运筹学讲义2.docx
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运筹学讲义2
第二讲运输问题
定理1运输问题的数学模型必有最优解。
运输问题基变量的个数为m+n-1。
对于运输问题的基可行解,m×n个变量中至多只能有m+n-1个变量取正值,而其他的变量为零
一、基本概念
1)数字格2)空格3)闭回路
结论1:
运输问题的一个可行解是基可行解的充要条件是:
1)数字格的个数为m+n-1个
2)m+n-1个数字格不构成闭回路(从数字格出发)
结论2:
对每一个空格处,有且仅有一条闭回路。
例:
判断下表给出的调运方案能否作为表上作业法求解时的初始解
B1
B2
B3
B4
产量
A1
0
15
15
A2
15
10
25
A3
5
5
需求量
5
15
15
10
二、表上作业法
(1)初始方案的确定:
最小元素法;伏格尔法
(2)最优性检验:
闭回路法;位势法
(3)闭回路内改进方案
(1.1)最小元素法(就近供应)
就进供应,即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系,然后次小,一直到求出初始基可行解为止。
(1.2)伏格尔法
(2.1)闭回路法计算检验数
注:
1)数字格检验数均为0
2)空格检验数
(2.2)位势法求检验数
(3)闭回路内改进方案
(06年,第三题,20分)下表是一运输问题的表格,其中右上角数字是单位运价,方框内是运量。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
26
3
12
25
5
A2
7
5
8
24
2
A3
3
32
5
7
3
需求量
2
3
1
4
(1)上表所给方案是否为该问题的可行解,是否为该问题的基本可行解,为什么?
(2)上述方案是否是该问题最优解?
若不是,如何用表上作业法继续迭代?
解:
(1)上表方案是该问题的可行解,因为该问题的数学模型是
设从Ai运往Bj的运量为为xij
由上表方框内的运量可知,
其余的xij等于零,将其代入约束条件中,显然都满足,因此上表方案是该问题的可行解。
在运输问题中,数字格(基变量)有
个,而上表中只有五个数字格,若是基变量应该是
个,因此上表方案不是该问题的基本可行解。
(2)由位势法得上述方案的检验数为下表(圈中数字是检验数),
B1
B2
B3
B4
ui
A1
26
3
12
25
A2
7
5
8
24
A3
03
32
5
7
vj
(1,2)格的检验数为负值,因此上述方案不是该问题的最优解,继续以(1,2)格为调入格,以此格为出发点做一闭回路,θ=min{2,3}=2进行闭回路调整得可行解,然后再计算检验数,得下表
B1
B2
B3
B4
ui
A1
6
23
12
25
A2
7
5
8
24
A3
23
12
5
7
vj
此时,所有检验数非负,即得最优解。
例:
已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表1和表2,试回答下列问题
表1
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
10
15
A2
0
10
15
25
A3
5
5
需求量
5
15
15
10
表2
B1
B2
B3
B4
A1
10
1
20
11
A2
12
7
9
20
A3
2
14
16
18
1)从A2B2的单位运价c22在什么范围内变化时,上述最优调运方案不发生变化?
2)A2B4的单位运价c24变为何值时,有无穷多最有无穷多最优调运方案?
至少再写出其他两个。
解:
1)
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
2)
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
例:
某百货公司去外地采购A、B、C、D四种规格的服装,数量分别为:
A-1500套,B-2000套,C-3000套,D-3500套。
有三个城市可供应上述规格服装,各城市供应数量分别为:
I-2500套,II-2500套,III-5000套。
由于这些城市的服装质量、运价和销售情况不同,预计售出后的利润(元/套)也不同,见下表,请帮该公司确定一个预期盈利最大的采购方案。
A
B
C
D
I
10
5
6
7
II
8
2
7
6
III
9
3
4
8
三、不平衡运输问题转化
(10年,第二题,15分)有三个工厂A、B、C,它们需要同一种资源,数量分别是300、400、300吨,有两个产地甲、乙可供应该原料500,、400吨,单位运价见表:
产地工厂
A
B
C
甲
16
10
14
乙
12
12
20
1)将该问题化为平衡问题,建立运输表,要求A地需求必须满足;
2)简述平衡运输问题表上作业法步骤。
解:
1)根据题意,本题是销大于产的不平衡运输问题。
虚设一个产地丙,其产量为100吨,转化为产销平衡问题,运输表如下
产地工厂
A
B
C
生产量
甲
16
10
14
500
乙
12
12
20
400
丙
M
0
0
100
需求量
300
400
300
1000
(11年,第四题,15分)已知最小化运输问题如表2所示,表2中空格右上角数据为单位运价。
表2
销
产
B1
B2
B3
ai
A1
16
10
9
500
A2
14
20
8
400
bj
200
400
300
(1)按最小元素法确定初始方案;
(2)用位势法检验该初始方案是否最优;
(3)如果产地A2产量减少200,但要保证B2的需求,给出其相应的产销平衡表。
解:
(1)初始方案见下图。
销
产
B1
B2
B3
ai
A1
16
10
9
500
100
400
A2
14
20
8
400
100
300
bj
200
400
300
(2)
销
产
B1
B2
B3
ui
A1
16
10
9
500
100
400
-1
A2
14
20
8
400
100
12
300
vj
16
10
10
因为(1,3)位置的检验数=-1,所以该初始方案不是最优。
(3)虚拟一个产地A3,其产量为200,相应的产销平衡表如下
销
产
B1
B2
B3
ai
A1
16
10
9
500
A2
14
20
8
200
A3
0
M
0
200
bj
200
400
300
例:
甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为:
320万吨、250万吨、350万吨,由A、B两处煤矿负责供应。
已知煤矿年供应量分别为:
A-400万吨,B-450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价(万元/万吨)见下表。
由于需大于供,经研究平衡决定,甲城市供应量可减少0-30万吨,乙城市应全部满足,丙城市供应量不少于270万吨,试求将供应量分配完又使总运费最低的调运方案。
甲
乙
丙
A
15
18
22
B
21
25
16
解: