山东省威海市2020届高三第二次模拟数学试题Word版含解析.doc
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2020年威海市高考模拟考试
数学试题
一､单项选择题
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
集合是的取值范围，是函数的值域，分别求出再求交集.
【详解】解：
，
故选：
A
【点睛】考查求等式中变量的范围以及集合的交集运算；基础题.
2.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则实数（）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】C
【解析】
【分析】
化简复数，求出对应点，代入直线方程求解即可.
【详解】因为，
所以对应的点为，
代入直线可得，
解得，
故选：
C
【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
3.若（且），，则（）
A.， B.，
C.， D.，
【答案】B
【解析】
【分析】
先由得，，又由，可得，而，可得
【详解】解：
因为，所以，
因为，所以，
因为，，
所以，
故选：
B
【点睛】此题考查的是指数不等式和对数不等式，属于基础题
4.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：
一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，可求出，利用等差数列知识即可判断各选项.
【详解】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列,其中寸，寸，公差为寸，则，
解得（寸），
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列,首项，末项，公差（单位都为寸）.
故选项A正确；
春分的晷长为，
秋分的晷长为，，所以B正确；
立冬的晷长为，，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；
立春的晷长，立秋的晷长分别为，，
，，
，故D错误.
故选：
D
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列在实际问题中的应用，数学文化，属于中档题.
5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好然后做“柑子”“苹果”“混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则（）
A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签
B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签
C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签
D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签
【答案】C
【解析】
【分析】
若从贴有“柑子”或“苹果”标签的筐内拿出一个水果，无法判定剩余水果是一种还是两种，不能纠正所有标签，若从“混装”标签中取出一个，就能判断其余两个筐内水果.
【详解】如果从贴着苹果标签的筐中拿出一个水果，如果拿的是柑子，就无法判断这筐装的全是柑子，还是有苹果和柑子;
同理从贴着柑子的筐中取出也无法判断，因此应从贴着苹果和柑子的标签的筐中取出水果.
分两种情况:
（1）如果取出的是柑子，那说明这筐全是柑子，则贴有柑子的那筐就是苹果，贴有苹果的那筐就是苹果和柑子.
（2）如果取出的是苹果，那说明这筐全是苹果，那贴有苹果的那筐就是柑子，贴有柑子的那筐就是苹果和柑子.
故选：
C
【点睛】解决本题的关键在于，其中贴有混装的这筐肯定不是苹果和柑子混在一起，所以能判断不是苹果就是柑子，考查了逻辑推理能力，属于容易题.
6.已知向量，将绕原点逆时针旋转到的位置，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设向量与轴的夹角为，结合三角函数的定义和两角和与差的正弦、余弦函数公式，求得，得到点的坐标，进而求得.
【详解】由题意，向量，则，
设向量与轴的夹角为，则，
所以
，
可得，
所以.
故选：
D.
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及三角函数的定义的应用和两角和与差的正弦、余弦函数的综合应用，着重考查推理与运算能力.
7.已知函数对任意，都有，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用赋值法再结合条件，即可得答案；
【详解】由所求式子可得，
令可得：
，
令可得：
，
令可得：
，
令可得：
，
，
，
故选：
B.
【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求函数的解析式，等比数列求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将抽象函数具体化.
8.已知正四棱柱，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别在正四棱柱中找到和，将和放在同一个平面图形中找关系即可.
【详解】作正四棱柱如下图：
∵在正四棱柱中，平面，
∴
∵底面是正方形
∴
又∵
∴平面
∴是直线与平面所成的角，即
∵
∴是直线与直线所成的角，即
∵，，
∴
∴
∵平面
∴
∴
故选：
D
【点睛】本题主要考查直线与平面和异面直线的夹角，属于中档题.
二､多项选择题
9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温．某大学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则
性别
甲专业报考人数
乙专业报考人数
性别
甲专业录取率
乙专业录取率
男
100
400
男
女
300
100
女
A.甲专业比乙专业的录取率高 B.乙专业比甲专业的录取率高
C.男生比女生的录取率高 D.女生比男生的录取率高
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据数据进行整合，甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；结合选项可得结果.
【详解】由题意可得甲专业录取了男生25人，女生90人；乙专业录取了男生180人，女生50人；
甲专业的录取率为，乙专业的录取率为，所以乙专业比甲专业的录取率高.
男生的录取率为，女生的录取率为，所以男生比女生的录取率高.
故选：
BC.
【点睛】本题主要考查频数分布表的理解，题目较为简单，明确录取率的计算方式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.
10.已知函数，将的图像上所有点向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到函数的图像.若为偶函数，且最小正周期为，则（）
A.图像关于点对称 B.在单调递增
C.在有且仅有个解 D.在有且仅有个极大值点
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意求得，，进而求得，，然后对选项逐一判断即可.
【详解】解：
将的图像上所有点向左平移个单位后变为：
，
然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的后变为：
，
所以.
因为的最小正周期为，所以，解得：
.
所以，
又因为为偶函数，所以，所以.
因为，所以.
所以，.
对于选项，因为，所以图像关于点对称，故正确.
对于选项，因为时，，
设，则，
因为在不是单调递增，所以在不单调递增，故错误.
对于选项，，，画出在图像如图所示:
从图中可以看出：
在图像有三个交点，所以在有且仅有个解，故正确.
对于选项，在的图像如图所示：
从图中可以看出在有且仅有2个极大值点，故选项错误.
故选：
AC
【点睛】本题主要考查正弦型函数、余弦型函数的周期、对称中心、奇偶性、单调性等，考查学生数形结合的能力，计算能力等，属于中档题.
11.已知抛物线上三点，，，为抛物线的焦点，则（）
A.抛物线的准线方程为
B.，则，，成等差数列
C.若，，三点共线，则
D.若，则的中点到轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
把点代入抛物线即可得到本题答案；根据抛物线的定义，以及，可得，从而可证得；由A，F，C三点共线，得，结合，化简即可得到本题答案；设AC的中点为，由，结合，即可得到本题答案.
【详解】把点代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故A正确；
因为，所以，，，又由，得，
所以，即，，成等差数列，故B正确；
因为A，F，C三点共线，所以直线斜率，即，所以，化简得，，故C不正确；
设AC的中点为，因为，，所以，得，
即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.
故选：
ABD
【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及抛物线与直线的相关问题，考查学生的分析问题能力和转化能力.
12.已知函数的定义域为，导函数为，，且，则（）
A. B.在处取得极大值
C. D.在单调递增
【答案】ACD
【解析】
分析】
根据题意可设，根据求，再求判断单调性求极值即可.
【详解】∵函数的定义域为，导函数为，
即满足
∵
∴
∴可设（为常数）
∴
∵，解得
∴
∴，满足
∴C正确
∵，且仅有
∴B错误，A、D正确
故选：
ACD
【点睛】本题主要考查函数的概念和性质，以及利用导数判断函数的单调性和极值点，属于中档题.
三､填空题
13.的展开式中的系数为________．
【答案】
【解析】
【分析】
把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数．
【详解】，
故它的展开式中的系数为，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14.已知是平面，外的直线，给出下列三个论断，①；②；③．以其中两个论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：
________．（用序号表示）
【答案】若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；
【解析】
【分析】
利用空间直线与平面的位置关系进行判断，，时，与可能平行或者相交.
【详解】因为，时，与可能平行或者相交，所以①②作为条件，不能得出③；
因为，所以内存在一条直线与平行，又，所以，所以可得，即①③作为条件，可以得出②；
因为，，所以或者，因为是平面外的直线，所以，即即②③作为条件，可以得出①；
故答案为：
若①③，则②或若②③，则①（填写一个即可）；
【点睛】本题主要考查空间位置关系的判断，稍微具有开放性，熟悉空间的相关定理及模型是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.
15.已知双曲线过左焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，以，为圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先求两点的坐标，代人圆心到直线的距离，由已知条件建立等式求得，最后再求双曲线的离心率.
【详解】设，当，代人双曲线方程，
解得：
，设，
根据对称性，可设与两圆相切的渐近线是，
则两点到渐近线的距离，
，上式去掉绝对值为，
即，那么.
双曲线的离心率.
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的离心率，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为米峡谷拐入宽为米的峡谷．如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点、的连线恰好经过拐角内侧顶点（点、、在同一水平面内），设与较宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则
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