宏观经济学分析方法系列变分法欧拉方程极值路径与动态经济模型分析.docx

1、宏观经济学分析方法系列变分法欧拉方程极值路径与动态经济模型分析=附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数y=y(x)，最优点x*的一阶条件是y(x*)=0.在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线x*(t)这个最大化的积分定义为独立变量t、函数x(t)及它的导数dx/dt的函数F下的面积。x简言之，假设时间区域从t0=0到t1=T，且用&表示dx/dt，我们寻找最大化或最小化T0Ft

2、,x(t),&t)dt（20.1）x( x这里假定F对t、x(t)、&t)是连续的，且具有对x和&的连续偏导数将形如(201)，对每一个函数x(t)对应着一个数值的积分称为“泛函”一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”1极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类x(t)Max t,p(t),p&(t)dt（讲！）例1 一家公司当希望获得从时间t=0到t=T的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dp/dt。假设成本是固定的，并且每个p和dp/dt是时间的函数，p&代表dp/dt，公司的目标可以作

3、如下数学表示T0minCt,x(t),x&(t)dt另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平x(t)和生产的变化率x xdx/dt=&假设这个公司希望最小化成本，且x和&是时间t的函数，公司的目标可以写成t1t0满足x(t0)=x0,且x(t1)=x1这些初始和终值约束称为端点条件2例2 Ramsey经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式U=U(c)出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题”找出一条消费路径c(t)，使家庭终生效用函数U=U(c)最大化：dt0 k0+0(t)-c(t)e(n+g)t-R(t)dt=0二、欧拉方程：动态最优化

4、的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函t1t0Ft,x(t),&t)dt连接点(t0,x0)和(t1,x1)的曲线x*=x*(t)是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是Fx=(202a)称之为欧拉方程尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程3用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数(202a)的欧拉方程表示为Fx(t,x,&=ddtF&(t,x,&)(202b)x然后，用链式法则求F&关于t的导数，并且省略自变“量”，得xt xxx) xxx)Fx=F&+F&(&+F

5、&(&(202c)x这里，&=d2x/dt2下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。x(t)x*X=x*+mht0图20-2t1t证明：（重点！09、10、11硕，已讲）设x*=x*(t)是图20-2中连接点(t0,x0)和(t1,x1)的曲线，并且它使下面泛函取得最大值4t1t0Ft,x(t),&t)dt(203)即x*=x*(t)为极值曲线，欧拉方程(202a)是x*=x*(t)为极值曲线的一个必要条件取X=x*(t)+mh(t)是x*=x*(t)的相邻曲线，这里m是任意常数， h(t)是一个任意函数为了使曲线X也通过点(t0,x0)和(t1,x1)，则X也满足端点条件：h(t0)=0

6、h(t1)=0(204)t1t0一旦取定x*(t)和h(t)之后，因x*(t)和h(t)固定，则积分值Ft,x(t),&t)dt仅为m的函数，不妨改写成g(m)=Ft,x*(t)+mh(t),x&*(t)+mh&(t)dtt1t0(205)由于x*(t)使(203)中的泛函tFt,x(t),x&(t)dt实现最优化，所以g(m)=Ft,x*(t)+mh(t),x&*(t)+mh&(t)dt才能还原为Ft,x(t),x&(t)dt）实现t10(205)中的函数g(m)仅当m=0时（因为m=0时的t1 t1t0 t0最优化，即有dgdmm=0=0(206)对(205)即g(m)=tFt,x*(t)

7、+mh(t),x&*(t)+mh&(t)dt用链式法则求t10F/m由于F是x和&的函数，依次又是m的函数，代入(207)得dg t1Ft0(x*+mh)m+&mdt5由于(x*+mh)m=h且(&+m&m=&，用条件(206)即dgdmm=0=0，有dg t1Fm=0h(t)+F&(208)方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分，（注：令bu=u(t),v=v(t)v=F&=F&,u=h(t)所以，dv=dvdtdt=dF&dtdt=(du=dudtdt=&t)dt）dgdmm=0t1Ft0x&t0t0dt&t1h( h(由(204)知，h(t0)=h(t1)=0，从而&t0)=&t1

8、)=0，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有dgdmm=0t1Ft0-（209)由于h(t)是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即Fx-Fx=这就是欧拉方程定理证毕。6三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：x)1、设被积函数为F，即F=F(t,x,&2、求F对x和&的偏导数，记F/x=Fx,F/&=F&3、代入欧拉方程(202a)或(202b)x x x x4、求F&关于t的导数由于F&是t，x和&的函数，且x和&又是t的函数，因此，需要用链式法则x x x x5、如果没

9、有导数项(&和&)，立即解出x；如果有&和&项，直到作出所有导数的积分，然后求出x。在例3，例4中，给出了这个方法的例子例3 设0(6x2e3t+4tx&)dt，试用(20.4)中所列程序及(202a)的记号，最T优化这个泛函如下：1、设xF=6x2e3t+4t&72、则Fx=12xe3t,Fx&=4t3、代入欧拉方程(202a)，有12xe3t=ddt(4t)x(t)= e-3t4、但d(4t)/dt=4，代入上式，12xe3t=4x x5、由于没有&和&项，所以可直接求出x，将这个解表成x(t)，13这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线所以有必要使用充分条件检验。见

10、下一节例4 泛函20满足x(0)=1x(2)=4求上述泛函的候选极值曲线，现在用(202b)的记号1、设2、则x2F=4&+12xt-5tx xFx=12t且F&=8&3、代入欧拉方程(202b)，12t=ddtx8&4、记&=dxdt，且ddxdtdt=d2xdt2=&，x12t=8&8x5、由于有&，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数12tdt=8&dt6t2+c1=8&再积分，+c1)dt=8&dt(6t2x2t3+c1t+c2=8x解出x，x(t)=12cc488代入边值条件，x(0)=c28c2=8(2)2+(2)c1+1=4x(2)=1418c1=4代入式中，得解

11、：x(t)= t3+ t+1114 2四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的x( x1、如果泛函Ft,x(t),&t)在x(t),&是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。x( x2、如果泛函Ft,x(t),&t)在x(t),&是联合凸的，则对于最小值情况，必9要条件是充分的联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定给定判别式：D=FxxF&Fx&F&1、 (a)如果，D1=Fxx0，D是负定的，F是严格凹的，得到一个全局最大的极值曲线 (b)如果，D1=Fxx0，且D2=D0，检验变量所有可能的次序，D是半负定的，F是简单凹的，则得到局部最大的极值曲

12、线2、 (a)如果D1=Fxx0，且D2=D0，D是正定的，F是严格凸的，从而得到一个全局最小的极值曲线 (b)如果D1=Fxx0，且D2=D0，检验变量所有可能的次序，D是半正定的，F是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线x例5 下面是例3的充分条件的例子，这里泛函是F=6x2e3t+4t&，xFx=12xe3t，F&=4t1 FF&Fx&F&=12e3t000D1=12e3t010D2=0D1不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的D2=F&F&Fx&Fxx=00012e3tD12=0D2=0对每个变量的两种可能的顺序，

13、D10,D20,D是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件用完全的相似的方式，可检验出例4的充分条件五、泛函约束的动态优化（已讲）求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分T0Ft,x(t),&dt(2010)满足积分约束T0Gt,x(t),&dt=k(2011)这里，k是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束(2011)乘以，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：(F+G)dtT0(2012)11对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充分条件Hx=这里H=F+G(2013)例6 泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大这样的问题称为等周问题，且通

14、常将泛函记为y(t)，而不是x(t)调整这个记号，求包含最大区域A的给定长度k的曲线Y，这里A=1(x&-y)dx曲线的长度是x1x01+&dx=k像206节解释的，建立拉格朗日函数x11x02(2014)设H等于(2014)的被积函数，则欧拉方程是Hy=从(2014)，Hy=-12且Hy=12x+&1+&12代入欧拉方程，-12=d1x+&1+&-12=12+d&dx1+&-1=两边直接积分，然后整理，d&dx1+&1+&=-(x-c1)y方程的两边平方，解出&，y2 y22&=(x-c1)2(1+&)y2 y22&-(x-c1)2&=(x-c1)2&=(x-c1)22-(x-c1)2y&=(x-c1)22-(x-c1)2两边积分得y&-c2=2-(x-c1)2两边平方，然后整理，可以表示成一个圆(x-c1)2+(y-c2)2=2这里，c1，c2和由x0，x1和k决定。13