U3=
r
Edl
E3dr=Q/（4r
0r）=360V
（3）在介质的内外表面存在极化电荷
Pe=
0E=
0（r1）E
=Pe·n
r=R处,介质表面法线指向球心
=Pe·n=Pecos=0（
r1）E
q=
S=
0（r1）[Q/（4
0rR2）]4R2
=（r1）Q/r=×108C
r=R+d处,介质表面法线向外
=Pe·n=Pecos0=0（r1）E
q=S=0（r1）[Q/（40r（R+d）2]4（R+d）2
=（r1）Q/r=×108C
2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至200V和400V，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势.计算变为等势体的过程中，静电力所作的功.解;2.球形电容器C=40R
Q1=C1V1=40RV1Q2=C2V2=40RV2
W0=C1V12/2+C2V22/2=20R（V12+V22）
两导体相连后C=C1+C2=80R
Q=Q1+Q2=C1V1+C2V2=40R（V1+V2）
W=Q2/（2C）=[40R（V1+V2）]2/（160R）=0R（V1+V2）2
静电力作功A=W0W
=20R（V12+V22）
0R（V1+V2）2=0R（V1V2）2
=×107J
练习六磁感应强度毕奥—萨伐尔定律
三、计算题
1.如图所示,一宽为2a的无限长导体薄片,沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布
上方距导体薄片为a的磁感强度.
解：
1.取宽为dx的无限长电流元
dI=Idx/（2a）dB=0dI/（2=0Idx/（4dBx=dBcos
.求中心轴线OO
0Idx/（4
dBy=dBsin
Bx
dBx
r）
ar）
=[0Idx/（4ar）]（a/r）r2）=0Idx/[4（x2+a2）]=0Ixdx/[4a（x2+a2）]
a0Idx
a22
a4xa
=[
By
0I/（4）]（1/a）arctan（x/a）aa
dBya4a0xI2xdxa2
0I/（8a）
=[
0I/（8a）]ln（x2+a2）
a
a=0
2.如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面.设线圈的总匝数为
线圈的电流为I.求球心O的磁感强度.
解：
2.取宽为dL细圆环电流,dI=IdN=I[N/（R/2）]Rd=（2IN/）d
dB=0dIr2/[2（r2+x2）3/2]
r=Rsinx=Rcos
dB=0NIsin2
BdB
d/（R）
0NIsin2d
2
0NI/（4R）
练习七毕奥—萨伐尔定律（续）磁场的高斯定理
r2
三、计算题
1.如图所示，一根半径为R的无限长载流直导体，其中电流I沿轴向流过，并均匀分布在横截面上.现在导体上有一半径为R的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为d.试求空腔中任意一点的磁感强度.
解：
1.此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R的无限长圆柱电流I2组成.
I1=JR2I2=JR2J=I/[（R2R2）]
它们在空腔内产生的磁感强度分别为
B1=0r1J/2B2=0r2J/2
方向如图.有
Bx=B2sin2B1sin1=（
By=B2cos2＋B1cos1
0J/2）（r2sin
2r1sin
1）=0
=（0J/2）（r2cos2＋r1cos1）=（0J/2）d所以B=By=0dI/[2（R2－R2）]
方向沿y轴正向
B
y
I
B
x
d
R
j,电流流向相反.求：
2.设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度均为
（1）载流平面之间的磁感强度；
（2）两面之外空间的磁感强度
解;2.两无限产生的磁场在平面①的
①I1
②I2
大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间
为B1=0J/2
上方向右,在平面①的下方向左
电流②在空间产生的磁场为B2=0J/2
在平面②的上方向左,在平面②的下方向右
（1）两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有B=B1+B2=0J
（2）两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有B=B1B2=0
练习九安培力
三、计算题
1.一边长a=10cm的正方形铜导线线圈（铜导线横截面积S=,铜的密度=cm3）,放在均匀外磁场中.B竖直向上,且B=103T,线圈中电流为I=10A.线圈在重力场中求:
（1）今使线圈平面保持竖直,则线圈所受的磁力矩为多少.
当线圈平衡时,线圈平面与竖直面夹角为多
（2）假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动少.
解：
1.
（1）Pm=IS=Ia2方向垂直线圈平面.
线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有Mm=Pm×B
Mm=PmBsin（/2）=Ia2B
=×104mN
（2）平衡即磁力矩与重力矩等值反向
Mm=PmBsin（/2－）=Ia2Bcos
MG=MG1+MG2+MG3
=mg（a/2）sin+mgasin+mg（a/2）sin
=2（Sa）gasin=2Sa2gsinIa2Bcos=2Sa2gsintan=IB/（2Sg）=
=15
2.如图所示，半径为无限长直线电流的磁场中求半圆线圈受到长直线电流
解：
2.在圆环上取微元I2dl=I2Rd该处磁场为B=0I1/（2Rcos）
I2dl与B垂直,有dF=I2dlBsin（/2）
dF=0I1I2d/（2cos）
dFx=dFcos
=0I1I2d
/（2
）
dFy=dFsin
0I1I2sin
d
/（2cos）
2
Fx
2
0I1I2d
0I1I2/2
2
因对称Fy=0.故F=0I1I2/2方向向右
练习十洛仑兹力
三、计算题
1.如图所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i（即单位宽度上通有的电流强度）
（1）试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向.
（2）有一质量为m，带正电量为q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动.若不计粒子重力.求：
（A）带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞.
（B）需经多长时间，才能回到初始位置..解：
1.
（1）求磁场.用安培环路定律得B=0i/2
在面电流右边B的方向指向纸面向里,在面电流左边B的方向沿纸面向外.
（2）F=qv×Bm=aqvB=man=mv2/R
带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平
板的距离应大于轨道半径.
R=mv/qB=2mv/（0iq）
（3）经一个周期时间，粒子回到初始位置.即
t=T=2R/v=4m/（0iq）
2.一带电为Q质量为m的粒子在均匀磁场中由静止开始下落,磁场的方向（z轴方向）与重
力方向（y轴方向）垂直,求粒子下落距离为y时的速率.并讲清求解方法的理论依据.
解：
2.洛伦兹力Qv×B垂直于v,不作功,不改变v的大小；重力作功.依能量守恒有mv2/2=mgy，
得v=（2gy）1/2.
练习十一磁场中的介质
三、计算题
1.一厚度为b的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导率为,电场强度
为E,方向如图所示,平板的相对磁导率为r1,平板两侧充满相对磁导率为r2的各向同性的均
匀磁介质,试求板内外任意点的磁感应强度.
解：
1.设场点距中心面为x,因磁场面对称以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，有
2.一根同轴电缆线由半径为R1的长导线和套在它外面的半径为R2的同轴薄导体圆筒组成，中间充满磁化率为m的各向同性均匀非铁磁绝缘介质，如图所示.传导电流沿导线向上流去,由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布.求介质内外表面的磁化电流的大小及方向.
解：
2.因磁场柱对称取同轴的圆形安培环路，有Hdl=ΣI0在介质中（R1rR2），ΣI0=I，有
2rH=IH=I/（2r）
介质内的磁化强度
M=mH=mI/（2r）
介质内表面的磁化电流
JSR1=MR1×nR1=MR1=mI/（2R1）
ISR1=JSR12R1=mI（与I同向）
介质外表面的磁化电流
JSR2=MR2×nR2=MR2=mI/（2R2）
ISR2=JSR22R2=mI（与I反向）
练习十二电磁感应定律动生电动势
三、计算题
1.如图所示，长直导线AC中的电流导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示.求此线框中产生的感应电动势的大小和方向.
m=SBdS
a2x
b
0Il
a
b
a
b
ln
b
=2b
a
0l
ab
dI
εi=
dm/dt=
b
a
bln
2
b
a
dt
ab
×10
负号表示逆时针
2.一很长的长方形的U形导轨，与水平面成角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁感强度B垂直向上的均匀磁场中，如图所示.设导线ab的质量为m，电阻为R，长度为l，导轨的电阻略去不计,abcd形成电路.t=0时，v=0.求：
（1）导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系;
（2）导线ab的最大速度vm.
解：
2.
（1）导线ab的动生电动势为
i=lv×B·dl=vBlsin（/2+）=vBlcos
Ii=εi/R=vBlcos/R方向由b到a.受安培力方向向右,大小为
22
F=l（Iidl×）B=vB2l2cos/R
F在导轨上投影沿导轨向上,大小为
F=Fcos=vB2l2cos2/R
重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为mgsin
mgsinvB2l2cos2/R=ma=mdv/dt
练习十三感生电动势自感
三、计算题
1.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场的金属棒MN放在磁场外且与圆柱形均匀磁场相切,切点为金属棒的中点,金属棒与磁场B的轴线垂直.如图所示.设B随时间的变化率dB/dt为大于零的常量.求:
棒上感应电动势的大小,并指出哪一个端点的电势高.
（分别用对感生电场的积分εi=lEi·dl和法拉第电磁感应定律εi=－d/dt两种方法解）..解：
（1）用对感生电场的积分εi=lEi·dl解:
在棒MN上取微元dx（R该处感生电场大小为
Ei=[R2/（2r）]（dB/dt）
与棒夹角满足tan=x/RNN
εi=Eidl=Eidxcos
MiMi
=[R3（dB/dt）/2]（1/R）arctan（x/R）RR
=－（－dmMONM/dt）=dmMONM/dt
而mMONM=BdS=R2B/4
S
故εi=R2（dB/dt）/4
圆筒以角速度绕中
N点的电势高
2.电量Q均匀分布在半径为a,长为L（L>>a）的绝缘薄壁长圆筒表面上
心轴旋转.一半径为2a,电阻为R总匝数为N的圆线圈套在圆筒上,如图所示.若圆筒转速按
=0（1t/t0）的规律（0,t0为已知常数）随时间线性地减小,求圆线圈中感应电流的大小和流向.
解：
2..等效于螺线管
B内=0nI=0[Q/
（2）]/L=0Q/（2L）
B外=0
=SBdS=Ba2=0Qa2/（2L）
εi=－d/dt=－[0Qa2/（2L）]d/dt=00Qa2/（2Lt0）Ii=εi/R=00Qa2/（2LRt0）方向与旋转方向一致.
练习十四自感（续）互感磁场的能量
dS=hd,由m=BdS得
S
M=m/I==0Nhln（R/r）/
（2）
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