1、杭州现代小学数学教育研究中心课题组“探索规律”备课解读与案例透视 杭州现代小学数学教育研究中心课题组 执笔:唐彩斌 邵 虹 一 “探索规律”的课标要求 数学从属于(自然)科学,那么,数学是一门怎样的科学?在这些根源性问题的哲学思辩中,“数学是模式的科学”得到了更多的认同。“也就是说,在数学中我们是通过(量化)模式的建构,并以此为直接对象来从事客观世界量化规律性研究的。”基于此,我们能理解在数学学习中存在大量的规律、公式和算法,也就不难理解数学课程标准(实验稿)(以下简称课标)从一个新的视角定位“探索规律”,并对学生探求模式、发现规律提出新的要求。 课标把“探索规律”作为内容结构的一个重要方面,
2、第一学段要求:发现给定的事物中隐含的简单规律;第二学段要求:探求给定的事物中隐含的规律或变化趋势。同时还要求“探索并理解简单的数量关系”、“探索和理解运算律”、“探索具体问题中的数量关系和变化规律”等等。“探索规律”蕴藏着重要的教育内涵和价值,被新课程单列为一个独立部分,也从一个侧面说明了“探索规律”的教育地位和意义。探索规律并非是一个全新的内容,在以前的数学学习中早有呈现,只是没有高度重视和持续关注,知识相对散落,编排较为随机。在新课程中,这部分内容被独立出来,其实也只是相对独立,因为它还是要依托“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与应用”等领域的基础知识和基本技能。 二“探索规律
3、”的教学意义 辞海将“规律”解释为:事物之间的内在的必然联系和趋势。至于“探索”,则是当代学习理论所倡导的,强调独立思考和发现。因此,探索规律是一个发现关系、发展思维的过程,有利于学生夯实基础,鼓励创新,更能够体现数学思考,凸显过程与方法,同时,也能够让学生在自主探索与思考中感受到学习的快乐,形成积极的学习情感与态度。 1实现夯实基础与思维发展之间的结合 注重“双基”,规律的探索才会变得更有可能。探索规律不是数学学习中的“空中楼阁”,它是在认识个体学习对象的基础上,发现个体之间的关系或者是事物发展的趋势的过程。而这种关系或趋势的获得,从某种角度看来,恰恰是追寻数学的本质,是一个数学化的过程。因
4、此,探索规律的加强,为实现夯实基础与思维发展之间的结合提供了更多的可能。 【案例1】 掌握基本知识和基本技能的角度看来,本题要求学生能根据具体的实物用相应的数来表示,并能正确书写。然而,作为探索规律的要求,则是在这个基础上,发现图与图,数与数之间的关系,能够从这些数中发现内在的变化规律:每次都多2。这种基于一组数据现象的概括,从关注实物与数的对应关系到关注数与数之间的变化关系,正是探索规律所追寻的思维发展的具体体现。 2探索规律,改进学生的学习方式 改进学生的学习方式是当前课程改革的一个主要目标,在数学学习过程中,有多种学习方式并存,我们应该处理好接受性学习与自主合作探究的学习方式之间的关系,
5、绝不是简单划一或者替代。因为“学什么与怎样学是分不开的”,离开了学习内容,学习方式本身也无本身的优劣。而作为探索规律的教学,应该依托内容来驱动学生进行自主思考,合作学习,主动探究。 探索规律的内容更需要自主思考。例如:55( )、 66( )、 77( )、 88( )、 你能发现什么?引导学生发现相邻的数的平方数之间的变化关系?这样的探索规律,需要学生思考“是什么”而且还要知道“为什么”,学生学习的过程中不仅需要知道每一个算式的结果,而且还要发现结果之间的变化关系,而知道了变化关系:分别相差11,13,15,也仅仅解决了规律是什么的问题,对于学生学习来说,还有一个更重要的问题是“为什么”。引
6、导学生利用乘法的分配律来作解释,如:66(51)(51)55551;也就是aabb2b1,a,b为相邻的自然数,ab。从元认知的发展来说,学生要思考的不仅是结果是什么?而且还要思考过程是怎样的“我们是怎样发现这个规律的”。学生反思探索规律的过程,陈述有观察,有猜想,有验证。探索规律过程中蕴藏着更多的问题,就更需学生自主思考。 探索规律中有一部分内容可以采用合作学习的方式组织教学,发展学生的合作能力。 【案例2】 在日常教学中我们不难发现,有的合作是来自老师的指令,而并非是学生自觉性的合作,理想的合作,应该是在学生个体独立思考基础上,因学习需要而自主寻求合作。而这个问题关键是在于学习活动本身是否
7、需要合作。就本案例而言,当出现结果是“495”,然后不断地重复了,这会是一种巧合吗?从组织形式分析,可以单独完成,也可以小组合作。我们可以想见,与学生独立学习相比,小组之间的合作探究从知识形成的角度来说:这样的规律是更具数学的普遍性,因为例证不是来自于一个个体,而是一个群体。当然,小组合作与独立学习相比还有其他的教育价值,在此不再赘述。从类似于这样的学习内容而言,探索规律更容易唤起学生的合作意识。 探索规律本身就是一种探究活动。探究性学习不仅天然地成为其普遍的学习方式,反过来,探索规律这一内容也能很好地发展学生的探究能力。 【案例3】晒50块手帕要多少个夹子呢? 与一般的基础知识和基本技能的学
8、习过程相比,探索规律的教学具有更大的思维强度,具有更大的挑战性和思维的驱动性。50块手帕所要的夹子,首先要把这个生活问题,通过学生的理解转化成数学问题,这是思维的抽象,也是数学学习的数学化的过程。50块的手帕,那么多,直接去操作,太麻烦,所以促使学生主动探寻其中的规律,怎么发现规律呢?先从数量少的开始,1块,2块,3块,4块从而发现规律:夹子个数比手帕块数多1,是不是所有的情况都是这样的呢?然后验证。最后,再应用规律解决问题。这个探索规律的过程,就是一个“观察思考发现问题,提出猜想,发现规律,验证规律,应用规律解决问题”的过程,而这个过程也正是一个学生主动探究的学习过程。作为致力于发展思维的探
9、索规律来说,内容更具综合性和间接性,并不是基础知识的简单回顾或重复,也不是基本技能的同一水平层次的操练或巩固,而是一种提升,需要学生从综合性的问题中抽象出数学的问题,或者从具有现实性的问题中转化为数学问题来解决。而探索规律的这些特点,决定了它的教学与探究型学习的不解之源。 至此,改变学生的学习方式不是来自教师的指令,而是来自探索规律的内容本身。这样的学习方式是来自学生内需,不是外在的压力,更不是一种形式上的模仿。 3给学生创造成功的数学学习体验 教育俗语“跳一跳,摘果子”,是寓意学习具有一定的挑战性,学生才会乐于参与,才会产生学习的成功感。从教育学“成就动机理论”也同样可以发现:当问题的成功可
10、能性P=50%时,学生的学习动机强度最大,最愿意参与学习。在教学实践中,我们可以发现“随随便便的成功,学生很难有深刻的体验”。由此,与一般的教学内容相比,探索规律具有一定的挑战性,就具有吸引学生参与学习、参与挑战的一种潜质,探索规律的教学,能激发学生学习数学的兴趣,能让学生在学习的活动中,经历一个探究的过程,体验到学习成功的不易,真切地体会到学习的快乐。 【案例4】现代小学新数学,第6册; 探索:几十一乘几十一的乘法速算 1根据下面的算式和乘积,寻找规律。 11 21 31 51 11 41 41 61 121 861 1271 3111 2分小组讨论:算式的特点和积的规律。 3用发现的规律做
11、下面各题 2121= 6181= 4141= 3151= 7151= 9131= 在学习了两位数乘两位数的基础上,引导学生来探索特殊类型乘法算式速算的规律,首先引导学生观察算式概括出特殊类型的特征,然后发现积与乘数之间的关系,提出猜想,再通过举例,验证猜想,表达发现的规律。一旦学生发现了其中的规律,感受到自己多了一种本领,这样不仅方便了计算,更是助长了学习的信心,学习的喜悦总是溢于言表,仿佛是发现了“新大陆”。正如苏霍姆林斯基所说:“在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中,这种需要则特别强烈”。探索规律正是满足了儿童精神世界
12、的这一需要,让学生享受到学习的成功与快乐。 三教学内容分析 著名优秀教师张天孝先生一直关注小学生思维能力的培养,他认为对于小学生而言,探索规律从内容上来看,除了对数学中的法则、共识、性质等规律的探索以外,还包括数、式、符号、图形排列规律的探索,也包括数与数之间的规律以及运算规律的探索,还包括数形结合规律的探索等内容。 1探索数的规律 【案例5】 如(上左图):教材以学生的生活经验为基础设计了“排队”的情景,将15五个自然数一次呈现,形象地揭示了相邻数之间的关系,让学生从整体上感知自然数组成的基本原理:每一个数比前面一个数大1,反之前一个数比后一个数小1。引导学生体验数的序列性规律。 探索数的规
13、律,不是游离于数的认识的一种“另辟蹊径”,而是基于数的认识,同时又不局限于单个数的认识,用发现多个数之间的联系或者变化规律,以此来加深对数的理解。对于低年级的学生来说,除了规律本身,这种乐于发现规律的意识也是值得关注的。弗赖登塔尔就曾举过一个例子:小朋友从1数到100,有时他们会很不耐烦地数,数了一些数后,31,32,33,34,35“就这样继续下去”。就怎样继续下去呢?0后面是1,1后面是2,2后面是39后面是0,同时在左边添加1。之所以这样说,就是说明学生已经发现其中的规律。我们不期望他们去认识多位数,也不期望他们明白无限大的存在,我们珍视的是学生善于发现规律的意识。 (二)探索式的规律
14、【案例6】 把一些算式排列在一起,让学生去发现其中的规律也是“探索规律”的内容。如上案例中,夺红旗的两条不同路线,安排了两组不同的进位加法算式,在计算的基础上引导学生发现规律。虽然算式简单,但蕴藏的规律却非常丰富。从左侧的加法算式中,引导学生可以发现:加数7不变,另一个加数递增1,结果和也递增1;从右侧看,加数8不变,另一个加数递增1,结果和也就递增1。而横向比较,还蕴含的规律是:一个加数增加1,另一个加数减少1,和相等。这样的探索规律,起点低,但拓展空间大。在数的运算教学中,重要的是让学生学会探求方法、总结规律,而不是死记结论,只有经过自己的探索,才能“知其然”,并知其“所以然”。探索式的规
15、律,就不止要求知道式的结果,而是通过比较发现式与式之间的异同,发现变化的规律,而应用规律又能作用于式结果的得出。 2探索形的规律 【案例7】六连方 6个正方形会有多少种不同的排法呢?引导学生如何有序地排列,不遗漏不重复。在这个排列的过程中,学生需要正确辨别各个正方形之间的空间位置关系,也要弄清图形与图形之间的关系,是否有重复。引导学生动手操作,或者图画,探索六连方的规律。在画出所有的六连方后,结合对正方体的认识,再继续探索:哪些六连方会是正方体的展开图呢?进一步发现其中的奥秘。类似于这样的探索关于图形之间的变化规律。就是探索形的规律的主要内容。 4探索数与形结合的规律 【案例8】 数与形是数学
16、研究的基本内容,将数与形的规律加以联系、让学生去发现问题、解决问题,是“探索规律”的另一个重要内容。 如上案例先观察上面图形与下面图形中数的变化,再根据规律在下面的空格中填上合适的数。学生在解决这些问题时,如果只从数或形的规律去思考问题是不够的。一方面需要考虑图形的对称(上下对称和左右对称)另一方面需要考虑数的排列规律,通过数形结合的思想去探索规律,解决问题。在探索数与形的规律中,一方面关注数与数之间的大小变化关系,一方面还关注了空间观念的培养,同时数形结合的探索规律也很好地把数学中的不同领域整合在一起。 四、探索规律的数学教育价值 “探索规律”作为一个独立的教学领域,内容之间有时也是相互交融
17、,综合呈现,在一个问题情境中,既有数的规律、式的规律,也可能并存的形的规律。不管内容怎样,都体现着丰富的教育价值. 1有利于培养学生的数感和符号感 新课程关注学生数感的培养。而学生数感的建立并不是一蹴而就的,是在学习过程中逐步体验和建立起来的。探索规律作为一个数学知识结构的重要部分,也是培养学生数感的重要载体。 【案例9】 教材巧妙地将“探索规律”渗透到认识数等有关知识的教学中,采用看图数数、写数、填一填、圈一圈、找规律画点等练习形式,让学生在具体情境中感知和体验。在比较数与数之间的大小关系以及变化规律中,增强对数的感悟。 标准强调发展学生的符号感,并指出:“符号感主要表现在:能从具体情境中抽
18、象出数量关系和变化规律,并用符号来表示。”探索规律的过程中,要把规律从具体的情境中抽象出一般的模型,就很需要借助符号来思考。这个符号不仅仅是一个代号,起到缩写的简约作用,更重要的是可以借助符号操作和推导,发现规律的本质。 【案例10】 请你想好一个数记在心里,现在将它加上5,然后乘以2,再减去4,再除以2,然后减去你记在心里的那个数,结果得到的数是什么?请你算出来,但不要告诉我,因为我已经知道了。请你猜我是怎么知道的? n,n+5,2n+10,2n+6.n+3,3。最后的结果一定是3。 教学中,引导学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,体验将问题解决过程“符号化”的优越性。 2有利于培养学
19、生的观察能力 观察就是找出事物的特征,结构的内在联系,以便掌握数、形、式等规律。观察题目的特征,联想学过的有关知识,探索解题思路的过程,也就是培养学生观察能力的过程。 【案例11】 整理“10以内加法表”,学生可以从多方向进行观察,发现规律从横行观察从竖列观察从斜列观察经过讨论交流、猜想、验证,作出一般的归纳,在头脑中建立数学模型。 学生通过观察算式的排列规律、悟出道理和方法后,教材进一步安排了“活动与探索” 的内容:“应用你观察、发现算式之间的规律,独立整理十几加几的算式”。学生亲自经历“观察规律建立模型解释和应用”的学习过程,体会到了规律的应用价值。对于学生观察能力的培养,教材还做了大量有
20、益的尝试,设计了许多典型的问题,“探索规律”教学,是培养学生观察能力有效途径。 3有利于培养学生的推理能力 “经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”是标准对推理能力培养的主要阐述。能力发展决不等同于知识和技能的获得,不是学生“懂”了,也不是学生“会”了,而是学生在学习过程中自己“发现”规律、“悟”出道理和思想方法。这种“发现”只能在教学活动中进行,因此教材给学生提供了丰富的素材,创设了探索交流的空间,组织、引导学生“经历观察、探究、猜想、验证等数学活动过程”,并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。 【案例12】 观察算式,你发现了什么规律?学生
21、可能会猜想:减数不变,被减数与差之间的变化规律;也可能猜想:被减数不变,减数与差之间的变化规律。验证:129=,149=;129=,128=原来的猜想成立吗?再继续验证,结论成立吗这是一个经历观察、猜想、归纳、验证的过程,既有合情推理又有演绎推理,学生学到的不只是结论而是一种学习方法,一种数学思想方法的渗透。 4有利于培养学生的发散性思维 在“探索规律”的教学中,提供了一些开放题训练,通过信息呈现的选择性与问题解决策略的多样性,来培养学生的发散性思维。 【案例13】: 第1题,学生可以根据相邻数之间的递增关系:2 3 5 8在方框里填12;也可以运用相邻数之和等于第三个数的规律,在方框里填13
22、同样的问题,由于学生观察规律的角度不同,因此呈现的思维方式不同,解题策略也各不相同,培养了学生的发散性思维。第2题,由于题目只给出了一个数,因此学生就可以根据对数、式、形规律的理解,自己构建规律。笔者曾经就类似的题目在一年级学生中做过案例分析,所测试的总人数中有86.2%的学生能构建五种及以上的规律,共得出37种不同的方法,解题策略呈多样性,这充分说明了“探索规律”的教学对培养学生发散性思维能力的重要性。 5有利于渗透数学建模思想 数学模型是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系,采用形式化的数学语言,概括的或近似地表述出来地一种数学结构。在探索规律的教学中,就是需要引导学生概括出事物的共性
23、特征,或者分析数量之间的本质关系,在数学思考的基础上数学地表达。从具体情境中探索出规律,是将问题一般化的过程,一般化超越了具体问题的具体形态,深刻揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性,把认识和推理提到一个更高的水平。这个问题,在当前颇有争议的应用题教学中也初见端倪,传统的应用题教学中,对那些固化解决问题方法,僵化学生解题策略的做法是应当摒弃,但作为学生从纷繁的多个具体问题中,概括出问题的共性特征,形成一种对应的解决问题的策略,用一种结构化的数学模型来解决问题这应该是一种值得倡导的能力。 【案例14】 (1)一辆客车2小时行驶180千米,照这样计算,5小时行驶多少千米? (2)3瓶饮料27
24、元,5瓶这样的饮料要多少元? (3)旅游纪念品厂3小时生产60个产品,照这样计算,8小时可以生产多少个产品? 此例通过先后安排三个不同问题的解决,试图引导学生发现各个问题之间的异同,不同的数量关系,(分别从单价数量总价、速度时间路程和工作效率工作时间工作总量来描述)却有相同的问题结构,有同样的问题解决的策略,都要先求出单一量,再根据数量求出相应的总量。 五教学中要注意的问题 1从无序到有序 从教材的知识呈现方式看来,我们可以发现:探索规律的内容是在增强,每每教材呈现向学生提供观察、思考与猜测的机会时,教材更多地问学生诸如“你发现了什么”这样的问题,提示着学生注意探索其规律,逐渐增强学生探索规律
25、的意识。然而,探索规律作为小学数学知识结构新的部分,也是需要一个系统的眼光,构建一个适合学生学习的序列。在新课程的实施过程中,孤立地看某些探索规律比较难,但从实际教学效果却发现学生掌握得比较理想,这就是探索规律系统编排、有序训练所带来的积极影响。 【案例15】数列的规律; (1)1,2,3,4,5,( ),( );递增 (2)20,18,16,14,( ),( )递减 (3)1,2,4,8,( ),( )扩大倍数关系 (4)32,16,8,( ),( )缩小倍数关系 (5)1,3,7,15,( ),( )几倍多几关系 (6)1,2,3,5,8,( ),( )前两个数的和等于第三个数 就数的排列
26、而言,有很多适合学生探索的规律,教学就在于如何有序地编排,由易到难,螺旋上升,以便于学生顺利发现规律,进行成功地探索。诚然,在不同阶段,对学生也应该有不同的要求,如题:(),( ),12,( ),( )。在不同的学习阶段,学生可能有的解决策略一定不同。教学时,不能不分析学生原有探索规律的基础,而对学生的探索能力做片面的要求和评价。从无序到有序,不仅指的是数学问题,也同时指的是要求。 2兼顾动手、动口与动脑 倡导学生动手操作和动口表达,是当前新课程倡导的学习方式,因为借助动手操作,利用直观培养学生的思维;利用数学语言交流,增强学生的数学表达能力。而对于具体的课堂教学而言,并不是看到学生动手操作得
27、越多越好,动口表达的机会越多越好,在动手和动口的背后,最关键是看学生是否已经动脑。理智的教学不应把表面的“动”,热闹的“动”,解释为数学在实现“做中学”。只有把外化的行为与内在的思维活动结合在一起,才是有效的数学学习活动。 【案例16】 为了教学有趣的排列(二年级),教师创设了一个又一个有趣的情境: 第1个情境:让学生在三个圆中画不同的颜色:红黄蓝,有几种不同的画法? 第2情境:安排摆卡片的游戏:用汉字卡片“做”“好”“事”,可以有几种不同的排列方法,读一读。 做好事,做事好,好做事,好事做,事做好,事好做。 第3情境:联系生活实际,三辆汽车开在路上,有几种不同的先后顺序? 第4情境,联系生活
28、实际:三个人站在一排拍照,有几种不同的站法? 该案例的设计,是希望把数学知识与学生现实生活联系起来,通过一些简单的方便操作的活动以及学生所熟悉的事物,发现事物排列的规律,并知道一共可以产生的排列种数。然而在教学中,对于二年级的学生来说,刚开始接触排列的规律时,是需要借助实际情境,让每一个孩子动手操作,感受到规律的存在,但经历了几个不同的情境后,应当引导学生发现内在的本质规律,也无须每换一个情境,仍然重复机械的操作,而是应该思考问题的共同属性,为以后用一个乘法算式来求得几种不同的排列方法做准备。由此看来,一味强调动手操作,不能一味降低学生的思维强度,以丢失锻炼学生思维的机会。依托表象来思考可能存
29、在的排列情况比看到直观图示来分析排列的现象,更有教育价值。 3要给出充足的时间与空间 从在一个单位时间设计一个教学活动的角度看,教材的编写和课堂教学的设计都是“选择的艺术”。教学目标的多元,也促使教学时更注重效率。没有充足的时间和空间做保障,有效的学习成为空谈。然而,教学时间的控制权,是属于占主导作用的教师,还是占主体作用的学生,在现实教学中,尽管我们认同“以学生为本”“换位思考”,但从教学现状看来,做起来很难。 【案例17】 两位数加一位数的进位加法,设计一组对比的练习; 57 84 157 184 257 284 357 384 出示题目后,老师往往会马上问:你发现了什么? 有个别举手,老
30、师请学生回答。 这样的现象,表面看“效率比较高,表现较积极”,但这仅仅是个别现象,对于这样的问题情境,需要学生充足的时间做保证,才有可能让更多的人有尽可能多的发现。充分发挥本题的教学功能。教学中,我们希望在计算的基础上自主探索规律,既能沟通20以内进位加法和100以内两位数加一位数的进位加法之间的联系,在已有的认知系统中建构新的算法。同时,纵向比较,会发现其中有一个加数不变,另一个加数的个位也相同,不同的只是第一个加数的十位;在计算的过程中,有一个共性特征:和的十位总是比加数的十位多1,这也正是进位加法的本质特征所在。教学是选择的艺术,对于教材的编写来说编著者是一种选择,对于课堂教学来说教师也是一种选择,种种选择背后都是承载着责任。 4倡导技术的支持 新课程重视新技术的应用。标准在第二学段明确要求所有学生应学会使用计算器处理复杂数据,并利用计算器探索规律,解决更为广泛的现实问题。计算器引进数学学习中,对于是否会对笔算和口算产生影响,理论的阐述总是支持较多,但难有实证性的研究让更多的人信服,从而投入实践。然而,
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