大物2期末复习.docx

1、大物2期末复习练习一 静电场中的导体三、计算题1. 已知某静电场在 xy 平面内的电势函数为 U=Cx/(x2+y2)3/2,其中 C 为常数 .求(1)x轴上任意一点 ,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方向 .解： . Ex= U/ x= C1/(x2+y2)3/2+x( 3/2)2x/(x2+y2)5/2= (2x2 y2)C /(x2+y2)5/2Ey= U/ y= Cx( 3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2x 轴上点 (y=0) Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=0E=2Ci/x3y 轴上点 (x=0) Ex= Cy2/y5= C/y3 Ey

2、=0E= Ci/y32如图 ,一导体球壳 A(内外半径分别为 R2,R3),同心地罩在一接地导体球 B(半径为 R1)上 ,今 给 A 球带负电 Q, 求 B 球所带电荷 QB 及的 A 球的电势 UA.静电场中的导体答案解： 2. B球接地 ,有 UB=U =0, UA=UBAUA=( Q+QB)/(4 0R3)UBA=QB/(4 0)(1/ R2 1/R1)得 QB=QR1R2/( R1R2+ R2R3 R1R3)0R3) 1+R1R2/(R1R2+R2R3 R1R3)练习二 静电场中的电介质三、计算题1. 如图所示 ,面积均为 S=的两金属平板 A,B 平行对称放置 ,间距为 d=1mm

3、,今给 A, B 两板分别带电 Q1=109C, Q2=109C.忽略边缘效 应,求： (1) 两板共四个表面的面电荷密度 1, 2, 3, 4;(2) 两板间的电势差 V=UA UB.解： 1. 在 A 板体内取一点 A, B 板体内取一点 B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的 ,应为零 ,有EA= 1/(2 0) 2/(2 0) 3/(2 0) 4/(2 0)=0EA= 1/(2 0)+ 2/(2 0)+ 3/(2 0) 4/(2 0)=0而S( 1+ 2)=Q1 S( 3+ 4)=Q2有1234=01+2+3 4=01+2=Q1/S3+4=Q2/S解得1= 4=(Q1+Q2)/(2S

4、)=10 8C/m22= 3=(Q1 Q2)/(2 S)= 10 8C/m2两板间的场强 E= 2/ 0=(Q1 Q2)/(2 0S)BV=UAUB E dlA=Ed=(Q1 Q2)d/(2 0S)=1000V四、证明题1. 如图所示， 置于静电场中的一个导体， 在静电平衡后， 导体表面出现正、负感应电荷 .试用静电场的环路定理证明， 图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感 应电荷的电场线不能存在 .解： 1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感 应电荷的电场线 .沿电场线 ACB 作环路 ACBA,导体内直线 BA的场强为零 ,ACB 的电场与环路同向于是有AE dl

5、 E dl E 2 dl = E dl 0l ACB B ACB与静电场的环路定理 E dl 0 相违背 ,故在l 同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场 线.练习三 电容 静电场的能量三、计算题1. 半径为 R1的导体球带电 Q ,球外一层半径为 R2相对电容率 为 r 的同心均匀介质球壳 ,其余全部空间为空气 .如图所示 .求 :(1) 离球心距离为 r1(r1R1), r2(R1r1R2)处的 D 和 E；(2)离球心 r1, r2, r3,处的 U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷 .解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称 ,电场也球对称 ,过场点作与 金属球同心的

6、球形高斯面 ,有D dS q0iS4 r2D= q0i当 r=5cmR1, q0i=0 得 D1=0, E1=0当 r=15cm(R1rR1+d ) q 0i=Q= 10 8C得 D3=Q/(4 r2)=10 8C/m 2E3=Q/(4 0r2)= 140N/CD 和 E的方向沿径向 .(2) 当 r=5cmR1 时 U1= E dlrR R d E1dr E2dr E3drr 1 R 2 R d 3=Q/(4 0 rR) Q/4 0 r(R+d)+Q/ 4 0(R+d)=540V当 r=15cmR1 时RdU2= E dl E2dr E3drr r 2 R d 3=Q/(4 0 rr) Q/

7、4 0 r(R+d)+Q/ 4 0(R+d)=480V当 r=25cmR1 时U3=rE dlE3dr =Q/(4 r0r)=360V(3)在介质的内外表面存在极化电荷Pe=0 E=0( r 1)E= Penr=R 处 , 介质表面法线指向球心=Pen =Pecos = 0(r 1)Eq=S=0( r 1) Q/(40 rR2)4 R2= ( r 1)Q/ r= 108Cr=R+d 处 , 介质表面法线向外=Pen =Pecos0= 0( r 1)Eq = S= 0( r 1) Q/(4 0 r(R+d)24 (R+d)2=( r 1)Q/ r= 108C2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半

8、径均为 10cm，分别充电至 200V 和 400V，然后 用一根细导线连接两球，使之达到等电势 . 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功 . 解 ;2.球形电容器 C=4 0RQ1=C1V1=4 0RV1 Q2=C2V2= 4 0RV2W0=C1V12/2+C2V22/2=2 0R (V12+V22)两导体相连后 C=C1+C2=8 0RQ=Q1+Q2= C1V1+C2V2=4 0R(V1+V2)W=Q2/(2 C)= 4 0R(V1+V2)2/(16 0R)= 0R(V1+V2)2静电力作功 A=W0 W=2 0R (V12+V22)0R(V1+V2)2= 0R(V1 V2)2= 107

9、J练习六 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律三、计算题1. 如图所示 , 一宽为 2a 的无限长导体薄片 , 沿长度 方向的电流 I 在导体薄片上均匀分布上方距导体薄片为 a 的磁感强度 .解： 1.取宽为 dx 的无限长电流元dI=Idx/(2a) dB= 0dI/(2 = 0Idx/ (4 dBx=dBcos. 求中心轴线 OO0Idx/ (4dBy=dBsinBxdBxr)ar)= 0Id x/ (4 ar )(a/r ) r2)= 0Idx/ 4 (x2+a2) = 0Ixdx/4 a(x2+a2)a 0Idxa 2 2a 4 x a=By0I/(4 )(1/a)arctan(x/a) aad

10、By a 4 a 0xI2xdxa20I/(8a)=0I/(8 a)ln(x2+a2)aa =02. 如图所示， 半径为 R 的木球上绕有密集的细导线， 此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面 . 设线圈的总匝数为线圈的电流为 I. 求球心 O 的磁感强度 .解：2. 取宽为 dL细圆环电流 , dI=IdN=IN/ ( R/2)Rd =(2IN/ )ddB= 0dIr2/2(r2+x2)3/2r=Rsin x=RcosdB= 0NIsin2B dBd /( R)0NI sin2 d20NI/(4R)练习 七 毕奥萨伐尔定律 (续) 磁场的高斯定理r2三、计算题1. 如图所示，一根半径为 R 的无

11、限长载流直导体，其中电流 I 沿 轴向流过， 并均匀分布在横截面上 . 现在导体上有一半径为 R 的圆柱 形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d . 试求空腔中任意一 点的磁感强度 .解：1. 此电流可认为是由半径为 R 的无限长圆柱电流 I1和一个同电流 密度的反方向的半径为 R 的无限长圆柱电流 I2 组成.I1=J R2 I2= J R 2 J=I/ (R2 R 2)它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1= 0r1J/2 B2= 0r2J/2方向如图 .有Bx=B2sin 2 B1sin 1=(By =B2cos 2 B1cos 10 J/2)( r 2sin2 r1sin1)=0=

12、( 0J/2)(r2cos 2 r1cos 1)=( 0J/2)d 所以 B = By= 0dI/ 2 (R2R 2)方向沿 y 轴正向ByIBxdRj,电流流向相反 . 求：2. 设有两无限大平行载流平面 , 它们的电流密度均为(1) 载流平面之间的磁感强度；(2) 两面之外空间的磁感强度解 ;2. 两无限 产生的磁场 在平面的 I1 I2大平行载流平面的截面如图 .平面电流在空间为 B1= 0J/2上方向右 ,在平面的下方向左电流在空间产生的磁场为 B2= 0J/2在平面的上方向左 ,在平面的下方向右(1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左 ,故有 B=B1+B2= 0J(

13、2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反 ,故有 B=B1 B2=0练习九 安培力三、计算题1. 一边长 a =10cm 的正方形铜导线线圈 (铜导线横截面积 S=, 铜的密度 =cm3), 放在均匀 外磁场中 . B竖直向上 , 且B = 10 3T, 线圈中电流为 I =10A . 线圈在重力场中 求:(1) 今使线圈平面保持竖直 , 则线圈所受的磁力矩为多少 .,当线圈平衡时 ,线圈平面与竖直面夹角为多(2) 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动 少.解：1. (1) Pm=IS=Ia2 方向垂直线圈平面 .线圈平面保持竖直 ,即 Pm与 B垂直 .有 M m=Pm BMm=

14、PmBsin( /2)=Ia2B= 10 4m N(2) 平衡即磁力矩与重力矩等值反向Mm=PmBsin( /2 )=Ia2BcosMG= MG1 + MG2 + MG3= mg(a/ 2)sin + mga sin + mg(a/ 2)sin=2( Sa)gasin =2 Sa2g sin Ia2Bcos =2 Sa2gsin tan =IB/(2 Sg)=152. 如图所示，半径为 无限长直线电流的磁场中 求半圆线圈受到长直线电流解： 2.在圆环上取微元 I2dl= I2Rd 该处磁场为 B= 0I1/(2 Rcos )I2dl 与 B垂直,有 dF= I2dlBsin( /2)dF= 0

15、I1I2d /(2 cos )dFx=dFcos= 0I1I2d/(2)dFy=dFsin0I1I2sind/(2 cos )2Fx20I1I2d0I1I2/22因对称 Fy=0.故 F= 0I1I2/2 方向向右练习十 洛仑兹力三、计算题1. 如图所示，有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已 知其面电流密度为 i(即单位宽度上通有的电流强度 )(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向 .(2) 有一质量为 m，带正电量为 q 的粒子，以速度 v 沿平板法线方向 向外运动 . 若不计粒子重力 .求：(A) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞 .(B) 需经多长时间

16、，才能回到初始位置 . 解：1. (1)求磁场 .用安培环路定律得 B= 0i/2在面电流右边 B 的方向指向纸面向里 ,在面电流左边 B 的方向沿纸面向外 .(2) F=qv Bm=a qvB=man=mv 2/R带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交 ,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径 .R=mv/qB= 2mv/( 0iq)(3) 经一个周期时间，粒子回到初始位置 .即t=T=2 R/v= 4 m/( 0iq)2. 一带电为 Q 质量为 m 的粒子在均匀磁场中由静止开始下落 ,磁场的方向 (z 轴方向 ) 与重力方向 (y 轴方向 )垂直 , 求粒子下落距

17、离为 y 时的速率 .并讲清求解方法的理论依据 .解：2. 洛伦兹力 QvB垂直于 v,不作功 ,不改变 v的大小；重力作功 .依能量守恒有 mv2/ 2=mgy，得 v=(2gy)1/2.练习 十一 磁场中的介质三、计算题1. 一厚度为 b 的无限大平板中通有一个方向的电流 , 平板内各点的电导率为 , 电场强度为 E,方向如图所示 , 平板的相对磁导率为 r1,平板两侧充满相对磁导率为 r2 的各向同性的均匀磁介质 , 试求板内外任意点的磁感应强度 .解： 1. 设场点距中心面为 x,因磁场面对称 以中心面为对称面过场点取矩形安培环路，有2. 一根同轴电缆线由半径为 R1 的长导线和套 在

18、它外面的半径为 R2 的同轴薄导体圆筒组成，中 间充满磁化率为 m 的各向同性均匀非铁磁绝缘介 质，如图所示 . 传导电流沿导线向上流去 , 由圆筒 向下流回，电流在截面上均匀分布 . 求介质内外表 面的磁化电流的大小及方向 .解： 2. 因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路，有 H dl =I0 在介质中 (R1 r R2)， I0=I，有2 rH= I H= I/(2 r )介质内的磁化强度M= mH = m I/(2 r)介质内表面的磁化电流JSR1= M R1nR1 = MR1 = mI/(2 R1)ISR1=JSR1 2 R1= mI (与 I同向 )介质外表面的磁化电流JSR2= M

19、 R2nR2 = MR2 = mI/(2 R2)ISR2=JSR2 2 R2= mI ( 与 I 反向 )练习十二 电磁感应定律 动生电动势三、计算题1. 如图所示，长直导线 AC中的电流 导线附近放一个与之同面的直角三角形 线框，其一边与导线平行，位置及线框 尺寸如图所示 . 求此线框中产生的感应 电动势的大小和方向 .m= SB dSa2xb0Ilabablnb= 2 ba0labdIi=d m/dt=bab ln2badtab10负号表示逆时针2. 一很长的长方形的 U 形导轨，与水平面成 角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑， 导轨位于磁感强度 B 垂直向上的均匀磁场中，如图所示 . 设导

20、线 ab 的质量为 m，电阻为 R， 长度为 l，导轨的电阻略去不计 , abcd形成电路 . t=0 时， v=0. 求：(1) 导线 ab下滑的速度 v 与 时间 t 的函数关系 ; (2) 导线 ab 的最大速度 vm .解：2. (1) 导线 ab 的动生电动势为i = l vBdl=vBlsin( /2+ )=vBlcosIi=i/R= vBlcos /R 方向由 b 到 a. 受安培力方向向右 , 大小为22F= l (Iidl )B = vB2l2cos /RF 在导轨上投影沿导轨向上 ,大小为F = Fcos =vB2l2cos2 /R重力在导轨上投影沿导轨向下 ,大小为 mg

21、sinmgsin vB2l2cos2 /R=ma=mdv/d t练习十三 感生电动势 自感三、计算题1. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场 的金属棒 MN 放在磁场外 且与圆柱形均匀磁场相切 , 切点为金属棒的中点 ,金属 棒与磁场 B 的轴线垂直 .如 图所示 .设 B 随时间的变化 率 dB/dt 为大于零的常量 . 求 :棒上感应电动势的大小 , 并指出哪一个端点的电势 高.(分别用对感生电场的积分 i= lEidl和法拉第电磁感应定律 i=d /dt 两种方法解 ). .解： (1) 用对感生电场的积分 i= lEidl 解 :在棒 MN 上取微元 dx( Rxa)的绝缘薄壁

22、长圆筒表面上心轴旋转 .一半径为 2a,电阻为 R 总匝数为 N 的圆线圈套在圆筒上 ,如图所示 .若圆筒转速按= 0(1 t/t 0)的规律 ( 0,t0 为已知常数 )随时间线性地减小 ,求圆线圈中感应电流的大小和流 向.解：2. .等效于螺线管B 内= 0 nI= 0 Q /(2 )/L= 0 Q /(2 L)B 外 =0= SB dS=B a2= 0Q a2 /(2 L)i =d /dt= 0Q a2 /(2 L)d /dt = 0 0Q a2 /(2 L t0) Ii=i /R= 0 0Q a2 /(2 LR t0) 方向与旋转方向一致 .练习十四 自感(续)互感 磁场的能量dS=hd ,由 m= B dS 得SM= m/I= 0Nhln(R/r)/(2 )