宏观经济学分析方法系列变分法欧拉方程极值路径与动态经济模型分析.docx
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宏观经济学分析方法系列变分法欧拉方程极值路径与动态经济模型分析
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附录：
宏观经济学分析方法：
变分法、极值路径与动态最优化
（08、09、10、11 硕已讲，精细订正版）
一、动态最优化
在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，
使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：
给定一个函数
y = y（x） ，最优点 x* 的一阶条件是 y'（x*） = 0 .
在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最
小化的曲线 x* （t） ．这个最大化的积分定义为独立变量 t 、函数 x（t） 及它
的导数 dx / dt 的函数 F 下的面积。
x
简言之，假设时间区域从 t0 = 0 到 t1 = T ，且用 &表示 dx / dt ，我们寻
找最大化或最小化
T
0
F[t, x（t）, &t）]dt
（20.1）
x（x
这里假定 F 对 t 、 x（t） 、 &t） 是连续的，且具有对 x 和 &的连续偏导数．
将形如（20．1），对每一个函数 x（t） 对应着一个数值的积分称为
“泛函”．
．
一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”
1
极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别
地满足一些固定端点条件的函数类 x（t） ．
Max⎰π[t, p（t）, p&（t）]dt
（讲！
）
例 1一家公司当希望获得从时间 t = 0 到 t = T 的最大利润时发现，产
品的需求不仅依赖于产品的价格 p ，而且也依赖于价格关于时间的变
化率如 dp / dt 。
假设成本是固定的，并且每个 p 和 dp / dt 是时间的函数，
p
&代表 dp / dt ，公司的目标可以作如下数学表示
T
0
min ⎰ C[t, x（t）, x&（t）]dt
另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平 x（t） 和生产的变化率
xx
dx / dt = &．假设这个公司希望最小化成本，且 x 和 &是时间 t 的函数，公
司的目标可以写成
t1
t0
满足
x（t0 ） = x0 ,
且x（t1） = x1
这些初始和终值约束称为端点条件．
2
例 2Ramsey 经济：
消费最优化问题
从家庭终生效用函数的集约形式U = U （c） 出发，在消费预算约束
的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey 问
题”—找出一条消费路径 c（t） ，使家庭终生效用函数U = U （c） 最大化：
dt
0
⎨
⎪∞
⎩
⎪ k0 + ⎰0 （ω（t） - c（t））e（n+g）t-R（t）dt = 0
二、欧拉方程：
动态最优化的必要条件（三种形式）
定理（泛函极值曲线即最优化）的必要条件）：
对于一个泛函
t1
t0
F[t, x（t）, &t）]dt
连接点 （t0 , x0 ） 和 （t1, x1） 的曲线 x* = x* （t） 是一个极值曲线（即最优化）的必
要条件是
∂F
∂x
=
ç ⎪
（20．2a）
称之为欧拉方程．
尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍
微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方
程．
3
用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函
数．（20．2a）的欧拉方程表示为
Fx （t, x, & =
d
dt
[F&（t, x, &）]
（20．2b）
x
然后，用链式法则求 F&关于 t 的导数，并且省略自变“量”，得
xtxx x）xx x）
Fx = F& + F& （ & + F&&（&
（20．2c）
x
这里， &= d 2 x / dt 2
下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。
x（t）
x*
∧
X = x* + mh
t0
图 20-2
t1
t
证明：
（重点！
09、10、11 硕，已讲）
设 x* = x*（t） 是图 20-2 中连接点 （t0 , x0 ） 和 （t1, x1 ） 的曲线，并且它使
下面泛函取得最大值
4
t1
t0
F[t, x（t）, &t）]dt
（20．3）
即 x* = x*（t） 为极值曲线，欧拉方程（20．2a）是 x* = x*（t） 为极值曲线的一
个必要条件．
ˆ
取 X = x*（t） + mh（t） 是 x* = x*（t） 的相邻曲线，这里 m 是任意常数，
ˆˆ
h（t） 是一个任意函数．为了使曲线 X 也通过点 （t0 , x0 ） 和 （t1, x1 ） ，则 X 也
满足端点条件：
h（t0 ） = 0
h（t1 ） = 0
（20．4）
t1
t0
一旦取定 x*（t） 和 h（t） 之后，因 x*（t） 和 h（t） 固定，则积分值
F[t, x（t）, &t）]dt 仅为 m 的函数，不妨改写成
g（m） = ⎰ F[t, x* （t） + mh（t） , x&* （t） + mh&（t）]dt
t1
t0
（20．5）
由于 x*（t） 使（20．3）中的泛函 ⎰t F[t, x（t）, x&（t）]dt 实现最优化，所以
g（m） = ⎰ F[t, x* （t） + mh（t） , x&* （t） + mh&（t）]dt 才能还原为 ⎰ F[t, x（t）, x&（t）]dt ）实现
t1
0
（20．5）中的函数 g（m） 仅当 m = 0 时（因为 m = 0 时的
t1t1
t0t0
最优化，即有
dg
dm
m=0
= 0
（20．6）
对（20．5）即 g（m） = ⎰t F[t, x* （t） + mh（t） , x&* （t） + mh&（t）]dt 用链式法则求
t1
0
∂F / ∂m ．由于 F 是 x 和 &的函数，依次又是 m 的函数，代入（20．7）得
dgt1 ⎡ ∂F
t0
⋅
∂（x* + mh）
∂m
+
∂& ∂m
⋅ ⎥dt
5
由于
∂（x* + mh）
∂m
= h 且
∂（ & + m &
∂m
= &，用条件（20．6）即
dg
dm
m=0
= 0 ，有
dgt1 ⎡ ∂F
m=0
h（t） +
∂F & ⎤
∂ & ⎦
（20．8）
方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分，
（注：
令
b
u = u（t）, v = v（t）
v = F& =
∂F
∂&
u = h（t）
所以，
dv =
dv
dt
⋅ dt =
dF&
dt
⋅ dt =
（
du =
du
dt
⋅ dt = &t） ⋅ dt
）
dg
dm
m=0
t1 ∂F
t0 ∂x
⎣ ∂ & ⎦t0 t0 dt ⎝ ∂ &⎭
t1
h（h（
由（20．4）知， h（t0 ） = h（t1 ） = 0 ，从而 &t0 ） = &t1） = 0 ，于是上式中第二项去
掉，合并其余两项，有
dg
dm
m=0
t1 ⎡ ∂F
t0
-
ç
（20．9）
由于 h（t） 是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条
件为方括号中式子为零，即
∂F
∂x
-
ç
∂F
∂x
=
ç ⎪
这就是欧拉方程．定理证毕。
6
三、求候选极值曲线
在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分
最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：
x）
1、设被积函数为 F ，即 F = F （t, x, & ．
2、求 F 对 x 和 &的偏导数，记 ∂F / ∂x = Fx ,
∂F / ∂&= F&．
3、代入欧拉方程（20．2a）或（20．2b）．
xxxx
4、求 F&关于 t 的导数．由于 F&是 t ， x和 &的函数，且 x和 &又是 t 的函数，
因此，需要用链式法则．
xxxx
5、如果没有导数项（ &和&），立即解出 x ；如果有 &和&项，直到作出所有
导数的积分，然后求出 x 。
在例 3，例 4 中，给出了这个方法的例子．
例 3 设 ⎰0 （6x2e3t + 4tx&）dt ，试用（20. 4）中所列程序及（20．2a）的记号，最
T
优化这个泛函如下：
1、设
x
F = 6x2e3t + 4t &
7
2、则
∂F
∂x
= 12xe3t ,
∂F
x
∂&
= 4t
3、代入欧拉方程（20．2a），有12xe3t =
d
dt
（4t）
x（t） =e-3t
4、但 d （4t） / dt = 4 ，代入上式，12xe3t = 4
xx
5、由于没有 &和 &项，所以可直接求出 x ，将这个解表成 x（t） ，
1
3
这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲
线．所以有必要使用充分条件检验。
见下一节．
例 4泛函
2
0
满足
x（0） = 1
x
（2） = 4
求上述泛函的候选极值曲线，现在用（20．2b）的记号．
1、设
2、则
x2
F = 4 & + 12xt - 5t
xx
Fx = 12t 且F& = 8 &
3、代入欧拉方程（20．2b），
12t =
d
dt
x
8 &
4、记 &=
dx
dt
，且
d ⎛ dx ⎫
dt ⎝ dt ⎭
=
d 2 x
dt 2
= &，
x
12t = 8&
8
x
5、由于有 &，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个
常数．
⎰12tdt = ⎰ 8&dt
6t 2 + c1 = 8 &
再积分，
+ c1）dt = ⎰ 8&&dt
⎰ （6t
2
x
2t3 + c1t + c2 = 8x
解出 x ，
x（t） =
1 2 c c
4 8 8
代入边值条件，
x（0） =
c2
8
c2 = 8
（2）2 +
（2）c1 +1 = 4
x
（2） =
1
4
1
8
c1 = 4
代入式中，得解：
x（t） =t3 +t + 1
1 1
42
四、变分法的充分条件
假设对于极值曲线，必要条件是满足的．
x（x
1、如果泛函 F[t, x（t）, &t）] 在 x（t）, &是联合凹的，则对于最大值情况，必
要条件是充分的。
x（x
2、如果泛函 F[t, x（t）, &t）] 在 x（t）, &是联合凸的，则对于最小值情况，必
9
要条件是充分的．
联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容
易确定．给定判别式：
D =
Fxx
F&
Fx&
F&&
1、
（a）如果， D1 = Fxx < 0 ，且 D2 = D > 0 ， D 是负定的， F 是严格凹的，得
到一个全局最大的极值曲线．
（b）如果， D1 = Fxx ≤ 0 ，且 D2 = D ≥ 0 ，检验变量所有可能的次序， D 是
半负定的， F 是简单凹的，则得到局部最大的极值曲线．
2、
（a）如果 D1 = Fxx > 0 ，且 D2 = D > 0 ， D 是正定的， F 是严格凸的，从而
得到一个全局最小的极值曲线．
（b）如果 D1 = Fxx ≥ 0 ，且 D2 = D ≥ 0 ，检验变量所有可能的次序， D 是半
正定的， F 是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线．
x
例 5下面是例 3 的充分条件的例子，这里泛函是 F = 6x2e3t + 4t &，
x
Fx = 12xe3t ， F& = 4t
1F
F&
Fx&
F&&
=
12e3t
0
0
0
D1 = 12e3t > 0
10
D2 = 0
D1 不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式
对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的．
D2 =
F&& F&
Fx& Fxx
=
0 0
0 12e3t
D12 = 0
D2 = 0
对每个变量的两种可能的顺序， D1 ≥ 0,
D2 ≥ 0,
D 是半正定的，
泛函达到局部最小的，是充分条件．
用完全的相似的方式，可检验出例 4 的充分条件．
五、泛函约束的动态优化（已讲）
求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分
T
0
F[t, x（t）, &dt
（20．10）
满足积分约束
T
0
G[t, x（t）, &dt = k
（20．11）
这里， k 是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束（20．11）乘以 λ ，
然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：
⎰ （F +λ G）dt
T
0
（20．12）
11
对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充
分条件
∂H
∂x
=
ç ⎪
这里H = F + λG
（20．13）
例 6泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且
所围的面积最大．这样的问题称为等周问题，且通常将泛函记为 y（t） ，
而不是 x（t） ．调整这个记号，求包含最大区域 A 的给定长度 k 的曲线 Y ，
这里
A =
1
（x&- y）dx
曲线的长度是
x1
x0
1 + & dx = k
像 20．6 节解释的，建立拉格朗日函数
x1 ⎡ 1
x0 ⎢ 2
⎤
⎦
（20．14）
设 H 等于（20．14）的被积函数，则欧拉方程是
∂H
∂y
=
ç ⎪
从（20．14），
∂H
∂y
= -
1
2
且
∂H
∂y
=
1
2
x +
λ &
1 + &
12
代入欧拉方程，
-
1
2
=
d ⎛ 1
⎝
x +
λ &
1 + &
⎫
⎪
-
1
2
=
1
2
+
d ⎛ λ &
dx ç 1 + &
⎫
⎪
-1 =
两边直接积分，然后整理，
d ⎛ λ &
dx ç 1 + &
⎫
⎪
λ &
1 + &
= -（x - c1）
y
方程的两边平方，解出 &，
y2y2
λ2 & = （x - c1）2 （1 + & ）
y2y2
λ2 & - （x - c1）2 & = （x - c1）2
& =
（x - c1）2
λ2 - （x - c1）2
y
&= ±
（x - c1）2
λ2 - （x - c1）2
两边积分得
y
&- c2 = ± λ2 - （x - c1）2
两边平方，然后整理，可以表示成一个圆
（x - c1）2 + （ y - c2 ）2 = λ2
这里， c1 ， c2 和 λ 由 x0 ， x1 和 k 决定。
13
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