数学人教版八年级下册1911变量与函数.docx

1、数学人教版八年级下册1911变量与函数第十九章 一次函数19.1函数19.1.1变量与函数课题19.1.1变量与函数授课人教学目标知识技能结合实例了解常量、变量的意义，理解函数的概念以及自变量的意义.数学思考在探究问题的过程中，体会从具体的事例中寻找常量、变量、判断两个变量之间是否满足函数关系的过程.问题解决探索具体问题中的数量关系和变化规律.情感态度通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣.教学重点结合实例了解常量、变量的意义，能分清函数关系中的自变量与因变量.教学难点函数的概念的理解.授课类型新授课课时教具多媒体：PPT课件、电子白板教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：

2、1.已知等腰三角形中，底角的度数为x度，顶角的度数可表示为_(1802x)_度.2.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是(C)A.Q8xB.Q8x50C.Q508x D.Q8x503.在计算器上按照下面的程序进行操作：输入x(任意一个数)按键、显示y.根据你的操作，请写出y关x的解析式.学生活动设计：学生独立完成以上问题，并交流.教师活动设计：引导学生发现问题3的解析式：y2x5.温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备.为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】图191从甲地到乙地，坐在匀速行驶的列车上

3、，小明、小丽和小华谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化.你如果是他们中的一员，请思考下列问题：列车行驶这一过程中，哪些数量在改变，哪些数量没有变？在行驶的列车上，围绕位置变化与数量变化的话题，谈论车速、路程、时间的变化，是学生熟悉的场景，能自然贴切地引入常量与变量的概念.如果学生没有乘坐火车的经历，可改用汽车或创设其他类似情境.活动二：实践探究交流新知【探究1】生活之中我们常常会遇见许多数量，这些数量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例(大屏幕显示).下面问题中变化的量和不变的量：(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶时间为t h，行驶路程为s km.图1

4、91(2)每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元.(3)圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？图191(4)用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，它的邻边长y分别为多少？在矩形改变形状的过程中，哪些量是变化的？哪些量是固定不变的？学生活动设计：在上述四个实例的解决过程中，体会在一个变化过程中各个量的变化规律，进而发现有的量变化、有的量不变，最后在教师的引导下进行归纳.1.常量与变量的概念是本节的重点.教学中以一个

5、个与学生生活相关的问题作为探究的形式把数学问题生活化，使抽象的概念具体化，同时也突出概念的形成过程.学生通过观察、思考、分析、归纳，有助于学生把握概念的本质特征.特别是“常量与变量不是绝对的，而是相对于一个变化过程而言的”这一结论的得出，突出了重点.活动二：实践探究交流新知教师活动设计：概括讲解在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，出现了各种各样的量，有些量，它们始终保持不变，我们称之为常量，如：60，而有些量，在某一变化过程中，可以取不同数值，我们称之为变量.你能举出一个变化过程的例子，并说出其中的变量和常量吗？试一试！想一想：你能确定下列变化过程中的变量吗？(1)小敏长高了；(2)在汤中

6、加水，汤变淡了；(3)小狗越来越可爱了.【探究2】 问题引申，探索函数的概念问题1：在前面研究的每个问题中，都出现了两个变量，它们之间有什么联系？问题2：这些变化过程中，变量之间的关系有什么共同特点？问题3：下面是中国代表团在第23届至30届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作x和y，对于表中每一个确定的届数x，都对应着一个确定的金牌数y吗？届数x/届2324252627282930金牌数y/枚155161628325138问题4如图191是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出具体某一时刻的气温吗？图191综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特

7、点吗？学生活动设计：小组活动，合作讨论，然后进行交流.学生分析：s和t两个变量之间是互相关联，互相影响的，对于t每给定的一个值，变量s都有一个唯一确定的值和它对应，如t1时，s60；t2时，s120等.2.使学生初步明确：分别可以用解析式、表格、图象等形式表示变量之间的关系.活动二：实践探究交流新知对于其他问题，都有着这样一个规律：上述每个实例中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应.师生共同总结函数的定义：某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x每取一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应.我们称y是x的函数.其中x是自变量.如果当xa时yb，那

8、么b叫做当自变量的值为a时的函数值.(教师可补充：y称为因变量)【探究3】 怎样理解函数？请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系.例1(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的时间为t(单位：h)，行驶的路程为s(单位：km)；(2)多边形的边数为n，内角和的度数为y.问题(1)中，t取2有实际意义吗？问题(2)中，n取2有意义吗？根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.教师帮助学生理解函数概念可从以下几个方面分析：(1)在函数的定义中，阐明了函数必须具备的三个条件：一个变

9、化过程；有两个变量x与y；对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.(2)对条件“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”的理解尤为重要，是函数关系判断的核心所在，“对于x的每一个确定的值”是指：在x所能取的值中的任意一个确定值(即自变量x取值的任意性)，“y都有唯一确定的值与其对应”是指：y只能有唯一确定的值(即与所取x值对应的y值不能出现两个或两个以上).(3)函数定义的否定理解：若对于x只要存在一个确定值，y有两个或两个以上确定的值与其对应，则y就不是x的函数.(4)对于用数学式子表示两个变量关系的，判断y是x的函数时，先用含x的式子把y表示出来，再进行任意性和唯一

10、性的判定就容易多了.比如，在式子y22x10中，y是x的函数吗？先用含x的式子表示y，即y，再对x的任意性和y的唯一性进行判断，显然不满足唯一性，所以y不是x的函数.3.继续利用问题引申，探索函数的概念.引导学生观察、分析、类比、猜想，体验知识的生成过程，使传授的数学知识成为学生自己思考获得的结果，从而抓住了重点，突破了难点.活动二：实践探究交流新知(5)对于用图象表示变化过程的，对变量x的任意性和y的唯一性，可通过在x轴上任取一个动点作x轴的垂线，看是否有某一条直线(垂线)与图象有两个或两个以上的交点，若有，则y不是x的函数，否则y是x的函数.像教材第82页第7题第(4)个图，如图191所示

11、作垂线：此时垂线与图象有三个交点，即存在一个x值，y有三个确定的值与其对应(不满足唯一性)，所以y不是x的函数.图191【探究4】 函数自变量的取值范围例2求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y3x1；(2)y2x27；(3)y；(4)y.解析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值.例如，在(1)，(2)中，x取任意实数，3x1与2x27都有意义；而在(3)中，x2时，没有意义；在(4)中，x2时，没有意义.解：(1)x的取值范围是任意实数；(2)x的取值范围是任意实数；(3)x的取值范围是x2；(4)x的取值范围是x2.(1)(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；

12、(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式.它们代表了三类题型.学生活动设计：学生独立思考，必要时进行适当的讨论，然后进行交流.教师活动设计：鼓励学生独立思考，自主探索，自己寻找问题的答案，在交流中完善自己的结果.并再次提醒学生：确定实际问题中自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围.4.通过大量的函数关系的展示，让学生经历函数概念的抽象概括过

13、程，初步掌握函数概念，并使学生明确实际问题中自变量是有限制条件的(取值范围).活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1教材P73例1 汽车油箱中有汽油50 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.(1)写出表示y与x的函数关系的式子；(2)指出自变量x的取值范围；(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？变式如图191：搭1条小鱼需要8根火柴，每多搭1条小鱼就要增加6根火柴，随着小鱼条数的增加，火柴的根数也随着增加.搭小鱼所需火柴的根数S与所搭小鱼的条数n之间_是_(填“是”或“不是”)函数关系.图1911.

14、应用迁移、巩固提高，培养学生解决问题的能力.2.通过例题教学规范学生的语言表达能力及其书写格式.【拓展提升】图191例2图191是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？变式1汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数解析式及自变量的取值范围是(A)A.S12030t(0t4)B.S30t(0t4)C.S12030t(t0) D.S30t(t4)变式2下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是(D)A.y2x2中，x取全体实数B.y中，x1C.y中，x2D.y中，x3通过拓

15、展提升，巩固概念，突破重难点.知识的综合与拓展，提高学生的应考能力.活动四：课堂总结反思【当堂训练】1.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由.(1)向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量y(单位：m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化；(2)改变正方形的边长x，正方形的面积S随之变化；(3)某村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积y(单位：m2)随这个村人数n的变化而变化；(4)P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它的坐标记为y，y随x的变化而变化.2.你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？(1)等腰三角形的面积为12，底边长

16、为x，底边上的高为y，y随着x的变化而变化；(2)把边长为10 cm的正方形纸板的四个角都截去一个边长为x的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积V(单位：cm3)随x(单位：cm)的变化而变化.3.下面的我国人口数统计表中，人口数y是年份x的函数吗？为什么？年份x人口数y/亿198911.06199911.76199912.52201013.71小结与作业：小结：(1)什么叫变量？什么叫常量？举一个运动变化的例子并指出其变量和常量.你认为变化过程中的变量之间会有联系吗？(2)谈谈你对函数有什么认识？什么叫函数？本课学习了哪些表示函数的方法？怎样判断两个变量之间的关系是不是函数关系和函

17、数关系中的自变量与函数(因变量).(3)在实际问题中，函数的自变量取值往往是有限制的，怎样确定由实际问题抽象出的函数的自变量的取值范围呢？作业：教材第81页习题19.1第1，2，3，4，5题.1.当堂检测，及时反馈学习效果.2.在巩固阶段，让学生快乐学习，享受成功；在练习设计上，遵循由浅入深、循序渐进的原则，让学生带着问题走出课堂，走向生活，使不同的人在数学上得到不同的发展，使学生发现问题、解决问题的能力得到进一步提升.3.学生小结能发挥学生的主体作用，逐步提高学生的语言表达能力和自我获取知识的能力.【知识网络】利用框架图回顾本节课的知识，使学生更容易形成知识网络.活动四：课堂总结反思【教学反

18、思】授课流程反思情景导入引用了大量的生活实例，让学生感受到变量之间的关系是通过多种形式表现出来的，感受研究函数的必要性.通过生活实例，也激发了学生的研究热情，起到很好的导入效果.讲授效果反思通过“提出问题寻找其中的量对量进行分类归纳概念”，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解.通过练习，可以让学生体会到数学的价值以及成功的喜悦，让学生在愉悦中学习知识、掌握知识.师生互动反思教师通过实例引导学生体会函数的模型思想，让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.习题反思好题题号_错题题号_回顾反思，找出

19、差距与不足，形成知识及教学体系，更进一步提升教师教学的能力.典案二导学设计 学习目标1 理解解变量与常量的定义，能识别一个公式中或变化过程中的变量与常量 2理解函数的概念和三种表示方法，并能判断给定的两个量是否成函数关系学习过程：一：情境引入探究1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入 是 元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；（3）若设一场售出x张电影票，票房收入为 y元，则 y= 。探究2.行程问题：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时.请根据题意填表：t/时1234S/千米探究3.

20、温度变化问题：如图是南通冬季某一天的气温随时间t变化的图象，看图回（1）这天的8时的气温是 ，14时的气温是 ，22时的气温是 ； （2）这一天中，最高气温是 ，最低气温是 ；探究4.如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S_利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：探究5.用10m的绳子围成长方形. 试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化. 记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律. 设长方形的长为x m，面积为S m2，怎样用含 x 的式子表示 S ?

21、二、问题引申：常量、变量：在一个变化过程中,发生变化的量叫做 ；始终保持不变的量叫做 ；练习一：1某位教师为学生购买数学辅导书，书的单价是4元，则总金额y（元）与学生数n（个）的关系式是 ,其中的变量是 ,常量是 。2计划购买50元的乒乓球，所能购买的总数n（个）与单价 a（元）的关系式为 ,其中的变量是 ，常量是 。3.圆的周长C与半径r的关系式为 ，这里的变量是 ，常量是 。4下列表格式是王辉从4岁到10岁的体重情况年龄（岁）45678910体重（千克）15.416.718.019.621.523.225.2这个问题中的变量是 。自变量、函数、函数值：1.“票房收入问题”中y=10x，有

22、个变量，对于x的每一个值，y都有 的值与之对应.2.“行程问题”中s=60t，有 个变量，对于t的每一个值，s都有 的值与之对应.3.“气温变化问题”， 有 个变量，对于时间t的每一个值，气温T都有 的值与之对应.4.S 表示圆的面积则S与r之间满足关系的关系式 ：有 个变量，对于r的每一个值，s都有 的值与之对应.5长方形的周长为10米，长为x m，面积为S m2，有 个变量，对于x的每一个值，s都有 的值与之对应.归纳：函数的定义：如果在一个变化过程中有两个变量，对于x的每一个值，y都有 的值与之对应，称x是 ，y是x的 例题:请看这些y是否是x函数？1:yX1 2:y2X+3X2 3:y

23、X1 4:|y|=Xy例题:看一个函数的图象如右图所示：它表示的是函数吗？ O x例题: 一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.解：（1）面积s随高h变化的关系式s = ，其中常量是 ，变量是 ， 是自变量， 是 的函数； （2）当h=3时，面积s=_，（3）当h=10时，面积s=_；练习二1购买一些签字笔，单价3元，总价为y元，签字笔为x支，根据题意填表：x（支）123y（元）（1）y随x变化的关系式y= ， 是自变量， 是 的函数；（2）当购买8支签字笔时，总价为 元.2一个梯形的上底是4，下底是9，写出面积S随高h变化的函数关系式 ，常量是 ，变量是 ，自

24、变量是 ， 是 的函数。3小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来他已存有50元，从现在起每个月节存12元设x个月后小张的存款数为y,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式 ，其中常量是 ，变量是 ，自变量是 ， 是 的函数。 思考题：填表并回答问题：x14916y2=x（1）对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应吗？答： 。（2）y是x的函数吗？为什么？三、函数的不同表示法：回顾“票房收入问题”、“行程问题”、“气温变化问题”，表示两个变量的对应关系有哪些方法？(1) ；(2) ；(3) 四、小结1.常量、变量、自变量、函数；2.辨析是否函数的关键：（1）是否存在变量, (2)是否符合唯一对应性；3.函数常见的表示方式：解析法、列表法、图象法。