杭州现代小学数学教育研究中心课题组.docx
《杭州现代小学数学教育研究中心课题组.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《杭州现代小学数学教育研究中心课题组.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
杭州现代小学数学教育研究中心课题组
“探索规律”备课解读与案例透视
杭州现代小学数学教育研究中心课题组执笔：
唐彩斌邵虹
一．“探索规律”的《课标》要求
数学从属于（自然）科学，那么，数学是一门怎样的科学？
在这些根源性问题的哲学思辩中，“数学是模式的科学”得到了更多的认同。
“也就是说，在数学中我们是通过（量化）模式的建构，并以此为直接对象来从事客观世界量化规律性研究的。
”基于此，我们能理解在数学学习中存在大量的规律、公式和算法，也就不难理解《数学课程标准》（实验稿）（以下简称《课标》）从一个新的视角定位“探索规律”，并对学生探求模式、发现规律提出新的要求。
《课标》把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面，第一学段要求：
发现给定的事物中隐含的简单规律；第二学段要求：
探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势。
同时还要求“探索并理解简单的数量关系”、“探索和理解运算律”、“探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。
“探索规律”蕴藏着重要的教育内涵和价值，被新课程单列为一个独立部分，也从一个侧面说明了“探索规律”的教育地位和意义。
探索规律并非是一个全新的内容，在以前的数学学习中早有呈现，只是没有高度重视和持续关注，知识相对散落，编排较为随机。
在新课程中，这部分内容被独立出来，其实也只是相对独立，因为它还是要依托“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与应用”等领域的基础知识和基本技能。
二．“探索规律”的教学意义
《辞海》将“规律”解释为：
事物之间的内在的必然联系和趋势。
至于“探索”，则是当代学习理论所倡导的，强调独立思考和发现。
因此，探索规律是一个发现关系、发展思维的过程，有利于学生夯实基础，鼓励创新，更能够体现数学思考，凸显过程与方法，同时，也能够让学生在自主探索与思考中感受到学习的快乐，形成积极的学习情感与态度。
1．实现夯实基础与思维发展之间的结合
注重“双基”，规律的探索才会变得更有可能。
探索规律不是数学学习中的“空中楼阁”，它是在认识个体学习对象的基础上，发现个体之间的关系或者是事物发展的趋势的过程。
而这种关系或趋势的获得，从某种角度看来，恰恰是追寻数学的本质，是一个数学化的过程。
因此，探索规律的加强，为实现夯实基础与思维发展之间的结合提供了更多的可能。
【案例1】
掌握基本知识和基本技能的角度看来，本题要求学生能根据具体的实物用相应的数来表示，并能正确书写。
然而，作为探索规律的要求，则是在这个基础上，发现图与图，数与数之间的关系，能够从这些数中发现内在的变化规律：
每次都多2。
这种基于一组数据现象的概括，从关注实物与数的对应关系到关注数与数之间的变化关系，正是探索规律所追寻的思维发展的具体体现。
2．探索规律，改进学生的学习方式
改进学生的学习方式是当前课程改革的一个主要目标，在数学学习过程中，有多种学习方式并存，我们应该处理好接受性学习与自主合作探究的学习方式之间的关系，绝不是简单划一或者替代。
因为“学什么与怎样学是分不开的”，离开了学习内容，学习方式本身也无本身的优劣。
而作为探索规律的教学，应该依托内容来驱动学生进行自主思考，合作学习，主动探究。
探索规律的内容更需要自主思考。
例如：
5×5＝（）、6×6＝（）、7×7＝（）、8×8＝（）、…你能发现什么？
引导学生发现相邻的数的平方数之间的变化关系？
这样的探索规律，需要学生思考“是什么”而且还要知道“为什么”，学生学习的过程中不仅需要知道每一个算式的结果，而且还要发现结果之间的变化关系，而知道了变化关系：
分别相差11，13，15，也仅仅解决了规律是什么的问题，对于学生学习来说，还有一个更重要的问题是“为什么”。
引导学生利用乘法的分配律来作解释，如：
6×6＝（5＋1）×（5＋1）＝5×5＋5＋5＋1；也就是a×a＝b×b＋2b＋1,a,b为相邻的自然数，a>b。
从元认知的发展来说，学生要思考的不仅是结果是什么？
而且还要思考过程是怎样的——“我们是怎样发现这个规律的”。
学生反思探索规律的过程，陈述有观察，有猜想，有验证。
探索规律过程中蕴藏着更多的问题，就更需学生自主思考。
探索规律中有一部分内容可以采用合作学习的方式组织教学，发展学生的合作能力。
【案例2】
在日常教学中我们不难发现，有的合作是来自老师的指令，而并非是学生自觉性的合作，理想的合作，应该是在学生个体独立思考基础上，因学习需要而自主寻求合作。
而这个问题关键是在于学习活动本身是否需要合作。
就本案例而言，当出现结果是“495”，然后不断地重复了，这会是一种巧合吗？
从组织形式分析，可以单独完成，也可以小组合作。
我们可以想见，与学生独立学习相比，小组之间的合作探究从知识形成的角度来说：
这样的规律是更具数学的普遍性，因为例证不是来自于一个个体，而是一个群体。
当然，小组合作与独立学习相比还有其他的教育价值，在此不再赘述。
从类似于这样的学习内容而言，探索规律更容易唤起学生的合作意识。
探索规律本身就是一种探究活动。
探究性学习不仅天然地成为其普遍的学习方式，反过来，探索规律这一内容也能很好地发展学生的探究能力。
【案例3】晒50块手帕要多少个夹子呢？
与一般的基础知识和基本技能的学习过程相比，探索规律的教学具有更大的思维强度，具有更大的挑战性和思维的驱动性。
50块手帕所要的夹子，首先要把这个生活问题，通过学生的理解转化成数学问题，这是思维的抽象，也是数学学习的数学化的过程。
50块的手帕，那么多，直接去操作，太麻烦，所以促使学生主动探寻其中的规律，怎么发现规律呢？
先从数量少的开始，1块，2块，3块，4块……从而发现规律：
夹子个数比手帕块数多1，是不是所有的情况都是这样的呢？
然后验证。
最后，再应用规律解决问题。
这个探索规律的过程，就是一个“观察思考发现问题，提出猜想，发现规律，验证规律，应用规律解决问题”的过程，而这个过程也正是一个学生主动探究的学习过程。
作为致力于发展思维的探索规律来说，内容更具综合性和间接性，并不是基础知识的简单回顾或重复，也不是基本技能的同一水平层次的操练或巩固，而是一种提升，需要学生从综合性的问题中抽象出数学的问题，或者从具有现实性的问题中转化为数学问题来解决。
而探索规律的这些特点，决定了它的教学与探究型学习的不解之源。
至此，改变学生的学习方式不是来自教师的指令，而是来自探索规律的内容本身。
这样的学习方式是来自学生内需，不是外在的压力，更不是一种形式上的模仿。
3．给学生创造成功的数学学习体验
教育俗语“跳一跳，摘果子”，是寓意学习具有一定的挑战性，学生才会乐于参与，才会产生学习的成功感。
从教育学“成就动机理论”也同样可以发现：
当问题的成功可能性P=50%时，学生的学习动机强度最大，最愿意参与学习。
在教学实践中，我们可以发现“随随便便的成功，学生很难有深刻的体验”。
由此，与一般的教学内容相比，探索规律具有一定的挑战性，就具有吸引学生参与学习、参与挑战的一种潜质，探索规律的教学，能激发学生学习数学的兴趣，能让学生在学习的活动中，经历一个探究的过程，体验到学习成功的不易，真切地体会到学习的快乐。
【案例4】现代小学新数学，第6册；
探索：
几十一乘几十一的乘法速算
1．根据下面的算式和乘积，寻找规律。
11213151
×11×41×41×61
12186112713111
2．分小组讨论：
算式的特点和积的规律。
3．用发现的规律做下面各题
21×21=61×81=41×41=
31×51=71×51=91×31=
在学习了两位数乘两位数的基础上，引导学生来探索特殊类型乘法算式速算的规律，首先引导学生观察算式概括出特殊类型的特征，然后发现积与乘数之间的关系，提出猜想，再通过举例，验证猜想，表达发现的规律。
一旦学生发现了其中的规律，感受到自己多了一种本领，这样不仅方便了计算，更是助长了学习的信心，学习的喜悦总是溢于言表，仿佛是发现了“新大陆”。
正如苏霍姆林斯基所说：
“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。
而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈”。
探索规律正是满足了儿童精神世界的这一需要，让学生享受到学习的成功与快乐。
三．教学内容分析
著名优秀教师张天孝先生一直关注小学生思维能力的培养，他认为对于小学生而言，探索规律从内容上来看，除了对数学中的法则、共识、性质等规律的探索以外，还包括数、式、符号、图形排列规律的探索，也包括数与数之间的规律以及运算规律的探索，还包括数形结合规律的探索等内容。
1．探索数的规律
【案例5】
如（上左图）：
教材以学生的生活经验为基础设计了“排队”的情景，将1～5五个自然数一次呈现，形象地揭示了相邻数之间的关系，让学生从整体上感知自然数组成的基本原理：
每一个数比前面一个数大1，反之前一个数比后一个数小1。
引导学生体验数的序列性规律。
探索数的规律，不是游离于数的认识的一种“另辟蹊径”，而是基于数的认识，同时又不局限于单个数的认识，用发现多个数之间的联系或者变化规律，以此来加深对数的理解。
对于低年级的学生来说，除了规律本身，这种乐于发现规律的意识也是值得关注的。
弗赖登塔尔就曾举过一个例子：
小朋友从1数到100，有时他们会很不耐烦地数，数了一些数后，31，32，33，34，35……“就这样继续下去”。
就怎样继续下去呢？
0后面是1，1后面是2，2后面是3……9后面是0，同时在左边添加1。
之所以这样说，就是说明学生已经发现其中的规律。
我们不期望他们去认识多位数，也不期望他们明白无限大的存在，我们珍视的是学生善于发现规律的意识。
（二）探索式的规律
【案例6】
把一些算式排列在一起，让学生去发现其中的规律也是“探索规律”的内容。
如上案例中，夺红旗的两条不同路线，安排了两组不同的进位加法算式，在计算的基础上引导学生发现规律。
虽然算式简单，但蕴藏的规律却非常丰富。
从左侧的加法算式中，引导学生可以发现：
加数7不变，另一个加数递增1，结果和也递增1；从右侧看，加数8不变，另一个加数递增1，结果和也就递增1。
而横向比较，还蕴含的规律是：
一个加数增加1，另一个加数减少1，和相等。
这样的探索规律，起点低，但拓展空间大。
在数的运算教学中，重要的是让学生学会探求方法、总结规律，而不是死记结论，只有经过自己的探索，才能“知其然”，并知其“所以然”。
探索式的规律，就不止要求知道式的结果，而是通过比较发现式与式之间的异同，发现变化的规律，而应用规律又能作用于式结果的得出。
2．探索形的规律
【案例7】六连方
6个正方形会有多少种不同的排法呢？
引导学生如何有序地排列，不遗漏不重复。
在这个排列的过程中，学生需要正确辨别各个正方形之间的空间位置关系，也要弄清图形与图形之间的关系，是否有重复。
引导学生动手操作，或者图画，探索六连方的规律。
在画出所有的六连方后，结合对正方体的认识，再继续探索：
哪些六连方会是正方体的展开图呢？
进一步发现其中的奥秘。
类似于这样的探索关于图形之间的变化规律。
就是探索形的规律的主要内容。
4．探索数与形结合的规律
【案例8】
数与形是数学研究的基本内容，将数与形的规律加以联系、让学生去发现问题、解决问题，是“探索规律”的另一个重要内容。
如上案例先观察上面图形与下面图形中数的变化，再根据规律在下面的空格中填上合适的数。
学生在解决这些问题时，如果只从数或形的规律去思考问题是不够的。
一方面需要考虑图形的对称（上下对称和左右对称）另一方面需要考虑数的排列规律，通过数形结合的思想去探索规律，解决问题。
在探索数与形的规律中，一方面关注数与数之间的大小变化关系，一方面还关注了空间观念的培养，同时数形结合的探索规律也很好地把数学中的不同领域整合在一起。
四、探索规律的数学教育价值
“探索规律”作为一个独立的教学领域，内容之间有时也是相互交融，综合呈现，在一个问题情境中，既有数的规律、式的规律，也可能并存的形的规律。
不管内容怎样，都体现着丰富的教育价值.1．有利于培养学生的数感和符号感
新课程关注学生数感的培养。
而学生数感的建立并不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。
探索规律作为一个数学知识结构的重要部分，也是培养学生数感的重要载体。
【案例9】
教材巧妙地将“探索规律”渗透到认识数等有关知识的教学中，采用看图数数、写数、填一填、圈一圈、找规律画点等练习形式，让学生在具体情境中感知和体验。
在比较数与数之间的大小关系以及变化规律中，增强对数的感悟。
《标准》强调发展学生的符号感，并指出：
“符号感主要表现在：
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示。
”探索规律的过程中，要把规律从具体的情境中抽象出一般的模型，就很需要借助符号来思考。
这个符号不仅仅是一个代号，起到缩写的简约作用，更重要的是可以借助符号操作和推导，发现规律的本质。
【案例10】
请你想好一个数记在心里，现在将它加上5，然后乘以2，再减去4，再除以2，然后减去你记在心里的那个数，结果得到的数是什么？
请你算出来，但不要告诉我，因为我已经知道了。
请你猜我是怎么知道的？
n,n+5,2n+10,2n+6.n+3,3。
最后的结果一定是3。
教学中，引导学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，体验将问题解决过程“符号化”的优越性。
2．有利于培养学生的观察能力
观察就是找出事物的特征，结构的内在联系，以便掌握数、形、式等规律。
观察题目的特征，联想学过的有关知识，探索解题思路的过程，也就是培养学生观察能力的过程。
【案例11】
整理“10以内加法表”，学生可以从多方向进行观察，发现规律——①从横行观察……②从竖列观察……③从斜列观察……经过讨论交流、猜想、验证，作出一般的归纳，在头脑中建立数学模型。
学生通过观察算式的排列规律、悟出道理和方法后，教材进一步安排了“活动与探索”的内容：
“应用你观察、发现算式之间的规律，独立整理十几加几的算式”。
学生亲自经历“观察规律——建立模型——解释和应用”的学习过程，体会到了规律的应用价值。
对于学生观察能力的培养，教材还做了大量有益的尝试，设计了许多典型的问题，“探索规律”教学，是培养学生观察能力有效途径。
3．有利于培养学生的推理能力
“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”是《标准》对推理能力培养的主要阐述。
能力发展决不等同于知识和技能的获得，不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生在学习过程中自己“发现”规律、“悟”出道理和思想方法。
这种“发现”只能在教学活动中进行，因此教材给学生提供了丰富的素材，创设了探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、探究、猜想、验证等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。
【案例12】
观察算式，你发现了什么规律？
学生可能会猜想：
减数不变，被减数与差之间的变化规律；也可能猜想：
被减数不变，减数与差之间的变化规律。
验证：
12－9=，14－9=；12－9=，12－8=原来的猜想成立吗？
再继续验证，结论成立吗……这是一个经历观察、猜想、归纳、验证的过程，既有合情推理又有演绎推理，学生学到的不只是结论而是一种学习方法，一种数学思想方法的渗透。
4．有利于培养学生的发散性思维
在“探索规律”的教学中，提供了一些开放题训练，通过信息呈现的选择性与问题解决策略的多样性，来培养学生的发散性思维。
【案例13】：
第1题，学生可以根据相邻数之间的递增关系：
2358在方框里填12；也可以运用相邻数之和等于第三个数的规律，在方框里填13……同样的问题，由于学生观察规律的角度不同，因此呈现的思维方式不同，解题策略也各不相同，培养了学生的发散性思维。
第2题，由于题目只给出了一个数，因此学生就可以根据对数、式、形规律的理解，自己构建规律。
笔者曾经就类似的题目在一年级学生中做过案例分析，所测试的总人数中有86.2%的学生能构建五种及以上的规律，共得出37种不同的方法，解题策略呈多样性，这充分说明了“探索规律”的教学对培养学生发散性思维能力的重要性。
5．有利于渗透数学建模思想
数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括的或近似地表述出来地一种数学结构。
在探索规律的教学中，就是需要引导学生概括出事物的共性特征，或者分析数量之间的本质关系，在数学思考的基础上数学地表达。
从具体情境中探索出规律，是将问题一般化的过程，一般化超越了具体问题的具体形态，深刻揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。
这个问题，在当前颇有争议的应用题教学中也初见端倪，传统的应用题教学中，对那些固化解决问题方法，僵化学生解题策略的做法是应当摒弃，但作为学生从纷繁的多个具体问题中，概括出问题的共性特征，形成一种对应的解决问题的策略，用一种结构化的数学模型来解决问题这应该是一种值得倡导的能力。
【案例14】
（1）一辆客车2小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？
（2）3瓶饮料27元，5瓶这样的饮料要多少元？
（3）旅游纪念品厂3小时生产60个产品，照这样计算，8小时可以生产多少个产品？
此例通过先后安排三个不同问题的解决，试图引导学生发现各个问题之间的异同，不同的数量关系，（分别从单价数量总价、速度时间路程和工作效率工作时间工作总量来描述）却有相同的问题结构，有同样的问题解决的策略，都要先求出单一量，再根据数量求出相应的总量。
五．教学中要注意的问题
1．从无序到有序
从教材的知识呈现方式看来，我们可以发现：
探索规律的内容是在增强，每每教材呈现向学生提供观察、思考与猜测的机会时，教材更多地问学生诸如“你发现了什么”这样的问题，提示着学生注意探索其规律，逐渐增强学生探索规律的意识。
然而，探索规律作为小学数学知识结构新的部分，也是需要一个系统的眼光，构建一个适合学生学习的序列。
在新课程的实施过程中，孤立地看某些探索规律比较难，但从实际教学效果却发现学生掌握得比较理想，这就是探索规律系统编排、有序训练所带来的积极影响。
【案例15】数列的规律；
（1）1，2，3，4，5，（），（）；――递增
（2）20，18，16，14，（），（）――递减
（3）1，2，4，8，（），（）――扩大倍数关系
（4）32，16，8，（），（）——缩小倍数关系
（5）1，3，7，15，（），（）——几倍多几关系
（6）1，2，3，5，8，（），（）——前两个数的和等于第三个数
就数的排列而言，有很多适合学生探索的规律，教学就在于如何有序地编排，由易到难，螺旋上升，以便于学生顺利发现规律，进行成功地探索。
诚然，在不同阶段，对学生也应该有不同的要求，如题：
（），（），12，（），（）。
在不同的学习阶段，学生可能有的解决策略一定不同。
教学时，不能不分析学生原有探索规律的基础，而对学生的探索能力做片面的要求和评价。
从无序到有序，不仅指的是数学问题，也同时指的是要求。
2．兼顾动手、动口与动脑
倡导学生动手操作和动口表达，是当前新课程倡导的学习方式，因为借助动手操作，利用直观培养学生的思维；利用数学语言交流，增强学生的数学表达能力。
而对于具体的课堂教学而言，并不是看到学生动手操作得越多越好，动口表达的机会越多越好，在动手和动口的背后，最关键是看学生是否已经动脑。
理智的教学不应把表面的“动”，热闹的“动”，解释为数学在实现“做中学”。
只有把外化的行为与内在的思维活动结合在一起，才是有效的数学学习活动。
【案例16】
为了教学有趣的排列（二年级），教师创设了一个又一个有趣的情境：
第1个情境：
让学生在三个圆中画不同的颜色：
红黄蓝，有几种不同的画法？
第2情境：
安排摆卡片的游戏：
用汉字卡片“做”“好”“事”，可以有几种不同的排列方法，读一读。
做好事，做事好，好做事，好事做，事做好，事好做。
第3情境：
联系生活实际，三辆汽车开在路上，有几种不同的先后顺序？
第4情境，联系生活实际：
三个人站在一排拍照，有几种不同的站法？
该案例的设计，是希望把数学知识与学生现实生活联系起来，通过一些简单的方便操作的活动以及学生所熟悉的事物，发现事物排列的规律，并知道一共可以产生的排列种数。
然而在教学中，对于二年级的学生来说，刚开始接触排列的规律时，是需要借助实际情境，让每一个孩子动手操作，感受到规律的存在，但经历了几个不同的情境后，应当引导学生发现内在的本质规律，也无须每换一个情境，仍然重复机械的操作，而是应该思考问题的共同属性，为以后用一个乘法算式来求得几种不同的排列方法做准备。
由此看来，一味强调动手操作，不能一味降低学生的思维强度，以丢失锻炼学生思维的机会。
依托表象来思考可能存在的排列情况比看到直观图示来分析排列的现象，更有教育价值。
3．要给出充足的时间与空间
从在一个单位时间设计一个教学活动的角度看，教材的编写和课堂教学的设计都是“选择的艺术”。
教学目标的多元，也促使教学时更注重效率。
没有充足的时间和空间做保障，有效的学习成为空谈。
然而，教学时间的控制权，是属于占主导作用的教师，还是占主体作用的学生，在现实教学中，尽管我们认同“以学生为本”“换位思考”，但从教学现状看来，做起来很难。
【案例17】
两位数加一位数的进位加法，设计一组对比的练习；
5＋7＝8＋4＝
15＋7＝18＋4＝
25＋7＝28＋4＝
35＋7＝38＋4＝
出示题目后，老师往往会马上问：
你发现了什么？
有个别举手，老师请学生回答。
……
这样的现象，表面看“效率比较高，表现较积极”，但这仅仅是个别现象，对于这样的问题情境，需要学生充足的时间做保证，才有可能让更多的人有尽可能多的发现。
充分发挥本题的教学功能。
教学中，我们希望在计算的基础上自主探索规律，既能沟通20以内进位加法和100以内两位数加一位数的进位加法之间的联系，在已有的认知系统中建构新的算法。
同时，纵向比较，会发现其中有一个加数不变，另一个加数的个位也相同，不同的只是第一个加数的十位；在计算的过程中，有一个共性特征：
和的十位总是比加数的十位多1，这也正是进位加法的本质特征所在。
教学是选择的艺术，对于教材的编写来说编著者是一种选择，对于课堂教学来说教师也是一种选择，种种选择背后都是承载着责任。
4．倡导技术的支持
新课程重视新技术的应用。
《标准》在第二学段明确要求所有学生应学会使用计算器处理复杂数据，并利用计算器探索规律，解决更为广泛的现实问题。
计算器引进数学学习中，对于是否会对笔算和口算产生影响，理论的阐述总是支持较多，但难有实证性的研究让更多的人信服，从而投入实践。
然而，
升级会员 