数学人教版八年级下册1911变量与函数.docx
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数学人教版八年级下册1911变量与函数
第十九章一次函数
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
课题
19.1.1 变量与函数
授课人
教
学
目
标
知识技能
结合实例了解常量、变量的意义，理解函数的概念以及自变量的意义.
数学思考
在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.
问题解决
探索具体问题中的数量关系和变化规律.
情感态度
通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣.
教学
重点
结合实例了解常量、变量的意义，能分清函数关系中的自变量与因变量.
教学
难点
函数的概念的理解.
授课
类型
新授课
课时
教具
多媒体：
PPT课件、电子白板
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：
1.已知等腰三角形中，底角的度数为x度，顶角的度数可表示为__（180－2x）__度.
2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱数Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的关系是（ C ）
A.Q＝8x B.Q＝8x－50
C.Q＝50－8xD.Q＝8x＋50
3.在计算器上按照下面的程序进行操作：
输入x（任意一个数）→按键
、
、
、
、＝→显示y.
根据你的操作，请写出y关x的解析式.
学生活动设计：
学生独立完成以上问题，并交流.
教师活动设计：
引导学生发现问题3的解析式：
y＝2x＋5.
温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备.为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
图19－1－
从甲地到乙地，坐在匀速行驶的列车上，小明、小丽和小华谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化.
你如果是他们中的一员，请思考下列问题：
列车行驶这一过程中，哪些数量在改变，哪些数量没有变？
在行驶的列车上，围绕位置变化与数量变化的话题，谈论车速、路程、时间的变化，是学生熟悉的场景，能自然贴切地引入常量与变量的概念.如果学生没有乘坐火车的经历，可改用汽车或创设其他类似情境.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
生活之中我们常常会遇见许多数量，这些数量之间的关系都是怎样表达的呢？
让我们看一些具体的实例（大屏幕显示）.
下面问题中变化的量和不变的量：
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶时间为th，行驶路程为skm.
图19－1－
（2）每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元.
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？
在这个过程中，哪些量是变化的？
图19－1－
（4）用10m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？
在矩形改变形状的过程中，哪些量是变化的？
哪些量是固定不变的？
学生活动设计：
在上述四个实例的解决过程中，体会在一个变化过程中各个量的变化规律，进而发现有的量变化、有的量不变，最后在教师的引导下进行归纳.
1.常量与变量的概念是本节的重点.教学中以一个个与学生生活相关的问题作为探究的形式把数学问题生活化，使抽象的概念具体化，同时也突出概念的形成过程.学生通过观察、思考、分析、归纳，有助于学生把握概念的本质特征.特别是“常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的”这一结论的得出，突出了重点.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
教师活动设计：
概括讲解
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，出现了各种各样的量，有些量，它们始终保持不变，我们称之为常量，如：
60，π，而有些量，在某一变化过程中，可以取不同数值，我们称之为变量.
你能举出一个变化过程的例子，并说出其中的变量和常量吗？
试一试！
想一想：
你能确定下列变化过程中的变量吗？
（1）小敏长高了；
（2）在汤中加水，汤变淡了；
（3）小狗越来越可爱了.
【探究2】问题引申，探索函数的概念
问题1：
在前面研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间有什么联系？
问题2：
这些变化过程中，变量之间的关系有什么共同特点？
问题3：
下面是中国代表团在第23届至30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？
届数x/届
23
24
25
26
27
28
29
30
金牌数y/枚
15
5
16
16
28
32
51
38
问题4 如图19－1－是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出具体某一时刻的气温吗？
图19－1－
综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？
学生活动设计：
小组活动，合作讨论，然后进行交流.
学生分析：
s和t两个变量之间是互相关联，互相影响的，对于t每给定的一个值，变量s都有一个唯一确定的值和它对应，如t＝1时，s＝60；t＝2时，s＝120等.
2.使学生初步明确：
分别可以用解析式、表格、图象等形式表示变量之间的关系.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
对于其他问题，都有着这样一个规律：
上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应.
师生共同总结函数的定义：
某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x每取一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应.我们称y是x的函数.其中x是自变量.如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.（教师可补充：
y称为因变量）
【探究3】怎样理解函数？
请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系.
例1
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t（单位：
h），行驶的路程为s（单位：
km）；
（2）多边形的边数为n，内角和的度数为y.
问题
（1）中，t取－2有实际意义吗？
问题
（2）中，n取2有意义吗？
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.
教师帮助学生理解函数概念可从以下几个方面分析：
（1）在函数的定义中，阐明了函数必须具备的三个条件：
一个变化过程；有两个变量x与y；对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
（2）对条件“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的理解尤为重要，是函数关系判断的核心所在，“对于x的每一个确定的值”是指：
在x所能取的值中的任意一个确定值（即自变量x取值的任意性），“y都有唯一确定的值与其对应”是指：
y只能有唯一确定的值（即与所取x值对应的y值不能出现两个或两个以上）.
（3）函数定义的否定理解：
若对于x只要存在一个确定值，y有两个或两个以上确定的值与其对应，则y就不是x的函数.
（4）对于用数学式子表示两个变量关系的，判断y是x的函数时，先用含x的式子把y表示出来，再进行任意性和唯一性的判定就容易多了.比如，在式子y2－2x＋1＝0中，y是x的函数吗？
先用含x的式子表示y，即y＝±
，再对x的任意性和y的唯一性进行判断，显然不满足唯一性，所以y不是x的函数.
3.继续利用问题引申，探索函数的概念.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
（5）对于用图象表示变化过程的，对变量x的任意性和y的唯一性，可通过在x轴上任取一个动点作x轴的垂线，看是否有某一条直线（垂线）与图象有两个或两个以上的交点，若有，则y不是x的函数，否则y是x的函数.像教材第82页第7题第（4）个图，如图19－1－所示作垂线：
此时垂线与图象有三个交点，即存在一个x值，y有三个确定的值与其对应（不满足唯一性），所以y不是x的函数.
图19－1－
【探究4】函数自变量的取值范围
例2 求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y＝3x－1；
（2）y＝2x2＋7；（3）y＝
；（4）y＝
.
[解析]用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在
（1），
（2）中，x取任意实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在（3）中，x＝－2时，
没有意义；在（4）中，x＜2时，
没有意义.
解：
（1）x的取值范围是任意实数；
（2）x的取值范围是任意实数；
（3）x的取值范围是x≠－2；（4）x的取值范围是x≥2.
（1）
（2）题给出的是只含有一个自变量的整式；（3）题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；（4）题给出的是只含有一个自变量的二次根式.它们代表了三类题型.
学生活动设计：
学生独立思考，必要时进行适当的讨论，然后进行交流.
教师活动设计：
鼓励学生独立思考，自主探索，自己寻找问题的答案，在交流中完善自己的结果.并再次提醒学生：
确定实际问题中自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.
4.通过大量的函数关系的展示，让学生经历函数概念的抽象概括过程，初步掌握函数概念，并使学生明确实际问题中自变量是有限制条件的（取值范围）.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 [教材P73例1]汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：
L）随行驶路程x（单位：
km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
变式
如图19－1－：
搭1条小鱼需要8根火柴，每多搭1条小鱼就要增加6根火柴，随着小鱼条数的增加，火柴的根数也随着增加.搭小鱼所需火柴的根数S与所搭小鱼的条数n之间__是__（填“是”或“不是”）函数关系.
图19－1－
1.应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力.
2.通过例题教学规范学生的语言表达能力及其书写格式.
【拓展提升】
图19－1－
例2 图19－1－是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：
蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？
为什么？
变式1 汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数解析式及自变量的取值范围是（ A ）
A.S＝120－30t（0≤t≤4） B.S＝30t（0≤t≤4）
C.S＝120－30t（t>0）D.S＝30t（t＝4）
变式2 下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ D ）
A.y＝2x2中，x取全体实数
B.y＝
中，x≠－1
C.y＝
中，x≥2
D.y＝
中，x≥－3
通过拓展提升，巩固概念，突破重难点.知识的综合与拓展，提高学生的应考能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？
请说明理由.
（1）向一水池每分钟注水0.1m3，注水量y（单位：
m3）随注水时间x（单位：
min）的变化而变化；
（2）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；
（3）某村的耕地面积是106m2，这个村人均占有耕地面积y（单位：
m2）随这个村人数n的变化而变化；
（4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它的坐标记为y，y随x的变化而变化.
2.你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？
（1）等腰三角形的面积为12，底边长为x，底边上的高为y，y随着x的变化而变化；
（2）把边长为10cm的正方形纸板的四个角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V（单位：
cm3）随x（单位：
cm）的变化而变化.
3.下面的我国人口数统计表中，人口数y是年份x的函数吗？
为什么？
年份x
人口数y/亿
1989
11.06
1999
11.76
1999
12.52
2010
13.71
小结与作业：
小结：
（1）什么叫变量？
什么叫常量？
举一个运动变化的例子并指出其变量和常量.你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？
（2）谈谈你对函数有什么认识？
什么叫函数？
本课学习了哪些表示函数的方法？
怎样判断两个变量之间的关系是不是函数关系和函数关系中的自变量与函数（因变量）.
（3）在实际问题中，函数的自变量取值往往是有限制的，怎样确定由实际问题抽象出的函数的自变量的取值范围呢？
作业：
教材第81页习题19.1第1，2，3，4，5题.
1.当堂检测，及时反馈学习效果.
2.在巩固阶段，让学生快乐学习，享受成功；在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，让学生带着问题走出课堂，走向生活，使不同的人在数学上得到不同的发展，使学生发现问题、解决问题的能力得到进一步提升.
3.学生小结能发挥学生的主体作用，逐步提高学生的语言表达能力和自我获取知识的能力.
【知识网络】
利用框架图回顾本节课的知识，使学生更容易形成知识网络.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
情景导入引用了大量的生活实例，让学生感受到变量之间的关系是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性.通过生活实例，也激发了学生的研究热情，起到很好的导入效果.
②[讲授效果反思]
通过“提出问题——寻找其中的量——对量进行分类——归纳概念”，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解.通过练习，可以让学生体会到数学的价值以及成功的喜悦，让学生在愉悦中学习知识、掌握知识.
③[师生互动反思]
教师通过实例引导学生体会函数的模型思想，让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
回顾反思，找出差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力.
典案二 导学设计
学习目标1．理解解变量与常量的定义，能识别一个公式中或变化过程中的变量与常量
2．理解函数的概念和三种表示方法，并能判断给定的两个量是否成函数关系
学习过程：
一：
情境引入
探究1.票房收入问题：
每张电影票的售价为10元.
（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是元；
（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是元；（3）若设一场售出x张电影票，票房收入为y元，则y=。
探究2.行程问题：
汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：
t/时
1
2
3
4
……
S/千米
……
探究3.温度变化问题：
如图是南通冬季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回
（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，22时的气温是℃；
（2）这一天中，最高气温是℃，最低气温是℃；
探究4.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：
S＝_________．利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
探究5.用10m的绳子围成长方形.试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律.设长方形的长为xm，面积为Sm2，怎样用含x的式子表示S?
二、问题引申：
常量、变量：
在一个变化过程中,发生变化的量叫做；始终保持不变的量叫做；
练习一：
1．某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是,其中的变量是,常量是。
2．计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的关系式为,其中的变量是，常量是。
3.圆的周长C与半径r的关系式为，这里的变量是，常量是。
4．下列表格式是王辉从4岁到10岁的体重情况
年龄（岁）
4
5
6
7
8
9
10
…
体重（千克）
15.4
16.7
18.0
19.6
21.5
23.2
25.2
…
这个问题中的变量是。
自变量、函数、函数值：
1.“票房收入问题”中y=10x，有个变量，对于x的每一个值，y都有的值与之对应.
2.“行程问题”中s=60t，有个变量，对于t的每一个值，s都有的值与之对应.
3.“气温变化问题”，有个变量，对于时间t的每一个值，气温T都有的值与之对应.
4.S表示圆的面积则S与r之间满足关系的关系式：
有个变量，对于r的每一个值，s都有的值与之对应.
5长方形的周长为10米，长为xm，面积为Sm2，有个变量，对于x的每一个值，s都有的值与之对应.
归纳：
函数的定义：
如果在一个变化过程中有两个变量，对于x的每一个值，y都有的值与之对应，称x是，y是x的．
例题:
请看这些y是否是x函数？
1:
y＝X＋12:
y＝2X²+3X－23:
y²＝X＋14:
|y|=X
y
例题:
看一个函数的图象如右图所示：
它表示的是函数吗？
Ox
例题:
一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.
解：
（1）面积s随高h变化的关系式s=，其中常量是，变量是，是自变量，是的函数；
（2）当h=3时，面积s=______，（3）当h=10时，面积s=______；
练习二
1．购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：
x（支）
1
2
3
…
y（元）
（1）y随x变化的关系式y=，是自变量，是的函数；
（2）当购买8支签字笔时，总价为元.
2．一个梯形的上底是4，下底是9，写出面积S随高h变化的函数关系式，常量是，变量是，自变量是，是的函数。
3．小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．设x个月后小张的存款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式，其中常量是，变量是，自变量是，是的函数。
⏹思考题：
填表并回答问题：
x
1
4
9
16
y2=x
（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？
答：
。
（2）y是x的函数吗？
为什么？
三、函数的不同表示法：
回顾“票房收入问题”、“行程问题”、“气温变化问题”，表示两个变量的对应关系有哪些方法？
（1）；
（2）；（3）．
四、小结
1.常量、变量、自变量、函数；
2.辨析是否函数的关键：
（1）是否存在变量,
（2）是否符合唯一对应性；
3.函数常见的表示方式：
解析法、列表法、图象法。
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