江苏省南京市建邺区新城中学学年七年级下学期期末数学试题.docx
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江苏省南京市建邺区新城中学学年七年级下学期期末数学试题
江苏省南京市建邺区新城中学2018-2019学年七年级下学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
1．计算：
（a2b）3的结果是（ ）
A．a6bB．a6b3C．a5b3D．a2b3
2．如图，能判断直线AB∥CD的条件是（）
A．∠1＝2∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2．则∠BPC的度数为（）
A．70B．108C．110D．125
4．已知2m＝5，3m＝2．则6m的值为（）
A．7B．10C．25D．32
5．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）
A．AB＝6，BC＝3，AC＝9B．AB＝5，BC＝4，∠A＝30°
C．∠C＝90°，AB＝6D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
6．小明与爸爸的年龄和是52岁，爸爸对小明说：
“当我的年龄是你现在的年龄的时候，你还要16年才出生呢．”如果设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，那么下面方程组正确的是（）
A．
B．
C．
D．
7．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_______．
8．结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：
∵____________，∴a∥b．
9．如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____.
10．如图，△ABC，△DBE均为直角三角形，且D，A，E，C都在一条直线上，已知∠C＝25°，∠D＝45°，则∠EBC的度数是_____．
11．若x2＋kx＋4是一个完全平方式，则整数k的值为_____．
12．不等式组
无解，则a的取值范围为_____．
13．如图，直线l1∥l2，∠A＝85°，∠B＝70°，则∠1－∠2＝____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，AH，BD分别是△ABC高和角平分线，点P为边BC上一个点，当△BDP为直角三角形时，则∠CDP＝_____度．
15．如图，△ABC的两个外角的三等分线交于D点，其中∠CBD＝
∠CBF，∠BCD＝
∠BCG，DB的延长线于∠ACB的三等分线交于E点且∠BCE＝
∠BCA．当∠D＝α时，∠E的度数为________（结果用含有α代数式表示）．
16．若
，则y与x满足的关系式为__________．
17．把下列各式因式分解
（1）4x2－16；
（2）（x－y）2＋4xy．
18．先化简再求值：
（2x＋3）（2x－3）－4x（x－1）－（x－2）2，其中x＝2．
19．
（1）解方程组
（2）解不等式组
20．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E，AB＝CD．若BC＝8，BE＝2，求AC的长．
21．已知y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝11；当x＝－1时，y＝6．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝－3时，求y的值．
22．
（1）尺规作图：
如图，过A点作直线l的垂线AB，垂足为B点（保留作图痕迹）；
（2）根据作图的方法，结合图形，写出已知，并证明．
已知：
如图，．
求证：
AB⊥l．
23．如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.
（1）求x的取值范围；
（2）当AB＝2BC时，x的值为_____.
24．为了参加学校举办的“新城杯”足球联赛，新城中学七
（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元，七
（2）班学生购买了品牌A足球3个、B品牌足球1个，共花费450元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为了进一步发展“校园足球”，学校准备再次购进A、B两种品牌的足球，学校提供专项经费850元全部用于购买这两种品牌的足球，学校这次最多能购买多少个足球？
25．用两种方法证明“四边形的外角和等于360°”．
如图，∠DAE、∠ABF、∠BCG、∠CDH是四边形ABCD的四个外角．
求证：
∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝360°．
26．如图：
在长方形ABCD中，AB＝CD＝4cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，先以1cm/s的速度沿A→B，然后以2cm/s的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得△BPD的面积S＞3cm2?
如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】（a2b）3=a6b3，故选B．
2．D
【解析】
【分析】
根据邻补角互补和条件∠3+∠5＝180°，可得∠4＝∠5，再根据同位角相等，两直线平行可得结论．
【详解】
解：
如图，
∵∠3+∠5＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝∠5，
∴AB∥CD，
∴D选项正确；B选项错误；
A选项，
时，AB∥CD，∠1＝2∠2不能判断，故该选项错误；
C选项，∠1+∠3＝180°，夹角只在AB边，不能作为判断条件，故该选项错误；
故选：
D.
【点睛】
本题考查了平行线的判定：
同位角相等，两直线平行．
3．C
【解析】
【分析】
先根据∠1＝∠2得出∠2+∠BCP＝∠ACB，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：
∵在△ABC中，∠ACB＝70°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠BCP＝∠ACB＝70°，
∴∠BPC＝180°﹣∠2﹣∠BCP＝180°﹣70°＝110°．
故选：
C．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可．
【详解】
6m＝（2×3）m＝2m×3m＝5×2＝10，
故选：
B．
【点睛】
本题考查了积的乘方法则．解决本题的关键是利用积的乘方运算法则进行逆运算．
5．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法可知只有D能画出三角形．
【详解】
解：
A.∵AB+BC＝6+3＝9＝AC，∴不能画出△ABC；
B.已知AB、BC和BC的对角，不能画出△ABC；
C.已知一个角和一条边，不能画出△ABC；
D.已知两角和夹边，能画出△ABC；
故选：
D．
【点睛】
此题主要考查三角形的三边关系和三角形全等判定的应用，熟练掌握三角形的全等判定是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
可设现在小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据“小明与爸爸的年龄和是52岁”，小明与爸爸的年龄差不变得出16+x＝y﹣x，列出方程组即可．
【详解】
解：
设小明的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，依题意有
；
故选：
C．
【点睛】
此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．
7．
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】
解：
0.00000000034=3.4×10-10，
故答案为：
3.4×10-10.
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
8．
【解析】
【分析】
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】
解：
∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为：
∠1＋∠3＝180°．
【点睛】
本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
9．AB=DC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可
【详解】
解：
由题意可知：
AC=DB，BC=CB，
∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC
故答案为：
AB=DC（答案不唯一）
【点睛】
本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键.
10．20°．
【解析】
【分析】
先根据三角形的内角和定理得：
∠DEB＝45°，最后根据三角形外角的性质可得结论．
【详解】
解：
Rt△DBE中，∵∠D＝45°，∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝90°-45°＝45°，
∵∠C＝25°，
∴∠EBC＝∠DEB﹣∠C＝45°-25°＝20°，
故答案为：
20°．
【点睛】
本题考查三角形内角和和外角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键.
11．±4．
【解析】
【分析】
先根据两个平方项求出这两个数，再利用完全平方公式的二倍积的特点解答即可．
【详解】
解∵x2+kx+4＝x2+kx+（±2）2，
∴kx=±2×2x，
解得k=±4．
故答案为±4．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．
12．a≤2．
【解析】
【分析】
根据不等式组
无解，可得出a≤2，即可得出答案．
【详解】
解：
∵不等式组
无解，
∴a的取值范围是a≤2；
故答案为：
a≤2．
【点睛】
此题主要考查一元一次不等式组的解，正确理解一元一次不等式组的解集是解题关键．
13．25°．
【解析】
【分析】
过点B作BC∥l1，则BC∥l2可得∠CBA＝∠ADF，∠2＝∠EBC，然后再说明∠2+∠ADF＝70°，即∠ADF＝70°﹣∠2，最后再应用三角形的内角和解答即可．
【详解】
解：
过点B作BC∥l1，如图所示：
∴∠CBA＝∠ADF，
∵直线l1∥l2，
∴BC∥l2，
∴∠2＝∠EBC，
∵∠B＝∠EBC+∠CBA＝70°，
∴∠2+∠ADF＝70°，即∠ADF＝70°﹣∠2，
∵∠1+∠A+∠ADF＝180°，
∴∠1+85°+70°﹣∠2＝180°，
∴∠1﹣∠2＝25°．
故答案为25°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，作出辅助线、构造平行线是解答本题的关键．
14．40或20．
【解析】
【分析】
直接根据三角形内角和定理得∠ABC＝40°，由角平分线的定义得∠DBC＝20°，当△BDP为直角三角形时，存在两种情况：
分别根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：
∵∠BAC＝90°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°
∵BD平分∠ABC
∴∠DBC＝
＝20°
当△BDP为直角三角形时，有以下两种情况：
①当∠BPD＝90°时，如图1，
∵∠C＝90°，
∴∠CDP＝90°﹣50°＝40°；
②当∠BDP＝90°时，如图2，
∴∠BPD＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BPD＝∠C+∠CDP，
∴∠CDP＝70°﹣50°＝20°，
综上，∠CDP的度数为40°或20°．
故答案为：
40或20．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，需要分情况讨论，熟练使用三角形内角和，外角定理进行角度计算，是解题的关键．
15．120°-α．
【解析】
【分析】
根据平角的定义和三等分角可得∠ECD＝60°，再由三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：
∵∠ACB+∠BCG＝180°，且∠BCD＝
∠BCG，∠BCE＝
∠BCA．
∴∠ECD＝∠BCD+∠BCE＝
＝
×180°＝60°，
在△DCE中，∠E+∠D+∠DCE＝180°，
∴∠E＝180°-α-60°＝120°-α，
故答案为：
120°-α．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理和三等分角的定义，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
16．y＝﹣x2+4x．
【解析】
【分析】
由x＝2﹣t，可得：
t＝2﹣x，把t＝2﹣x代入y＝4﹣t2，进而解答即可．
【详解】
解：
由x＝2﹣t，可得：
t＝2﹣x，
把t＝2﹣x代入y＝4﹣t2，
可得：
y＝﹣x2+4x，
故答案为：
y＝﹣x2+4x．
【点睛】
此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式解答．
17．
（1）
；
（2）
．
【解析】
【分析】
（1）提公因式后利用平方差公式分解；
（2）先去括号化简，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：
（1）4x2-16＝
；
（2）
．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式，熟练公式进行分解因式是解题关键．
18．﹣x2+8x﹣13，-1．
【解析】
【分析】
先去括号，再合并同类项即可化简原式，最后把x的值代入计算可得．
【详解】
解：
原式＝4x2﹣9﹣4x2+4x﹣x2+4x﹣4，
＝﹣x2+8x﹣13，
当x＝2时，原式＝﹣4+16﹣13＝﹣1．
【点睛】
本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
19．
（1）
；
（2）x＞2．
【解析】
【分析】
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求得不等式的解，然后取其公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】
解：
（1）
，
②﹣①×2得：
7y＝35，即y＝5，
把y＝5代入①得：
x＝2，
则方程组的解为
．
（2）
，
解①得：
x≥1，
解②得：
x＞2，
所以不等式组的解集为：
x＞2．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组的知识，要掌握解集的规律：
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．AC=10．
【解析】
【分析】
由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AC＝CE＝10．
【详解】
解：
∵BC＝8，BE＝2，
∴CE＝10，
∵∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E，AB＝CD，
∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AC＝CE＝10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△CED是本题的关键．
21．
（1）
；
（2）36．
【解析】
【分析】
（1）代入后得出三元一次方程组，求出方程组的解即可．
（2）把x＝﹣3代入
求得即可．
【详解】
解：
∵y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝11；当x＝﹣1时，y＝6，
∴代入得：
把①代入②和③得：
，
解得：
，
，
即
．
（2）∵
，
∴当x＝﹣3时，y＝30+5+1＝36．
【点睛】
此题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组解的步骤是本题的关键，把三元一次方程组通过消元转化成二元一次方程组再进行求解．
22．
（1）详见解析；
（2）AD＝AC，DE＝CE，AE与CD交于点B，证明详见解析
【解析】
【分析】
（1）依据过一点作已知直线的垂线的方法作图即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等，即可得出结论．
【详解】
解：
（1）如图所示，AB⊥l；
（2）已知：
AD＝AC，DE＝CE，AE与CD交于点B，
证明：
∵AD＝AC，DE＝CE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠DAB＝∠CAB，
又∵AD＝AC，AB＝AB，
∴△ABD≌△ABC（SAS），
∴∠ABD＝∠ABC，
又∵∠ABD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，即AB⊥l．
【点睛】
本题考查了过直线外一点作直线的垂线的方法，同时考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识用法是解题的关键．
23．
（1）
;
（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据A、B、C三点在数轴上的位置列不等式组即可得出x的取值范围；
（2）分别求出AB、BC的距离，根据AB=2BC列方程即可得出x的值.
【详解】
（1）由题意得：
解不等式①得：
x＜2；
解不等式②得：
x＞
．
∴不等式组的解集为：
＜x＜2．
（2）∵AB=2BC，
∴-2x+3-（-1）=2[x+1-（-2x+3）]
-2x+4=2x+2+4x-6
8x=8
解得x=1.
故答案为1
【点睛】
本题考查数轴的性质、解一元一次不等式组及解一元一次方程，不等式解集遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
24．
（1）购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元；
（2）学校这次最多能购买8个足球．
【解析】
【分析】
（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，根据“购买A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费400元；购买A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费450元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数即可求出m，n的值，将m，n值相加取其最大值即可得出结论．
【详解】
解：
（1）设购买一个A种品牌足球需要x元，购买一个B种品牌足球需要y元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：
购买一个A种品牌足球需要100元，购买一个B种品牌足球需要150元．
（2）设可以购买m个A种品牌足球，n个B种品牌足球，
依题意，得：
100m+150n＝850，
∴n＝
．
∵m，n均为非负整数，
∴
或
或
，
∴m+n＝6或m+n＝7或m+n＝8．
答：
学校这次最多能购买8个足球．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；
（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25．详见解析．
【解析】
【分析】
连接AC，BD，由三角形外角和可知∠EAD＝∠ABD+∠ADB，∠ABF＝∠CAB+∠ACB，∠BCG＝∠CDB+∠CBD，∠CDH＝∠DAC+∠DCA，代入所求式子即可求解．
【详解】
解：
解法一：
连接AC，BD，
∵∠EAD＝∠ABD+∠ADB，
∠ABF＝∠CAB+∠ACB，
∠BCG＝∠CDB+∠CBD，
∠CDH＝∠DAC+∠DCA，
∴∠DAE+∠ABF+∠BCG+∠CDH＝∠ACB+∠ABC+∠CAB+∠ACB+∠CDB+∠CBD+∠DAC+∠DCA＝（∠ACD+∠DCA+∠ADC）+（∠ABC+∠DAB+∠ACB）＝180°+180°＝360°．
解法二：
∵∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝180°−∠DAB＋180°−∠ABC＋180°−∠BCD＋180°−∠ADC，
又∵∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＝360°，
∴∠DAE＋∠ABF＋∠BCG＋∠CDH＝360°．
【解答】
本题考查三角形的外角和和内角和定理；通过辅助线将四边形分割成三角形，在三角形中求解是关键．
26．存在这样的t，使得△BPD的面积满足条件，此时0≤t＜2；
＜t≤5.5．
【解析】
试题分析：
分两段考虑：
①点P在AB上，②点P在BC上，分别用含t的式子表示出△BPD的面积，再由S＞3cm2建立不等式，解出t的取值范围值即可．
试题解析：
①当点P在AB上时，假设存在△BPD的面积满足条件，即运动时间为t秒，则
S△BPD=
（4-t）×3=
（4-t）＞3
解得t＜2，
又因为P在AB上运动，0≤t≤4，
所以0≤t＜2；
②当点P在BC上时，假设存在△BPD的面积满足条件，即运动时间为t秒，则
S△BPD=
（4-t）×2×4=4t-16＞3
解得t＞
，
又因为P在BC上运动，4＜t≤5.5，
所以
＜t≤5.5；
综上所知，存在这样的t，使得△BPD的面积满足条件，此时0≤t＜2；
＜t≤5.5．
考点：
一元一次不等式组的应用．
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