一元一次方程解法.docx
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一元一次方程解法
小升初数学衔接——一元一次方程的解法
（一）
一、学习目标
1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性质；
2、会解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步骤，并经历和体会解方程时运用的“转化”的过程和思想。
二、学习重点
掌握去分母、去括号、合并、系数化为1的方法的使用及其依据。
三、课程精讲
1、引入
古代诗歌曰：
“我问开店李三公，多少客人在店中？
一房七客多七客，一房九客一房空。
请你仔细算一算，多少房间多少客。
”
2、知识回顾
（1）什么是方程我们在小学就学习过方程，所谓方程，就是含有未知数的等式。
（2）去括号法则在本讲中，我们要用到上一讲学习过的去括号法则，请同学们提前复习一下。
例1、化简下列式子
（1）（2a3b）（a4b）
（2）3（2xy）2（x4y）
思路导航：
回忆去括号法则，并严格遵循这一法则。
解答：
（1）原式2a3ba4b
2aa4b3b
ab
（2）原式6x3y2x8y
6x2x8y3y
4x5y
点津：
去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方，请同学们在做题过程中引起重视，多检查。
3、新知探秘
知识点一方程的解与解方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
例如，当x3时，在方程3x24x1中
左边=33211
右边=43111
所以，左边=右边，故x3是方程3x24x1的解。
例2、检验下列括号里的数是不是它前面方程的解。
（1）3y12y1（y4,y2）
（2）（2x）（3x）0（x0,x2）
思路导航：
回忆方程的解的定义，并运用它解题。
解答：
（1）当y4时，左边34111，右边2419
所以，左边右边，y4不是方程的解。
当y2时，左边3215，右边2215
所以，左边=右边，y2是方程的解。
（2）当x0时，左边（20）（30）6，右边=0
所以，左边右边，x0不是方程的解。
当x2时，左边（22）（32）0,右边=0
所以，左边=右边，x2是方程的解。
点津：
求方程的解的过程，叫做解方程。
1
我们在小学已经学习过简易方程，比如，3x49，—a53（a1）3等，像这样
2
只含有一个未知数，且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。
知识点二等式的性质
既然方程是一种特殊的等式，那么在解方程之前，我们先来研究等式的性质。
如上图，从左到右，我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量，天平仍保持平衡；从右到左，我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量，天平仍保持平衡。
等式与天平
的平衡类似，于是有：
等式的性质1等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
类似的，在上图中，观察从左到右和从右到左天平两边的变化，可以类比得到等式的又
一性质：
等式的性质
2
等式两边乘以冋一个数，
或除以同一个不为
0的数，结果仍相等。
例3、填空
（1）若3
2
x，那么x
（2）若x
y
6，那么x6
3
（3）若3x
y2，那么y2
4
（4）若3x
24，那么x
。
思路导航：
利用等式的性质达到使等式变形的目的。
解答：
（1）1；
（2）y；
y（3）3x；
4
（4）&
点津：
养成言之有据的习惯，即培养自己的理性思维。
例4、判断
（1）若axay，贝Uxy；
（2）
若
x
y，
则x
5
5
y；
（3）
若
ax
b
0（a
0）
，则
x
b.
—；
a
（4）
若
5x
2
6x
3，
那么
x
1。
思路导航：
为题目中给定的变形式找依据。
解答：
（1）错，若a0，则不能用等式的性质2；
（2）错，利用等式的性质1，可得x5y5，而并非题目所给结果；
（3）错，利用等式的性质1，得axb，再利用等式的性质2,得x-；
a
（4）对，利用等式的性质1，得326x5x，即x1。
点津：
此题与上题在逻辑上正好相反，上题是按依据来变形，此题是为变形找依据，带
有逆向思维的成分，属于更高层次的要求。
知识点三解一元一次方程
（一）系数化为1
mxn（其中m,n为常数，m0）是比较简单的一元一次方程。
解这类方程时，可
1即可。
以利用等式的性质2,将未知数的系数化为例5、解下列方程
（1）
15x
60
（2）
3m
2
2
（3）
2.5p
1.5
（4）
3.1x
0
思路导航：
将系数化为
知识点四解一元一次方程
（二）移项
我们来研究方程
5x23x4
（1）
的解法。
如果我们能把这个方程变形为上述简单方程就能很容易求出解。
上述简单方程的一边只
含有x的项而没有常数项，而另一边只有常数项而没有含x的项。
所以，根据等式的性质1,方程
（1）两边同时加上2，即
（5x2）2（3x4）2
于是，得到一个新的方程
5x3x6
（2）
这个方程与原方程的解是相同的，称其为原方程的同解方程。
再根据等式的性质1，方程
（2）两边同时减去3x，即
5x3x（3x6）3x
于是，得到与原方程同解的方程
2x6（3）
将这个方程中未知数的系数化为1，得x3。
将方程
（1）与方程
（2）作比较
5r=（3r44）+2
这个变形可以看作是把方程左边的常数项2改变符号后，移到方程的右边。
同样，将方程
（2）与方程（3）作比较
r
久內=6
这个变形又可以看作是把方程右边的含x的项3x改变符号后，移到方程的左边。
这种变形叫做移项。
移项法则：
把方程一边的项改变符号后移到方程的另一边，方程的解不变。
求方程
（1）的解的过程可以写为
解：
移项，得5x3x42
合并，得2x6
方程两边同除以2,把x的系数化为1,得x3。
例6、解下列方程
（1）
x
7
5x
2
（2）
6y
3
/5
4y-
4
4
（3）
x
3x
1
2
（4）
4x
1
43x
思路导航：
在计算的过程中，一定要依据移项的法则求解。
解答：
1
（1）移项，得75x-x
2
11
合并，得2-x，即—x2
22
系数化为1，得x4
53
（2）移项，得6y4y——
44
合并，得2y2
系数化为1，得y1
1
（3）移项，得1—xx
2
——
合并，得1—x，即—x1
22
2
系数化为1，得x-
—
（4）移项，得4x3x41
合并，得7x—
—
系数化为1，得x-
7
点津：
移项的本质是利用了等式的性质1。
通过移项和合并，我们把较复杂的一元一次方程变形为形如mxn（m0）的简单方
程。
这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结。
知识点五解一元一次方程（三）去括号和去分母
如果一元一次方程中含有括号，我们需要利用上一讲学习的去括号法则，将括号去掉，
再将其转化为较简单的形式，利用移项和合并，最终化为最简单的方程，从而求出方程的解。
例7、解下列一元一次方程
（1）4x22（x4）
（2）3（y7）2[94（2y）]22
思路导航：
当方程中含有括号时，将括号去掉，转化为较为简单的方程。
解答：
（1）去括号，得4x22x8
移项，得4x2x82
合并，得2x10
系数化为1，得x—
（2）去括号，得3y212[984y]22
再去括号，得3y2118168y22
移项，得3y8y22211816
合并，得11y4—
4—
系数化为1，得y—
11
点津：
此例题比上一例题更为复杂，但是通过去括号可以将其转化为类似上一例题中较为简单的形式，这也是利用了转化的方式。
另外，在对形如4（x3）的式子进行去括号时，其实还是一个运用分配律的过程。
有的方程未知数的系数是分数，而整数的运算比分数的运算简单、不容易出错。
因此，
我们自然会想，有没有什么办法可以将分数化为整数?
这个办法就是利用等式的性质2，在方程的左右两边同时乘以所有分母的公分母。
x212x
我们以方程丄1厶卫为例。
436
这里有三个分母，其最小公倍数为12,在这个方程的左右两边同时乘以12,得
利用乘法分配律，得
得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了，解答过程如下:
去括号，得3x641242x
移项，得3x2x12464
合并，得x10
例8解下列一元一次方程
（2）
43x
6
思路导航：
要清楚去分母的依据和步骤。
解答：
（1）方程两边同时乘以4,得2（34x）5x
去括号，得68x5x
移项，得65x8x
合并，得613x，即13x6
系数化为1，得x—-
13
（2）方程两边同时乘以12,得3（x2）2（43x）12
去括号，,
得3x6
8
6x12
移项，得
3x6x
12
68
合并，得
9x26
系数化为
1，得x
26
9
点津：
去分母的过程，实际上就是将带分数的方程化为上述整数系数方程的过程。
大家一定要
总结其中的“转化”思想。
大家熟悉去分母的过程后就不必这样详细书写，只需写“去分母，得”即可。
知识点六解一元一次方程的一般步骤
3102（52y）410（104y）5（2y）
需要注意的是，方程左右两边的每一项都要乘以10,谨防漏乘；分数线本身具有括号
的作用，所以去分母后先把括号添上。
我们用下列流程图表示具体解答过程：
这个流程图显示了解一元一次方程的一般步骤。
解方程就是要求出其中的未知数（比如x），通过去分母、去括号、移项、合并、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着xa的简单形式转化，这个过程主要依据了等式的性质和运算律等方法。
例9、解方程-11竺」
634
思路导航：
依据上述解一兀一次方程的步骤即可解决。
解答:
去分母，
得2（12
x）
4（x
1）
123（2x1）
去括号，
得24x
4x4
12
6x3
移项，得
6x4x
4x
12
3
24
合并，得
6x3
系数化为
1，得x
丄
2
点津:
定要清楚每一步的依据是什么；每一步都是将复杂的方程转化为简单方程的过程。
四、知识提炼导图
五、目标期望
通过本讲的学习，希望同学们了解什么叫方程的解，掌握解一元一次方程的步骤，包括
去分母、去括号、合并、系数化为1,不但要会算，而且还要知道为什么可以这样算。
另一
方面，希望同学们在解一元一次方程的过程中，体会由繁杂到简单的转化思想，这种转化思
想将会一直伴随在我们的学习中。
【同步练习】（答题时间：
45分钟）
1、火眼金睛:
（1）对于成立的等式来说，下列说法错误的是（）
A.若a
c
b
c，
则ab
B.
若a
cb
c，则a
c.若-
b
，则
a
b
D.
若ac
be，
则a
b
c
c
（2）方程
x
x
1
5的解为（
）
2
A.9
B.
3
C.
3
D.9
（3）与方程
2x
1
3x
2同解的方程是（
）
A.2x
3x
1
B.
3x
2x
3
C.2x
3
3x
4
D.
12x
2
3x
1
（4）若
3
△1
与-
（5
）的和为0，
则x
:
的值丿
应为
（）
2
3
A.7
B.2C.1
D.0
多98，则原数是（）
A.544B.144C.104D.404
2、对号入座：
（1）已知x3是方程2x23mx2m4的解，则m；
2
（2）已知6x44x6，则代数式2x3x1的值是；
2x1
（3）当7时，方程2x5y6中的y的值为；
3
12
（4）当x时，代数式一（12x）与代数式一（3x1）的值相等；
37
（5）如果关于x的方程3xm1与2x3m2m2同解，那么m
3、牛刀小试:
的值。
【试题答案】
1、火眼金睛
（1）DA项和B项中变形的依据都是利用了等式性质1；C项中变形的依据是利用了等式性质2,由于C出现在条件的分母上，所以C0；而D项中的C可能会等于0,所以不能两边同时除以C。
（2）D去分母，得2x（x1）10；去括号，得2xx110；移项，得
2xx101；合并，得x9。
（3）B方法一是将题干和选项中的方程都解出来，看看哪个选项方程的解与题干方
程的解相同。
方法二是将题干方程解出来，得x3，然后将其代入选项中，看它是哪个选
项方程的解。
方法三是利用等式性质1（在这里是移项法则），看题干方程能变形为哪个选
项方程。
（4）A由题意，得1—©纠0。
去分母，得3（3x）62（52x）0；
23
去括号，得93x6104x0;移项，得4x3x1069;合并，得x7。
所以，1^m2^m。
去分母，得2（1m）3（2m）;去括号，得22m63m;移32
项，得3m2m62;合并，得m4。
系数化为1，得x1
去括号，得43512x3645x20x140
移项，得4353614045x20x12x
合并，得25937x，即37x259
系数化为1，得x7
2x12x1
（2）将方程去分母，得4（2x1）3（2x1）；去括号，得
34
8x46x3；移项，得8x6x34；合并，得2x7；系数化为1，得x-。
将
7
1口
17
去分母，得
2
x7代入方程
2
4x—2（xn），得14
2
-2（；n）。
22
281
2（72n）；
去括号，得27
144n；移项，得4n
13;系数化为
1，得n
13t
。
当
13甘n时，
4
4
（n3）2浮3）2£。
416
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