳法，设n球时，(4. 18)成立， 令 = /；+/；+ X： , 7 = y = X + 由归纳假设及(417)知：4, 77 的 密 度 函 数 分 别 为1 -1 亠 1 丄-IfXx) = x2 e 、x 0為(y) = y ze 2, y 0.5 - k 1 122T(-) 22H-)2 23zo时.y的密度函数可按下(z)=矣(N - y)fn(y)dy =-iz乙2 2 巩1)2 (Z - yY y zdy =丝& 1 Jo2 2 r(-)r(-)2 2=令丄一fa- 令 r = dk 1

8、Q z22 r-rl2 2其中倒数第二个等式中使用 了贝塔函数的定义：5 a = Xp-1 一 xy-dxkp 0, Q 0以及贝塔函数和伽马函数的关系：r(a)r(z) r(a + b)命題4.2 (1)假设XZ2(zzz). Y Z2(/?),且X与Y相互独立，那么X + F、才5 + n)c假设/ 旷刀，那么空=ny DX = 2n 1 巴巴却訂1 +巴严叫x0吩冷 门其中B (a) = Xp(l - xYdx(p 0, q 0)是B函数。定义47如果一个随机变址X的密度函数由420给出.那么称其服从第一自由度为m.第二自由度为n的F 尸加，27。而且由命題43可得到：X 尸码刀，那么才

9、7 尸刀，口。命题43证明I刘为X 才S，/ Z：/3.由定义46知.X与Y的密度函数分别为al 0y = zz e 2 , y 0. 设2齐鋼 2淞2 2YZQ = r ,从而Z = -Zo,由于X,Y皆为非负的随机变虽且相互独立，由第三章的例可知匀1 mzo时，随机变虽Z的密度函数可按下式汁算: 刁1 +宁= hi + z佇，再由于Z = - Z,当Z0时，即知随咛咛 B暑 定义如果一个随机变址X的密度函数由给出.那么称其为服从自由度为n的广分布，记作X t(n)命题4. 4证明T的密度函数也是对称函数习题四的第5题。其次，以fT与车| C分别表示为卩|现设尸=,那么尸 Fh n 且由命题也3F的密度函数为g = - 1 兰 + h竽,X o.再注意到|打=丄=存由练习2-5的第9 1 nn n n yjY / n2f 2题可知.M110时.应有：1 _ 厂上-(-)2(1+-) 2n n nt。时，(423)式是成立的，再由于Ux0时，(4.23)式也成立。抽样分布定理41设总体X ,V(/, CT2), CVP X2.，乙)是容址为n的一个样札 与S，分别为此样木的样木均值与样木方差，那么有：(1) X、Ng ) ; (2) n 1 S: z2(n - 1) : (3) X与 n (7S相互独立。(证明在P146