运筹学讲义2.docx
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运筹学讲义2
第二讲运输问题
定理1运输问题的数学模型必有最优解。
运输问题基变量的个数为m+n－1。
对于运输问题的基可行解，m×n个变量中至多只能有m+n－1个变量取正值，而其他的变量为零
一、基本概念
1）数字格2）空格3）闭回路
结论1：
运输问题的一个可行解是基可行解的充要条件是：
1）数字格的个数为m+n-1个
2）m+n-1个数字格不构成闭回路（从数字格出发）
结论2：
对每一个空格处，有且仅有一条闭回路。
例：
判断下表给出的调运方案能否作为表上作业法求解时的初始解
B1
B2
B3
B4
产量
A1
0
15
15
A2
15
10
25
A3
5
5
需求量
5
15
15
10
二、表上作业法
（1）初始方案的确定：
最小元素法；伏格尔法
（2）最优性检验：
闭回路法；位势法
（3）闭回路内改进方案
（1.1）最小元素法（就近供应）
就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
（1.2）伏格尔法
（2.1）闭回路法计算检验数
注：
1）数字格检验数均为0
2）空格检验数
（2.2）位势法求检验数
（3）闭回路内改进方案
（06年，第三题，20分）下表是一运输问题的表格，其中右上角数字是单位运价，方框内是运量。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
26
3
12
25
5
A2
7
5
8
24
2
A3
3
32
5
7
3
需求量
2
3
1
4
（1）上表所给方案是否为该问题的可行解，是否为该问题的基本可行解，为什么？
（2）上述方案是否是该问题最优解？
若不是，如何用表上作业法继续迭代？
解：
（1）上表方案是该问题的可行解，因为该问题的数学模型是
设从Ai运往Bj的运量为为xij
由上表方框内的运量可知，
其余的xij等于零，将其代入约束条件中，显然都满足，因此上表方案是该问题的可行解。
在运输问题中，数字格（基变量）有
个，而上表中只有五个数字格，若是基变量应该是
个，因此上表方案不是该问题的基本可行解。
（2）由位势法得上述方案的检验数为下表（圈中数字是检验数），
B1
B2
B3
B4
ui
A1
26
3
12
25
A2
7
5
8
24
A3
03
32
5
7
vj
（1，2）格的检验数为负值，因此上述方案不是该问题的最优解，继续以（1，2）格为调入格，以此格为出发点做一闭回路，θ=min{2，3}=2进行闭回路调整得可行解，然后再计算检验数，得下表
B1
B2
B3
B4
ui
A1
6
23
12
25
A2
7
5
8
24
A3
23
12
5
7
vj
此时，所有检验数非负，即得最优解。
例：
已知运输问题的产销平衡表、单位运价表及最优调运方案分别见表1和表2，试回答下列问题
表1
B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
10
15
A2
0
10
15
25
A3
5
5
需求量
5
15
15
10
表2
B1
B2
B3
B4
A1
10
1
20
11
A2
12
7
9
20
A3
2
14
16
18
1）从A2B2的单位运价c22在什么范围内变化时，上述最优调运方案不发生变化？
2）A2B4的单位运价c24变为何值时，有无穷多最有无穷多最优调运方案？
至少再写出其他两个。
解：
1）
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
2）
B1
B2
B3
B4
A1
A2
A3
例：
某百货公司去外地采购A、B、C、D四种规格的服装，数量分别为：
A-1500套，B-2000套，C-3000套，D-3500套。
有三个城市可供应上述规格服装，各城市供应数量分别为：
I-2500套，II-2500套，III-5000套。
由于这些城市的服装质量、运价和销售情况不同，预计售出后的利润（元/套）也不同，见下表，请帮该公司确定一个预期盈利最大的采购方案。
A
B
C
D
I
10
5
6
7
II
8
2
7
6
III
9
3
4
8
三、不平衡运输问题转化
（10年，第二题，15分）有三个工厂A、B、C，它们需要同一种资源，数量分别是300、400、300吨，有两个产地甲、乙可供应该原料500,、400吨，单位运价见表：
产地工厂
A
B
C
甲
16
10
14
乙
12
12
20
1）将该问题化为平衡问题，建立运输表，要求A地需求必须满足；
2）简述平衡运输问题表上作业法步骤。
解：
1）根据题意，本题是销大于产的不平衡运输问题。
虚设一个产地丙，其产量为100吨，转化为产销平衡问题，运输表如下
产地工厂
A
B
C
生产量
甲
16
10
14
500
乙
12
12
20
400
丙
M
0
0
100
需求量
300
400
300
1000
（11年，第四题，15分）已知最小化运输问题如表2所示，表2中空格右上角数据为单位运价。
表2
销
产
B1
B2
B3
ai
A1
16
10
9
500
A2
14
20
8
400
bj
200
400
300
（1）按最小元素法确定初始方案；
（2）用位势法检验该初始方案是否最优；
（3）如果产地A2产量减少200，但要保证B2的需求，给出其相应的产销平衡表。
解：
（1）初始方案见下图。
销
产
B1
B2
B3
ai
A1
16
10
9
500
100
400
A2
14
20
8
400
100
300
bj
200
400
300
（2）
销
产
B1
B2
B3
ui
A1
16
10
9
500
100
400
-1
A2
14
20
8
400
100
12
300
vj
16
10
10
因为（1,3）位置的检验数=－1，所以该初始方案不是最优。
（3）虚拟一个产地A3，其产量为200，相应的产销平衡表如下
销
产
B1
B2
B3
ai
A1
16
10
9
500
A2
14
20
8
200
A3
0
M
0
200
bj
200
400
300
例：
甲、乙、丙三个城市每年需要煤炭分别为：
320万吨、250万吨、350万吨，由A、B两处煤矿负责供应。
已知煤矿年供应量分别为：
A-400万吨，B-450万吨。
由煤矿至各城市的单位运价（万元/万吨）见下表。
由于需大于供，经研究平衡决定，甲城市供应量可减少0-30万吨，乙城市应全部满足，丙城市供应量不少于270万吨，试求将供应量分配完又使总运费最低的调运方案。
甲
乙
丙
A
15
18
22
B
21
25
16
解：
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