一元一次方程解法.docx

1、一元一次方程解法小升初数学衔接一元一次方程的解法（一）一、学习目标1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，掌握等式的基本性质；2、会解一元一次方程，了解一元一次方程解法的一般步骤，并经历和体会解方程时运用 的“转化”的过程和思想。二、学习重点掌握去分母、去括号、合并、系数化为 1 的方法的使用及其依据。三、课程精讲1、引入古代诗歌曰：“我问开店李三公， 多少客人在店中？一房七客多七客， 一房九客一房空。 请你仔细算一算，多少房间多少客。 ”2、知识回顾（1）什么是方程 我们在小学就学习过方程，所谓方程，就是含有未知数的等式。（2）去括号法则 在本讲中，我们要用到上一讲学习过的去括号法

2、则，请同学们提前复习一下。例 1、化简下列式子（1） （2a 3b） （ a 4b）（2） 3（2x y） 2（x 4y）思路导航： 回忆去括号法则，并严格遵循这一法则。解答：（1） 原式 2a 3b a 4b2a a 4b 3bab（2） 原式 6x 3y 2x 8y6x 2x 8 y 3y4x 5 y点津：去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方， 请同学们在做题过程中引起重 视，多检查。3、新知探秘知识点一 方程的解与解方程使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如，当 x 3 时，在方程 3x 2 4x 1中左边 =3 3 2 11右边 =4 3 1 11所以，左边 =

3、右边，故 x 3是方程 3x 2 4x 1 的解。例 2、检验下列括号里的数是不是它前面方程的解。（1） 3y 1 2y 1 （ y 4, y 2）（2） （2 x）（3 x） 0 （ x 0,x 2 ）思路导航： 回忆方程的解的定义，并运用它解题。解答：（1）当 y 4时， 左边 3 4 1 11，右边 2 4 1 9所以，左边 右边，y 4不是方程的解。当y 2时，左边 3 2 15，右边 2 2 15所以，左边=右边，y 2是方程的解。（2）当x 0时，左边 （2 0）（3 0） 6，右边=0所以，左边 右边，x 0不是方程的解。当x 2时，左边 （2 2）（3 2） 0,右边=0所以，

4、左边=右边，x 2是方程的解。点津：求方程的解的过程，叫做解方程。1我们在小学已经学习过简易方程，比如， 3x 4 9， a 5 3（a 1） 3等，像这样2只含有一个未知数，且未知数的次数都是 1的方程叫做一元一次方程。知识点二等式的性质既然方程是一种特殊的等式，那么在解方程之前，我们先来研究等式的性质。如上图，从左到右，我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量， 天平仍保持平衡； 从右到左，我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量， 天平仍保持平衡。等式与天平的平衡类似，于是有：等式的性质1等式的两边加上（或减去）同一个数（或式子） ，结果仍相等。类似的，在上图中，观察从左到右和从右到

5、左天平两边的变化， 可以类比得到等式的又一性质：等式的性质2等式两边乘以冋一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。例3、填空(1) 若 32x，那么x(2) 若 xy6，那么x 63(3)若 3xy 2，那么y 24(4)若 3x24，那么x。思路导航：利用等式的性质达到使等式变形的目的。 解答：（1）1；（2）y；y（3）3x ；4（4）&点津：养成言之有据的习惯，即培养自己的理性思维。 例4、判断（1）若 ax ay，贝U x y ；(2)若xy，则x55y ；(3)若axb0(a0)，则xb .；a(4)若5x26x3，那么x1。思路导航：为题目中给定的变形式找依据。 解答：（1）

6、错，若a 0，则不能用等式的性质 2；（2） 错，利用等式的性质 1，可得x 5 y 5，而并非题目所给结果；（3） 错，利用等式的性质 1，得ax b，再利用等式的性质 2,得x -；a（4） 对，利用等式的性质 1，得3 2 6x 5x，即x 1。点津：此题与上题在逻辑上正好相反， 上题是按依据来变形，此题是为变形找依据， 带有逆向思维的成分，属于更高层次的要求。知识点三 解一元一次方程（一）系数化为 1mx n （其中m, n为常数，m 0）是比较简单的一元一次方程。解这类方程时，可1即可。以利用等式的性质 2,将未知数的系数化为 例5、解下列方程(1)15x60(2)3 m22(3)2

7、.5p1.5(4)3.1x0思路导航：将系数化为知识点四 解一元一次方程（二）移项我们来研究方程5x 2 3x 4 ( 1)的解法。如果我们能把这个方程变形为上述简单方程就能很容易求出解。 上述简单方程的一边只含有x的项而没有常数项，而另一边只有常数项而没有含 x的项。所以，根据等式的性质 1,方程（1）两边同时加上2，即（5x 2） 2 （3x 4） 2于是，得到一个新的方程5x 3x 6 （ 2）这个方程与原方程的解是相同的，称其为原方程的同解方程。 再根据等式的性质1，方程（2）两边同时减去3x，即5x 3x （3x 6） 3x于是，得到与原方程同解的方程2x 6 （ 3）将这个方程中未

8、知数的系数化为 1，得x 3。将方程（1）与方程（2）作比较5r=（3r44） + 2这个变形可以看作是把方程左边的常数项 2改变符号后，移到方程的右边。同样，将方程（2）与方程（3）作比较r久內=6这个变形又可以看作是把方程右边的含 x的项3x改变符号后，移到方程的左边。这种变形叫做移项。移项法则：把方程一边的项改变符号后移到方程的另一边，方程的解不变。求方程（1）的解的过程可以写为解：移项，得5x 3x 4 2合并，得2x 6方程两边同除以2,把x的系数化为1,得x 3。例6、解下列方程（1）x75 x2（2）6y3/ 54y -44（3）x3x12（4）4x14 3x思路导航：在计算的过

9、程中，一定要依据移项的法则求解。解答：1（1）移项，得7 5 x -x211合并，得2 -x，即x 222系数化为1，得x 45 3(2)移项，得 6y 4y 4 4合并，得2y 2系数化为1，得y 11(3)移项，得1 x x2 合并，得1 x，即x 12 22系数化为1，得x -(4)移项，得 4x 3x 4 1合并，得7x 系数化为1，得x -7点津：移项的本质是利用了等式的性质 1。通过移项和合并，我们把较复杂的一元一次方程变形为形如 mx n(m 0)的简单方程。这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结。知识点五 解一元一次方程(三)去括号和去分母如果一元一次方程中含有

10、括号，我们需要利用上一讲学习的去括号法则，将括号去掉，再将其转化为较简单的形式，利用移项和合并，最终化为最简单的方程，从而求出方程的解。 例7、解下列一元一次方程(1)4x 2 2(x 4)(2)3(y 7) 29 4(2 y) 22思路导航：当方程中含有括号时，将括号去掉，转化为较为简单的方程。解答：(1)去括号，得4x 2 2x 8移项，得4x 2x 8 2合并，得2x 10系数化为1，得x (2)去括号，得 3y 21 29 8 4y 22再去括号，得3y 21 18 16 8y 22移项，得 3y 8y 22 21 18 16合并，得11y 44系数化为1，得y 11点津：此例题比上一

11、例题更为复杂，但是通过去括号可以将其转化为类似上一例题中较为简单 的形式，这也是利用了转化的方式。另外，在对形如 4(x 3)的式子进行去括号时，其实还是一个运用分配律的过程。 有的方程未知数的系数是分数，而整数的运算比分数的运算简单、不容易出错。因此，我们自然会想，有没有什么办法可以将分数化为整数?这个办法就是利用等式的性质 2，在方程的左右两边同时乘以所有分母的公分母。x 2 1 2 x我们以方程 丄1 厶卫 为例。4 3 6这里有三个分母，其最小公倍数为 12,在这个方程的左右两边同时乘以 12,得利用乘法分配律，得得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了，解答过程如下:去括号，得3

12、x 6 4 12 4 2x移项，得 3x 2x 12 4 6 4合并，得x 10例8解下列一元一次方程(2)4 3x6思路导航：要清楚去分母的依据和步骤。解答：(1)方程两边同时乘以 4,得2(3 4x) 5x去括号，得6 8x 5x移项，得6 5x 8x合并，得6 13x，即13x 6系数化为1，得x -13(2)方程两边同时乘以 12,得3(x 2) 2(4 3x) 12去括号，,得3x 686x 12移项，得3x 6x126 8合并，得9x 26系数化为1，得x269点津：去分母的过程，实际上就是将带分数的方程化为上述整数系数方程的过程。 大家一定要总结其中的“转化”思想。大家熟悉去分母

13、的过程后就不必这样详细书写，只需写“去分母，得”即可。知识点六 解一元一次方程的一般步骤310 2(5 2y) 4 10 (10 4y) 5(2 y)需要注意的是，方程左右两边的每一项都要乘以 10,谨防漏乘；分数线本身具有括号的作用，所以去分母后先把括号添上。我们用下列流程图表示具体解答过程：这个流程图显示了解一元一次方程的一般步骤。解方程就是要求出其中的未知数（比如 x），通过去分母、去括号、移项、合并、系数 化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着 x a的简单形式转化，这个过程主要依据 了等式的性质和运算律等方法。例9、解方程- 1 1 竺6 3 4思路导航：依据上述解一兀一次方程的

14、步骤即可解决。解答:去分母，得 2(1 2x)4(x1)12 3(2x 1)去括号，得2 4x4x 4126x 3移项，得6x 4x4x1232 4合并，得6x 3系数化为1，得x丄2点津:定要清楚每一步的依据是什么；每一步都是将复杂的方程转化为简单方程的过程。四、知识提炼导图五、目标期望通过本讲的学习，希望同学们了解什么叫方程的解， 掌握解一元一次方程的步骤， 包括去分母、去括号、合并、系数化为 1,不但要会算，而且还要知道为什么可以这样算。另一方面，希望同学们在解一元一次方程的过程中， 体会由繁杂到简单的转化思想， 这种转化思想将会一直伴随在我们的学习中。【同步练习】（答题时间：45分钟）

15、1、火眼金睛:（1）对于成立的等式来说，下列说法错误的是（ ）A.若acbc，则a bB.若ac bc，则ac.若-b，则abD.若acbe，则abcc（2）方程xx15的解为（)2A. 9B.3C.3D. 9（3）与方程2x13x2同解的方程是（)A. 2x3x1B.3x2x3C. 2x33x4D.12x23x1（4）若3 1与-(5）的和为0，则x:的值丿应为( )23A. 7B. 2 C.1D. 0多98，则原数是（ ）A. 544 B.144 C.104 D. 4042、对号入座：（1） 已知x 3是方程2x2 3mx 2m 4的解，则m ；2（2） 已知6x 4 4x 6，则代数式2

16、x 3x 1的值是 ；2x 1（3） 当 7时，方程2x 5y 6中的y的值为 ；312（4） 当x 时，代数式一（1 2x）与代数式一（3x 1）的值相等；3 7（5） 如果关于x的方程3x m 1与2x 3m 2m 2同解，那么m 3、牛刀小试:的值。【试题答案】1、火眼金睛(1) D A项和B项中变形的依据都是利用了等式性质 1 ； C项中变形的依据是利用了 等式性质2,由于C出现在条件的分母上，所以 C 0 ；而D项中的C可能会等于0,所以不 能两边同时除以C。(2)D 去分母，得2x (x 1) 10 ；去括号，得2x x 1 10 ；移项，得2x x 10 1 ；合并，得 x 9。

17、(3)B 方法一是将题干和选项中的方程都解出来，看看哪个选项方程的解与题干方程的解相同。方法二是将题干方程解出来，得 x 3，然后将其代入选项中，看它是哪个选项方程的解。方法三是利用等式性质 1 (在这里是移项法则)，看题干方程能变形为哪个选项方程。(4) A 由题意，得1 纠 0。去分母，得3(3 x) 6 2(5 2x) 0 ；23去括号，得9 3x 6 10 4x 0;移项，得4x 3x 10 6 9 ;合并，得x 7。所以，1m 2m。去分母，得2(1 m) 3(2 m);去括号，得2 2m 6 3m ;移 3 2项，得3m 2m 6 2 ;合并，得m 4。系数化为1，得x 1去括号，

18、得 435 12x 36 45x 20x 140移项，得 435 36 140 45x 20x 12x合并，得 259 37x，即 37x 259系数化为1，得x 72x 1 2x 1(2 )将方程 去分母，得4(2x 1) 3(2 x 1)；去括号，得348x 4 6x 3 ；移项，得8x 6x 3 4 ；合并，得2x 7 ；系数化为1，得x -。将71 口1 7去分母，得2x 7代入方程24x 2(x n)，得 142-2(； n)。2 228 12(7 2n)；去括号，得2714 4n ；移项，得4n13 ;系数化为1，得n13 t。当13甘 n 时，44(n 3)2 浮 3)2 。4 16