第八章 地基承载力.docx

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第八章地基承载力

第八章地基承载力

第一节概述

地基承受建筑物荷载的作用后，内部应力发生变化。

一方面附加应力引起地基内土体的变形，造成建筑物沉降。

另一方面，引起地基内土体的剪应力增加。

当某一点的剪应力达到土的抗剪强度时，这一点的土就处于极限平衡状态。

若土体中某一区域内各点都达到极限平衡状态，就形成极限平衡区，或称为塑性区；如荷载继续增大，地基内极限平衡区的发展范围随之不断增大，局部的塑性区发展成连续贯穿到地表的整体滑动面。

这时，基础下一部分土体将沿滑动面产生整体滑动，称为地基失去稳定。

如果这种情况发生，建筑物将发生严重的塌陷、倾倒等灾害性的破坏（图8-1）。

地基承受荷载的能力称为地基承载力。

地基承载力分为两种：

一种称为极限承载力，它是指地基即将丧失稳定性时的承载力。

另一种称为容许承载力，它是指地基稳定有足够的安全度并且变形控制在建筑物容许范围内时的承载力。

影响地基极限承载力的因素很多，它与地基土的性质以及基础的埋置深度、宽度、形状有关。

容许承载力则还与建筑物的结构特性等因素有关。

本章把地基土当成理想的弹塑性体。

当土体中应力小于破坏应力时，或者是应力状态达到极限平衡条件之前，土为线弹性体；而在达到破坏应力后，或达到极限平衡条件后，则当成理想的塑性体。

第二节地基的变形和失稳

一、临塑荷载Pcr和极限承载力Pu

地基从开始发生变形到失去稳定（即破坏）的发展过程，可用现场载荷试验进行研究。

由载荷试验测得的p-S曲线可以分成顺序发生的三个阶段（图8-2a）：

即压密变形阶段（Oa）、局部剪损阶段ab和整体剪切破坏阶段（b以后）。

三个阶段之间存在着两个界限荷载。

第一个界限荷载标志着地基土从压密阶段进入局部剪损阶段。

当荷载小于这一界限荷载时，地基内各点土体均未达到极限平衡状态。

当荷载大于这一界限荷载时，直接位于基础下的局部土体，通常是基础边缘下的土体，首先达到极限平衡状态，于是地基内开始出现弹性区和塑性区同时并存。

这一界限荷载，称为临塑荷载，用Pcr表示。

第二个界限荷载标志着地基从局部剪损破坏阶段进入整体破坏阶段。

这时基础下，滑动边界范围内的全部土体都处于塑性破坏状态，地基丧失稳定，称为极限荷载，也称为地基的极限承载力，用Pu表示。

二、竖直荷载下地基的破坏形式

图8-3a中a曲线代表的是整体剪切破坏。

但在松软的土层中，或当荷载板的埋置深度较大时，也经常会出现图中所示的b型和c型的p-S曲线。

b型曲线的特点是荷载板板底的压应力p与变形量S的关系从一开始就呈现非线性变化，且随着p的增加，变形加速发展，但是直至地基破坏，仍然不会出现曲线a那样明显的变形突然急剧增加的现象。

对于b型曲线，当地基破坏时，荷载板两侧地面只略微隆起，但变形速率加大，总变形量也很大，这种破坏形式称为局部剪切破坏。

局部剪切破坏的发展是渐进的，破坏面上的抗剪强度未能充分发挥出来，所以地基承载的能力较低。

图8-3a中c型曲线的变形比b型曲线的发展速率更快。

破环时两侧不发生土体隆起，地基土沿板侧发生垂直的剪切破坏面，这种破坏形式称为冲剪破坏。

整体剪切破坏、局部剪切破坏和冲剪破坏是竖直荷载作用下地基失稳的三种破坏形式。

地基土具体形成哪种破环形式主要与地基土的性质和基础的埋置深度有关。

土质坚硬、密实、基础埋深不大时，通常将出现整体剪切破坏。

如地基土质松软则容易出现局部剪切破坏和冲剪破坏。

随着基础埋深的增加，局部剪切破坏和冲剪变得更为常见。

埋入砂土中很深的基础，即使砂土很密实也不会出现整体剪切破坏现象。

对于地基土破坏形式的定量判别，可采用魏西克刚度指标Ir的方法。

地基土的刚度指标可用下式表示

E—地基土的变形模量；

—地基土的泊松比；

c—地基土的粘聚力；

—地基土的内摩擦角；

q—基础的侧面荷载，q=D，D为基础埋置深度，为埋置深度以上土的容重。

式（8-l）表明，土愈硬、基础埋深愈小，刚度指标愈高。

整体剪切破坏和局部剪切破坏的临界值即临界刚度指标Ir（cr）可用下式计算：

式中，B—基础的宽度；

L—基础的长度。

当Ir>Ir（cr）时，地基将发生整体剪切破坏，反之则发生局部剪切破坏或冲剪破坏。

三、倾斜荷载下地基的破坏形式

挡水和挡土结构物的地基除承受竖直荷载Pv外，还受水平荷载Ph的作用。

Pv和Ph的合力就成为倾斜荷载。

当倾斜荷载较大而引起地基失稳时，其破坏形式有两种：

一种是沿基底产生表层滑动（图8－4a）。

这是土基上挡水或挡土建筑物常见的失稳形式。

如果水平分量Ph不大但垂直分量Pv较大而导致地基失稳时，则表现为深层整体滑动破坏（图8－4b）。

表层滑动和深层滑动可用下式进行的判别：

式中，pcr—基底临界竖向压应力。

当实际竖向压应力小于此值时，地基失稳受表层滑动所控制；大于此值时，则受深层滑动控制；

A—经验常数，一般取3~4；

—地基土的容重，水下取浮容重；

B—基础宽度；

c、—地基土的粘聚力和内摩擦角。

在判断属于表层滑动后，可用下式计算失稳的可能性：

式中，Fs—表层滑动安全系数，可根据建筑物等级查有关设计规范，一般为1.2~1.4；

—基底竖向压力总和；

—基底水平推力总和；

f—基础与地基土的摩擦系数（表8－1）。

当判定地基失稳形式属于深层滑动时，可用圆弧滑动法验算地基失稳的可能性。

稳定安全系数Fs指作用于最危险滑动面上各力对滑动中心所产生的抗滑力矩与滑动力矩的比值，其值应满足：

式中，MR–抗滑力矩（kNm）；

Ms–滑动力矩（kNm）。

第三节极限平衡理论求地基的极限承载力

一、极限平衡理论的原理

极限平衡理论是研究土体处于理想塑性状态时的应力分布和滑裂面轨迹的理论。

它可用来求解地基的极限承载力和地基的滑裂面轨迹，是求解地基极限承载力的主要理论基础。

在理想弹塑性体中，当土体中的应力小于屈服应力时，应力和变形用弹性理论求解，这时土体中每一点都应该满足静力平衡条件和变形协调条件。

当土体处于塑性状态时，静力平衡条件仍然应该满足，但是塑性变形的结果使土体发生滑裂，土体不再保持其连续性，不能满足变形协调条件，但满足极限平衡条件。

极限平衡理论就是根据静力平衡条件和极限平衡条件建立起来的理论。

在弹性力学中，平面问题的静力平衡微分方程式表达为：

式中，z、x、xz为微元体的法向应力和剪应力（图8-5）。

Z、X为作用在土微元体上z轴方向和x轴方向的体力，如重力和惯性力等。

如果作用在土微元体上的力只有土的自重，则方程8-5可写为：

式中为土的容重。

当土体处于极限平衡状态时，作用于微元土体上的应力应该满足极限平衡条件，对无粘性土和粘性土可分别表示为

式中1和3分别为大小主应力，c和为土的抗剪强度指标。

对于无粘性土体（c=0）中某一微元体（图8-6），大主应力1与z轴的交角为，根据极限平衡条件，破坏时两组滑裂面S1和S2的方向对称于1，其夹角为（90o-）。

将式（8-6）中的应力z、x、xz用主应力表示：

令

表示平均应力。

将式（8-7）中第一式代入式（8-8）（当为无粘性土时），并进行简化，得

分别对z、x、xz取偏导数：

将式（8-10）代入（8-6），简化后得到：

式（8－11）是平面问题无粘性土体处在极限平衡状态时的基本偏微分方程组。

根据所研究问题的边界条件，联立求解方程组，即可求得未知函数0和。

当地基中各点的0和求出以后，从极限平衡条件

和

可以求出处在极限平衡状态各点的主应力1和3。

给出了大主应力1的方向，而滑裂面的方向与1的方向成夹角

。

因此求出了角后，滑裂面的方向自然也就得到。

把各点的滑裂面方向用线段连接起来，就得到整个极限平衡区域内的滑裂线网（图8－7）。

此时基底处接触面上的应力就是地基的极限承载力pu。

根据问题的边界条件求偏微分方程（8-11）的解析解往往非常困难。

由于这组偏微分方程组属于双曲线型方程组，存在着两组特征线。

特征线也就是滑裂线，因此方程组（8－11）常用特征曲线法求解。

然而，既使特征曲线法求解也相当困难，本章只讨论简单条件下利用特征线法求解地基极限承载力的方法。

二、无重介质地基的极限承载力—普朗德尔-瑞斯纳（P-R）解法

（一）普朗德尔-瑞斯纳法的基本假定

在利用极限平衡理论求解地基的极限承载力时，P-R假定：

（1）地基土为无重介质，就是说，假设基础底面以下土的容重=0。

（2）基础底面是完全光滑面。

因为没有摩擦力，所以基底的压应力垂直于地面。

（3）对于埋置深度D小于基础宽度B的浅基础，可以把基底平面当成地基表面，滑裂面只延伸到这一假定的地基表面。

在这个平面以上基础两侧的土体，当成作用在基础两侧的均布荷载q=D，D表示基础的埋置深度（图8－8）。

（二）普朗德尔一瑞斯纳的结论

根据上述假定，用特征线法解偏微分方程组式（8－11），其主要结果为：

1．当荷载达到极限荷载pu时，地基内出现连续的滑裂面。

滑裂土体可以分成三个区域（图8－8），其中I区为朗肯主动区，Ⅱ区为过渡区，Ⅲ区为朗肯被动区。

朗肯主动区的滑裂线与水平面成

的夹角，朗肯被动区的滑裂线则与水平面成

夹角。

过渡区Ⅱ的两组滑裂线，一组是自荷载边缘A点和B点引出的射线AC或BC；另一组是连接I和III区的滑裂线，它为对数螺线，即：

式中为土的内摩擦角；r0为Ⅱ区的起始半径，其值等于I区的边界长度AC，为射线r与r0的夹角（图8－9）。

2．地基的极限承载力pu为：

式中Nq和Nc称为承载力系数，是土的内摩擦角的函数：

对于粘性大、排水条件差的饱和粘土地基，可按不排水强度指标

法求极限承载力。

当

时，由式（8-14）知，Nq=1.0，Nc为不定解。

这时，可用数学中的罗彼塔法则求解。

对式（8－15）应用罗彼塔法则，得

这时地基的极限荷载为：

三、极限承载力的一般计算公式

实际上，地基土并非无重介质，考虑地基土的重量以后，极限承载力的理论解很难求得。

索科洛夫斯基把地基土当成两种介质的总和，分别求地基的极限承载力，然后叠加，从而得到实际地基的极限承载力。

这两种介质是：

（1）理想散粒体，即

的土体。

（2）无重的纯粘性土体，即

的无重介质。

对于图8－13所示的条形分布的倾斜荷载，地基极限荷载的垂直分量

可写成如下表达式：

式中，q—基础侧面的均布荷载；

c—地基土的粘聚力；

—地基土的容重；

x—计算点的位置；

Nq、Nc、N一极限承载力系数，其值决定于土的内摩擦角和荷载的倾斜角（表8－2）。

地基极限承载力的水平分量puh可用下式计算：

为荷载的倾斜角。

在倾斜荷载作用下，地基土向荷载倾斜方向的一侧移滑。

基底的竖向极限承载力值随坐标x值的增加而增加。

在坐标原点处，x=0，竖向极限承载力为

而当x=B时，竖向极限承载力为

式中B为基础的宽度，其它符号同前。

平均竖向极限承载力为：

式（8－25）是地基极限承载力的通用表达式。

所有各种不同的极限承载力计算方法，其最终表达式均采用式（8－25）的形式，但承载力系数N、Nq、Nc各不相同。

四、用极限平衡理论求地基极限承载力的方法讨论

（一）影响极限承载力的因素（极限承载力系数Nq、Nc和N是的函数）

地基极限承载力由三部分组成：

（1）滑裂土体自重所产生的抗力；

（2）基础两侧均布荷载q所产生的抗力；（3）滑裂面上粘聚力c所产生的抗力。

第一种抗力的大小与土的容重和内摩擦角以及滑裂土体的体积有关。

极限承载力将随基础宽度B的增加而线性增加。

第二种抗力的大小与侧面荷载q（基础埋置深度）和土的内摩擦角有关。

第三种抗力的大小与土的粘聚力c和土的内摩擦角有关。

因此，地基的极限承载力值不但决定于土的抗剪强度特性c和值，而且还与基础的宽度B和基础的埋置深度D有密切的关系。

宽度B和埋置深度D越大，地基的极限承载力越高。

（二）关于承载力系数

根据表8－2中承载力系数N、Nq、Nc的变化，可以得出：

（1）N、Nq、Nc随土的内摩擦角的增加变化很大，特别是N值。

当值较小时，N小于Nc和Nq很多；而当值较大时，N可大于Nq和Nc，这说明对于内摩擦角大的无粘性土，采用P-R理论而忽略地基内滑裂土体重量的阻抗作用时计算所得的极限承载力会有较大的误差。

而对于内摩擦角较小的粘性土，采用普朗德尔的无重地基的假定可能引起的误差不大；

（2）粘性高的土，c大而小，这时承载力系数Nc比Nq和N都大得多，即地基的极限承载力主要决定于土的粘聚强度；（3）对于无粘性土，c=0，这时基础的埋深对极限承载力起重要的作用。

这种情况下，基础埋深太浅（D<0.5B），地基的极限承载力会显著下降。

（三）极限平衡理论的缺点

用极限平衡理论求地基的极限承载力在理论上并不是很完善、很严格的。

这种理论由滑移边界线将地基土截然分成塑性破坏区和弹性变形区。

基础以下、滑移边界线以内的土体都处于塑性破坏状态。

在塑性破坏区内，土体各点可以沿滑移面产生无限制的变形。

实际上，由于基底与土的摩擦作用，在基础底面下存在着弹性区域。

土的应力一应变关系也不象理想弹塑性模型所表示的那样，不是理想弹性体就是理想塑性体。

实际的土体是一种非线性弹塑性体。

因此，用理想化的弹塑性理论不完全能反映地基土的破坏特征，也无法描述地基土从变形发展到破坏的真实过程。

此外，这种理论只考虑土体的静力平衡而不涉及塑性位移的速率。

按塑性理论中的极限分析方法可以证明，用极限平衡理论求得的极限承载力不一定就是唯一的解。

但因为所有的解都不会大于真正的极限承载力，所以工程上应用是安全的，但理论上却不够严格。

并且用极限平衡理论方法求解地基的极限承载力，解题方法非常复杂，难适用于边界条件较为复杂的问题。

第四节地基极限承载力的其它分析方法

一、基础下形成刚性核时的地基极限承载力—太沙基解法

实际上基础底面并不完全光滑，它与地基表面之间存在着摩擦力。

摩擦力阻碍直接位于基底下的那部分土体的变形，使它不能处于极限平衡状态。

在荷载作用下基础向下移动时（图8－16），基底下的土体形成一个刚性核（或称弹性核），与基础成为一体竖直向下移动。

下移的刚性核，挤压两侧土体，使地基土破坏，形成滑裂线网。

由于刚性核的存在，难以直接利用极限平衡偏微分方程组求地基的极限承载力。

这时，通常先假定刚性核和滑裂面的形状，再应用极限平衡概念和隔离体的平衡条件求极限承载力的近似解。

（一）刚性核和滑裂面形状的确定

太沙基认为基础完全粗糙，且刚性核与基础成为一个整体沿竖直方向下移，因此在刚性核的尖端C点处，左右两侧的曲线滑裂面必定与铅垂线CM相切（图8－17a）。

如果刚性核的两个侧面AC和BC也是滑裂面，则按极限平衡理论，两组滑裂线的交角ACM为（900+）（被动土压力的两组滑裂面交线的夹角为900+）。

根据几何条件得出，AC和BC面与基础底面的交角

。

如果基底的摩擦力不足以完全限制土体ABC的侧向变形，则

将介于与45o+/2之间。

刚性核代替了普朗德尔解的朗肯主动区（即I区），于是地基滑裂面的形状只由两个极限平衡区即朗肯被动区和对数螺线过渡区所构成（图8－17a）。

（二）从刚性核的静力平衡条件求地基的极限承载力

刚性核的形状确定以后，太沙基把它取为隔离体，将两个侧面AC和BC当成挡土墙的墙背。

基底压应力pu促使刚性核向下移动，AC和BC面挤压两侧土体，直至土体破坏，这时基底的压应力就是极限承载力pu。

根据图8－17b的几何条件，当

时，被动土压力Ep的方向必定是竖直向上（被动土压力与挡土墙的法向成角，此处为内摩擦角）。

Ep求得以后，就可以根据刚性核本身的静力平衡条件，求地基的极限承载力，即

式中，

为刚性核的自重，

为AC和BC面上粘聚力的竖直分量。

（三）被动土压力Ep的确定

对于浅埋基础（DB），把基础底面以上土体的抗剪强度看成基础两侧作用着均布荷载q=D，因此总的被动土压力Ep由图8－17c中滑裂土体CDFAC的重量所产生的抗力Ep1、图8－17d中滑裂弧面CF和滑裂面AC上的粘聚力c所产生的抗力Ep2以及均布侧荷载q所产生的抗力Ep3所组成。

土体中真正滑裂面的形状依赖于这三种抗力共同作用的结果。

为了简化计算，先把地基土当成无侧荷载的无粘性土即q=0、c=0、>0和>0，求由于滑裂土体CDFAC的重量所产生的土抗力Ep1（图8－17c）；再把地基土当成有侧荷载的无重粘性土即q>0、c>0、>0和=0，从而计算粘结力c和侧荷载q所产生的土抗力Ep2和Ep3（图8-17d）。

然后三者叠加起来就得到总的被动土压力Ep。

无粘性土的被动土压力可按库伦土压力理论计算，即

无重粘性土由粘聚力c和侧荷载q引起的被动土压力，可分别表示为

式中，H—刚性核的竖直高度，

；

—刚性核的底角；

—刚性核的外侧倾角，即

；

Kp1、Kp2、Kp3—分别为由于滑裂土体重量、滑裂面上粘聚力和侧荷载所产生的被动土压力系数。

当

时，

将式（8－31）代入式（8－26），经过整理后得：

式（8－32）是太沙基的极限承载力公式。

对于太沙基公式，当取

时有

这三个承载力系数是在不同的假定条件下推出的。

太沙基经过计算分析后认为，这样的处理对极限承载力所带来的误差满足工程上的应用精度。

地基承载力系数N、Nc、Nq的值只决定于土的内摩擦角。

它可由图8-18查用。

（四）局部剪切破坏时地基的极限承载力

地基极限承载力的太沙基公式只适用于地基土发生整体剪切破坏的情况，不适用于局部剪切破坏。

由于局部剪切破坏时地基的变形量较大，承载力有所降低，太沙基建议仍然可以采用式（8－32）计算极限承载力，但是要把抗剪强度指标适当折减。

具体计算时可用

。

于是式（8－32）变为

由于降低了内摩擦角，因此承载力系数N’、Nc’和Nq’小于相应的N、Nc和Nq。

修改后的数值见图8-18中虚线所示。

在使用图8-18时要注意，当用时，应查图中的虚线，但若用降低后的

时，则应查图中的实线。

二、汉森极限承载力公式

前面所述的极限承载力pu和承载力系数N、Nc、Nq均按条形竖直均布荷载推导得到的。

汉森对极限承载力进行数项修正，包括非条形荷载的基础形状修正、埋深范围内考虑土抗剪强度的深度修正、基底有水平荷载时的荷载倾斜修正、地面有倾角时的地面修正以及基底有倾角

时的基底修正，每种修正均需在承载力系数N、Nc、Nq上乘以相应的修正系数。

加修正后的汉森极限承载力公式为：

N、Nc、Nq—地基承载力系数。

在汉森公式中取

；

s、sc、sq—相应于基础形状修正的修正系数；

d、dc、dq—相应于考虑埋深范围内土强度的深度修正系数；

i、ic、iq—相应于荷载倾斜的修正系数；

g、gc、gq—相应于地面倾斜的修正系数；

b、bc、bq—相应于基础底面倾斜的修正系数。

上述各系数的计算公式见表8－3。

第五节地基的容许承载力

一、地基容许承载力的概念

地基极限承载力是从地基稳定的角度研究地基土体所能够承受的最大荷载。

虽然地基尚未失稳，但若变形太大，会引起上部建筑物破坏或者不能正常使用，这也是不允许的。

所以地基设计既要保证满足地基稳定性的要求，也要满足地基变形的要求，这就是“两种极限状态设计”。

也就是说，要求作用在基底的压应力不超过地基的极限承载力，并且有足够的安全度，而且所引起的变形不能超过建筑物的容许变形，满足以上两项要求，地基单位面积上所能承受的荷载就称为地基的容许承载力。

显然，地基的容许承载力不仅决定于地基土的性质，而且受其它很多因素的影响。

除了基础宽度、基础埋置深度外，建筑物的容许沉降也起重要的作用。

这是研究地基容许承载力问题时所必须建立的一个基本概念。

由于地基的容许承载力牵涉到建筑物的容许变形，因此要精确地确定就很困难。

一般的求法是先保证地基稳定的要求，即按极限承载力除以安全系数（通常取2~3），或者是控制地基内极限平衡区的发展范围，或者采用某种经验数值，例如由地基规范提供的承载力表等作为容许承载力的初值（或称为承载力设计值）。

根据这个初值设计基础，然后再进行沉降验算，如果沉降也满足要求，则这时的基底压力就是地基的容许承载力。

二、按控制地基中极限平衡区（塑性区）发展范围的方法确定地基的容许承载力

（一）基本概念

在现场载荷试验中（图8－2），基础上的荷载达到临塑荷载时，地基土中就开始发生极限平衡区。

极限平衡区最先发生于基础的边缘，随着荷载的增加而继续扩展。

最后当荷载达到极限承载力时，地基产生稳定破坏。

设计中往往选用临塑荷载pcr或比临塑荷载稍大的临界荷载p1/4和p1/3作为地基容许承载力的初值。

p1/4和p1/3代表基础下极限平衡区发展的最大深度等于基础宽度B的1/4和1/3时所对应的荷载。

临塑荷载pcr以及临界荷载p1/4和p1/3具有如下的特性：

（1）地基即将产生或已产生局部破坏，但尚未发展成整体失稳，这时地基土的强度已经比较充分发挥，但距离丧失稳定则尚有足够的安全系数。

（2）极限平衡区的范围不大，因此整个地基仍然可以近似地看成弹性半空间体，这样就可近似用弹性理论计算地基中的应力和变形量。

由于以上这两个特点，pcr、p1/4和p1/3常常作为初步确定的地基容许承载力。

（二）极限平衡区（塑性区）发展范围的一般计算方法

在均布荷载p作用下，地基中是否发生极限平衡区，或者极限平衡区发展的范围有多大可以按下述步骤近似计算。

1．在地基中，靠近基础底面一定范围内，选定若干点，例如以图8－24中水平线和竖直线交点的M点为例，分别计算各点的自重应力和附加应力，叠加后为：

式中，

—用弹性理论计算的附加应力；

—土的容重，设地基土质均匀；

z—计算点在基底以下的深度；

D—基础的埋置深度；

Ko—静止土压力系数。

2．根据式（8－47）的应力，求各计算点的主应力：

3．根据

，选择式（5－7）至式（5－14）中任一合适的公式，判断计算点是否处于极限平衡状态。

4．按照处于极限平衡状态点子的分布，绘出地基内土体处于极限平衡状态区域的范围。

应该指出，用上述方法求得的极限平衡区的范围，实际上是不完全正确的。

因为首先，当土体中部分区域达到极限平衡状态以后，土中的应力分布便发生了变化，这时地基中的应力分布很复杂，是一个弹塑性混合问题，不再符合弹性理论解，而式（8－47）中的附加应力却是按弹性理论求得的。

其次，在计算中认为基底压力是均匀分布的，但是通常的情况是基础的刚度远大于地基土的刚度，因而基底的压力分布并非均匀，一般呈边缘大中间小的马鞍形分布，基底压力非均匀分布的程度直接影响到极限平衡区的发展范围。

一般说，按弹性理论计算附加应力得到的极限平衡区范围偏大，而假定基底压应力均匀分布则使计算得到的极限平衡区范围偏小。

虽然极限平衡区发展范围的计算方法理论上不够严格，但由于用这种方法已积累了很多工程经验，目前仍然是确定地基容许承载力的一种常用方法。

（三）长条均布荷载下极限平衡区的发展和界限荷载的计算方法

1．极限平衡区的界线方程式和最大发展深度

长条荷载属平面问题，可以直接推导出极限平衡区的界线方程，使计算工作得以简化。

根据弹性力学解，条形均布荷载作用下（图8－25），地基中任一点M由于荷载（p-D）所引起的主应力为：

式中，

为M点与长条荷载边缘连线MA、MB之间的夹角，以弧度表示。

大主应力1的方向在角AMB的分角线上。

若假定静止土压力系数K0＝1，则土自重所引起的应力在各个方向均相等，因此任意点M由于外荷载及土的自重所产生的主应力总值为：

将公式（8－50）代入极限平衡条件公式（5－7）中，整理后，可以得到如下表示极限平衡区界线的方程式：

当土的特性指标、c和已知，式（8－51）直接表示极限平衡区边界点的深度与视角的关系，也就决定了极限平衡区的轨迹。

在工程应用中，往往只需要知道极限平衡区的最大发展深度，而不需要绘出整个区域的轨迹。

因此，将式（8－51）对求导，并令

得