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1、杭州现代小学数学教育研究中心课题组“探索规律”备课解读与案例透视 杭州现代小学数学教育研究中心课题组 执笔：唐彩斌 邵 虹 一 “探索规律”的课标要求 数学从属于（自然）科学，那么，数学是一门怎样的科学？在这些根源性问题的哲学思辩中，“数学是模式的科学”得到了更多的认同。“也就是说，在数学中我们是通过（量化）模式的建构，并以此为直接对象来从事客观世界量化规律性研究的。”基于此，我们能理解在数学学习中存在大量的规律、公式和算法，也就不难理解数学课程标准（实验稿）（以下简称课标）从一个新的视角定位“探索规律”，并对学生探求模式、发现规律提出新的要求。 课标把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面，

2、第一学段要求：发现给定的事物中隐含的简单规律；第二学段要求：探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势。同时还要求“探索并理解简单的数量关系”、“探索和理解运算律”、“探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。“探索规律”蕴藏着重要的教育内涵和价值，被新课程单列为一个独立部分，也从一个侧面说明了“探索规律”的教育地位和意义。探索规律并非是一个全新的内容，在以前的数学学习中早有呈现，只是没有高度重视和持续关注，知识相对散落，编排较为随机。在新课程中，这部分内容被独立出来，其实也只是相对独立，因为它还是要依托“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与应用”等领域的基础知识和基本技能。 二“探索规律

3、”的教学意义 辞海将“规律”解释为：事物之间的内在的必然联系和趋势。至于“探索”，则是当代学习理论所倡导的，强调独立思考和发现。因此，探索规律是一个发现关系、发展思维的过程，有利于学生夯实基础，鼓励创新，更能够体现数学思考，凸显过程与方法，同时，也能够让学生在自主探索与思考中感受到学习的快乐，形成积极的学习情感与态度。 1实现夯实基础与思维发展之间的结合 注重“双基”，规律的探索才会变得更有可能。探索规律不是数学学习中的“空中楼阁”，它是在认识个体学习对象的基础上，发现个体之间的关系或者是事物发展的趋势的过程。而这种关系或趋势的获得，从某种角度看来，恰恰是追寻数学的本质，是一个数学化的过程。因

4、此，探索规律的加强，为实现夯实基础与思维发展之间的结合提供了更多的可能。 【案例1】 掌握基本知识和基本技能的角度看来，本题要求学生能根据具体的实物用相应的数来表示，并能正确书写。然而，作为探索规律的要求，则是在这个基础上，发现图与图，数与数之间的关系，能够从这些数中发现内在的变化规律：每次都多2。这种基于一组数据现象的概括，从关注实物与数的对应关系到关注数与数之间的变化关系，正是探索规律所追寻的思维发展的具体体现。 2探索规律，改进学生的学习方式 改进学生的学习方式是当前课程改革的一个主要目标，在数学学习过程中，有多种学习方式并存，我们应该处理好接受性学习与自主合作探究的学习方式之间的关系，

5、绝不是简单划一或者替代。因为“学什么与怎样学是分不开的”，离开了学习内容，学习方式本身也无本身的优劣。而作为探索规律的教学，应该依托内容来驱动学生进行自主思考，合作学习，主动探究。 探索规律的内容更需要自主思考。例如：55（ ）、 66（ ）、 77（ ）、 88（ ）、 你能发现什么？引导学生发现相邻的数的平方数之间的变化关系？这样的探索规律，需要学生思考“是什么”而且还要知道“为什么”，学生学习的过程中不仅需要知道每一个算式的结果，而且还要发现结果之间的变化关系，而知道了变化关系：分别相差11，13，15，也仅仅解决了规律是什么的问题，对于学生学习来说，还有一个更重要的问题是“为什么”。引

6、导学生利用乘法的分配律来作解释，如：66（51）（51）55551；也就是aabb2b1,a,b为相邻的自然数，ab。从元认知的发展来说，学生要思考的不仅是结果是什么？而且还要思考过程是怎样的“我们是怎样发现这个规律的”。学生反思探索规律的过程，陈述有观察，有猜想，有验证。探索规律过程中蕴藏着更多的问题，就更需学生自主思考。 探索规律中有一部分内容可以采用合作学习的方式组织教学，发展学生的合作能力。 【案例2】 在日常教学中我们不难发现，有的合作是来自老师的指令，而并非是学生自觉性的合作，理想的合作，应该是在学生个体独立思考基础上，因学习需要而自主寻求合作。而这个问题关键是在于学习活动本身是否

7、需要合作。就本案例而言，当出现结果是“495”，然后不断地重复了，这会是一种巧合吗？从组织形式分析，可以单独完成，也可以小组合作。我们可以想见，与学生独立学习相比，小组之间的合作探究从知识形成的角度来说：这样的规律是更具数学的普遍性，因为例证不是来自于一个个体，而是一个群体。当然，小组合作与独立学习相比还有其他的教育价值，在此不再赘述。从类似于这样的学习内容而言，探索规律更容易唤起学生的合作意识。 探索规律本身就是一种探究活动。探究性学习不仅天然地成为其普遍的学习方式，反过来，探索规律这一内容也能很好地发展学生的探究能力。 【案例3】晒50块手帕要多少个夹子呢？ 与一般的基础知识和基本技能的学

8、习过程相比，探索规律的教学具有更大的思维强度，具有更大的挑战性和思维的驱动性。50块手帕所要的夹子，首先要把这个生活问题，通过学生的理解转化成数学问题，这是思维的抽象，也是数学学习的数学化的过程。50块的手帕，那么多，直接去操作，太麻烦，所以促使学生主动探寻其中的规律，怎么发现规律呢？先从数量少的开始，1块，2块，3块，4块从而发现规律：夹子个数比手帕块数多1，是不是所有的情况都是这样的呢？然后验证。最后，再应用规律解决问题。这个探索规律的过程，就是一个“观察思考发现问题，提出猜想，发现规律，验证规律，应用规律解决问题”的过程，而这个过程也正是一个学生主动探究的学习过程。作为致力于发展思维的探

9、索规律来说，内容更具综合性和间接性，并不是基础知识的简单回顾或重复，也不是基本技能的同一水平层次的操练或巩固，而是一种提升，需要学生从综合性的问题中抽象出数学的问题，或者从具有现实性的问题中转化为数学问题来解决。而探索规律的这些特点，决定了它的教学与探究型学习的不解之源。 至此，改变学生的学习方式不是来自教师的指令，而是来自探索规律的内容本身。这样的学习方式是来自学生内需，不是外在的压力，更不是一种形式上的模仿。 3给学生创造成功的数学学习体验 教育俗语“跳一跳，摘果子”，是寓意学习具有一定的挑战性，学生才会乐于参与，才会产生学习的成功感。从教育学“成就动机理论”也同样可以发现：当问题的成功可

10、能性P=50%时，学生的学习动机强度最大，最愿意参与学习。在教学实践中，我们可以发现“随随便便的成功，学生很难有深刻的体验”。由此，与一般的教学内容相比，探索规律具有一定的挑战性，就具有吸引学生参与学习、参与挑战的一种潜质，探索规律的教学，能激发学生学习数学的兴趣，能让学生在学习的活动中，经历一个探究的过程，体验到学习成功的不易，真切地体会到学习的快乐。 【案例4】现代小学新数学，第6册； 探索：几十一乘几十一的乘法速算 1根据下面的算式和乘积，寻找规律。 11 21 31 51 11 41 41 61 121 861 1271 3111 2分小组讨论：算式的特点和积的规律。 3用发现的规律做

11、下面各题 2121= 6181= 4141= 3151= 7151= 9131= 在学习了两位数乘两位数的基础上，引导学生来探索特殊类型乘法算式速算的规律，首先引导学生观察算式概括出特殊类型的特征，然后发现积与乘数之间的关系，提出猜想，再通过举例，验证猜想，表达发现的规律。一旦学生发现了其中的规律，感受到自己多了一种本领，这样不仅方便了计算，更是助长了学习的信心，学习的喜悦总是溢于言表，仿佛是发现了“新大陆”。正如苏霍姆林斯基所说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈”。探索规律正是满足了儿童精神世界

12、的这一需要，让学生享受到学习的成功与快乐。 三教学内容分析 著名优秀教师张天孝先生一直关注小学生思维能力的培养，他认为对于小学生而言，探索规律从内容上来看，除了对数学中的法则、共识、性质等规律的探索以外，还包括数、式、符号、图形排列规律的探索，也包括数与数之间的规律以及运算规律的探索，还包括数形结合规律的探索等内容。 1探索数的规律 【案例5】 如（上左图）：教材以学生的生活经验为基础设计了“排队”的情景，将15五个自然数一次呈现，形象地揭示了相邻数之间的关系，让学生从整体上感知自然数组成的基本原理：每一个数比前面一个数大1，反之前一个数比后一个数小1。引导学生体验数的序列性规律。 探索数的规

13、律，不是游离于数的认识的一种“另辟蹊径”，而是基于数的认识，同时又不局限于单个数的认识，用发现多个数之间的联系或者变化规律，以此来加深对数的理解。对于低年级的学生来说，除了规律本身，这种乐于发现规律的意识也是值得关注的。弗赖登塔尔就曾举过一个例子：小朋友从1数到100，有时他们会很不耐烦地数，数了一些数后，31，32，33，34，35“就这样继续下去”。就怎样继续下去呢？0后面是1，1后面是2，2后面是39后面是0，同时在左边添加1。之所以这样说，就是说明学生已经发现其中的规律。我们不期望他们去认识多位数，也不期望他们明白无限大的存在，我们珍视的是学生善于发现规律的意识。 （二）探索式的规律

14、【案例6】 把一些算式排列在一起，让学生去发现其中的规律也是“探索规律”的内容。如上案例中，夺红旗的两条不同路线，安排了两组不同的进位加法算式，在计算的基础上引导学生发现规律。虽然算式简单，但蕴藏的规律却非常丰富。从左侧的加法算式中，引导学生可以发现：加数7不变，另一个加数递增1，结果和也递增1；从右侧看，加数8不变，另一个加数递增1，结果和也就递增1。而横向比较，还蕴含的规律是：一个加数增加1，另一个加数减少1，和相等。这样的探索规律，起点低，但拓展空间大。在数的运算教学中，重要的是让学生学会探求方法、总结规律，而不是死记结论，只有经过自己的探索，才能“知其然”，并知其“所以然”。探索式的规

15、律，就不止要求知道式的结果，而是通过比较发现式与式之间的异同，发现变化的规律，而应用规律又能作用于式结果的得出。 2探索形的规律 【案例7】六连方 6个正方形会有多少种不同的排法呢？引导学生如何有序地排列，不遗漏不重复。在这个排列的过程中，学生需要正确辨别各个正方形之间的空间位置关系，也要弄清图形与图形之间的关系，是否有重复。引导学生动手操作，或者图画，探索六连方的规律。在画出所有的六连方后，结合对正方体的认识，再继续探索：哪些六连方会是正方体的展开图呢？进一步发现其中的奥秘。类似于这样的探索关于图形之间的变化规律。就是探索形的规律的主要内容。 4探索数与形结合的规律 【案例8】 数与形是数学

16、研究的基本内容，将数与形的规律加以联系、让学生去发现问题、解决问题，是“探索规律”的另一个重要内容。 如上案例先观察上面图形与下面图形中数的变化，再根据规律在下面的空格中填上合适的数。学生在解决这些问题时，如果只从数或形的规律去思考问题是不够的。一方面需要考虑图形的对称（上下对称和左右对称）另一方面需要考虑数的排列规律，通过数形结合的思想去探索规律，解决问题。在探索数与形的规律中，一方面关注数与数之间的大小变化关系，一方面还关注了空间观念的培养，同时数形结合的探索规律也很好地把数学中的不同领域整合在一起。 四、探索规律的数学教育价值 “探索规律”作为一个独立的教学领域，内容之间有时也是相互交融

17、，综合呈现，在一个问题情境中，既有数的规律、式的规律，也可能并存的形的规律。不管内容怎样，都体现着丰富的教育价值. 1有利于培养学生的数感和符号感 新课程关注学生数感的培养。而学生数感的建立并不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。探索规律作为一个数学知识结构的重要部分，也是培养学生数感的重要载体。 【案例9】 教材巧妙地将“探索规律”渗透到认识数等有关知识的教学中，采用看图数数、写数、填一填、圈一圈、找规律画点等练习形式，让学生在具体情境中感知和体验。在比较数与数之间的大小关系以及变化规律中，增强对数的感悟。 标准强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：能从具体情境中抽

18、象出数量关系和变化规律，并用符号来表示。”探索规律的过程中，要把规律从具体的情境中抽象出一般的模型，就很需要借助符号来思考。这个符号不仅仅是一个代号，起到缩写的简约作用，更重要的是可以借助符号操作和推导，发现规律的本质。 【案例10】 请你想好一个数记在心里，现在将它加上5，然后乘以2，再减去4，再除以2，然后减去你记在心里的那个数，结果得到的数是什么？请你算出来，但不要告诉我，因为我已经知道了。请你猜我是怎么知道的？ n,n+5,2n+10,2n+6.n+3,3。最后的结果一定是3。 教学中，引导学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，体验将问题解决过程“符号化”的优越性。 2有利于培养学

19、生的观察能力 观察就是找出事物的特征，结构的内在联系，以便掌握数、形、式等规律。观察题目的特征，联想学过的有关知识，探索解题思路的过程，也就是培养学生观察能力的过程。 【案例11】 整理“10以内加法表”，学生可以从多方向进行观察，发现规律从横行观察从竖列观察从斜列观察经过讨论交流、猜想、验证，作出一般的归纳，在头脑中建立数学模型。 学生通过观察算式的排列规律、悟出道理和方法后，教材进一步安排了“活动与探索” 的内容：“应用你观察、发现算式之间的规律，独立整理十几加几的算式”。学生亲自经历“观察规律建立模型解释和应用”的学习过程，体会到了规律的应用价值。对于学生观察能力的培养，教材还做了大量有

20、益的尝试，设计了许多典型的问题，“探索规律”教学，是培养学生观察能力有效途径。 3有利于培养学生的推理能力 “经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”是标准对推理能力培养的主要阐述。能力发展决不等同于知识和技能的获得，不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生在学习过程中自己“发现”规律、“悟”出道理和思想方法。这种“发现”只能在教学活动中进行，因此教材给学生提供了丰富的素材，创设了探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、探究、猜想、验证等数学活动过程”，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。 【案例12】 观察算式，你发现了什么规律？学生

21、可能会猜想：减数不变，被减数与差之间的变化规律；也可能猜想：被减数不变，减数与差之间的变化规律。验证：129=，149=；129=，128=原来的猜想成立吗？再继续验证，结论成立吗这是一个经历观察、猜想、归纳、验证的过程，既有合情推理又有演绎推理，学生学到的不只是结论而是一种学习方法，一种数学思想方法的渗透。 4有利于培养学生的发散性思维 在“探索规律”的教学中，提供了一些开放题训练，通过信息呈现的选择性与问题解决策略的多样性，来培养学生的发散性思维。 【案例13】： 第1题，学生可以根据相邻数之间的递增关系：2 3 5 8在方框里填12；也可以运用相邻数之和等于第三个数的规律，在方框里填13

22、同样的问题，由于学生观察规律的角度不同，因此呈现的思维方式不同，解题策略也各不相同，培养了学生的发散性思维。第2题，由于题目只给出了一个数，因此学生就可以根据对数、式、形规律的理解，自己构建规律。笔者曾经就类似的题目在一年级学生中做过案例分析，所测试的总人数中有86.2%的学生能构建五种及以上的规律，共得出37种不同的方法，解题策略呈多样性，这充分说明了“探索规律”的教学对培养学生发散性思维能力的重要性。 5有利于渗透数学建模思想 数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括的或近似地表述出来地一种数学结构。在探索规律的教学中，就是需要引导学生概括出事物的共性

23、特征，或者分析数量之间的本质关系，在数学思考的基础上数学地表达。从具体情境中探索出规律，是将问题一般化的过程，一般化超越了具体问题的具体形态，深刻揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。这个问题，在当前颇有争议的应用题教学中也初见端倪，传统的应用题教学中，对那些固化解决问题方法，僵化学生解题策略的做法是应当摒弃，但作为学生从纷繁的多个具体问题中，概括出问题的共性特征，形成一种对应的解决问题的策略，用一种结构化的数学模型来解决问题这应该是一种值得倡导的能力。 【案例14】 （1）一辆客车2小时行驶180千米，照这样计算，5小时行驶多少千米？ （2）3瓶饮料27

24、元，5瓶这样的饮料要多少元？ （3）旅游纪念品厂3小时生产60个产品，照这样计算，8小时可以生产多少个产品？ 此例通过先后安排三个不同问题的解决，试图引导学生发现各个问题之间的异同，不同的数量关系，（分别从单价数量总价、速度时间路程和工作效率工作时间工作总量来描述）却有相同的问题结构，有同样的问题解决的策略，都要先求出单一量，再根据数量求出相应的总量。 五教学中要注意的问题 1从无序到有序 从教材的知识呈现方式看来，我们可以发现：探索规律的内容是在增强，每每教材呈现向学生提供观察、思考与猜测的机会时，教材更多地问学生诸如“你发现了什么”这样的问题，提示着学生注意探索其规律，逐渐增强学生探索规律

25、的意识。然而，探索规律作为小学数学知识结构新的部分，也是需要一个系统的眼光，构建一个适合学生学习的序列。在新课程的实施过程中，孤立地看某些探索规律比较难，但从实际教学效果却发现学生掌握得比较理想，这就是探索规律系统编排、有序训练所带来的积极影响。 【案例15】数列的规律； （1）1，2，3，4，5，（ ），（ ）；递增 （2）20，18，16，14，（ ），（ ）递减 （3）1，2，4，8，（ ），（ ）扩大倍数关系 （4）32，16，8，（ ），（ ）缩小倍数关系 （5）1，3，7，15，（ ），（ ）几倍多几关系 （6）1，2，3，5，8，（ ），（ ）前两个数的和等于第三个数 就数的排列

26、而言，有很多适合学生探索的规律，教学就在于如何有序地编排，由易到难，螺旋上升，以便于学生顺利发现规律，进行成功地探索。诚然，在不同阶段，对学生也应该有不同的要求，如题：（），（ ），12，（ ），（ ）。在不同的学习阶段，学生可能有的解决策略一定不同。教学时，不能不分析学生原有探索规律的基础，而对学生的探索能力做片面的要求和评价。从无序到有序，不仅指的是数学问题，也同时指的是要求。 2兼顾动手、动口与动脑 倡导学生动手操作和动口表达，是当前新课程倡导的学习方式，因为借助动手操作，利用直观培养学生的思维；利用数学语言交流，增强学生的数学表达能力。而对于具体的课堂教学而言，并不是看到学生动手操作得

27、越多越好，动口表达的机会越多越好，在动手和动口的背后，最关键是看学生是否已经动脑。理智的教学不应把表面的“动”，热闹的“动”，解释为数学在实现“做中学”。只有把外化的行为与内在的思维活动结合在一起，才是有效的数学学习活动。 【案例16】 为了教学有趣的排列（二年级），教师创设了一个又一个有趣的情境： 第1个情境：让学生在三个圆中画不同的颜色：红黄蓝，有几种不同的画法？ 第2情境：安排摆卡片的游戏：用汉字卡片“做”“好”“事”，可以有几种不同的排列方法，读一读。 做好事，做事好，好做事，好事做，事做好，事好做。 第3情境：联系生活实际，三辆汽车开在路上，有几种不同的先后顺序？ 第4情境，联系生活

28、实际：三个人站在一排拍照，有几种不同的站法？ 该案例的设计，是希望把数学知识与学生现实生活联系起来，通过一些简单的方便操作的活动以及学生所熟悉的事物，发现事物排列的规律，并知道一共可以产生的排列种数。然而在教学中，对于二年级的学生来说，刚开始接触排列的规律时，是需要借助实际情境，让每一个孩子动手操作，感受到规律的存在，但经历了几个不同的情境后，应当引导学生发现内在的本质规律，也无须每换一个情境，仍然重复机械的操作，而是应该思考问题的共同属性，为以后用一个乘法算式来求得几种不同的排列方法做准备。由此看来，一味强调动手操作，不能一味降低学生的思维强度，以丢失锻炼学生思维的机会。依托表象来思考可能存

29、在的排列情况比看到直观图示来分析排列的现象，更有教育价值。 3要给出充足的时间与空间 从在一个单位时间设计一个教学活动的角度看，教材的编写和课堂教学的设计都是“选择的艺术”。教学目标的多元，也促使教学时更注重效率。没有充足的时间和空间做保障，有效的学习成为空谈。然而，教学时间的控制权，是属于占主导作用的教师，还是占主体作用的学生，在现实教学中，尽管我们认同“以学生为本”“换位思考”，但从教学现状看来，做起来很难。 【案例17】 两位数加一位数的进位加法，设计一组对比的练习； 57 84 157 184 257 284 357 384 出示题目后，老师往往会马上问：你发现了什么？ 有个别举手，老

30、师请学生回答。 这样的现象，表面看“效率比较高，表现较积极”，但这仅仅是个别现象，对于这样的问题情境，需要学生充足的时间做保证，才有可能让更多的人有尽可能多的发现。充分发挥本题的教学功能。教学中，我们希望在计算的基础上自主探索规律，既能沟通20以内进位加法和100以内两位数加一位数的进位加法之间的联系，在已有的认知系统中建构新的算法。同时，纵向比较，会发现其中有一个加数不变，另一个加数的个位也相同，不同的只是第一个加数的十位；在计算的过程中，有一个共性特征：和的十位总是比加数的十位多1，这也正是进位加法的本质特征所在。教学是选择的艺术，对于教材的编写来说编著者是一种选择，对于课堂教学来说教师也是一种选择，种种选择背后都是承载着责任。 4倡导技术的支持 新课程重视新技术的应用。标准在第二学段明确要求所有学生应学会使用计算器处理复杂数据，并利用计算器探索规律，解决更为广泛的现实问题。计算器引进数学学习中，对于是否会对笔算和口算产生影响，理论的阐述总是支持较多，但难有实证性的研究让更多的人信服，从而投入实践。然而，